MEMORIAS   2024
Comité Organizador
Jeovanny de Jesus Muentes Acevedo - Universidad Tecnológica de Bolı́var
Andrea Estefanı́a Cabarcas Sánchez - Universidad Tecnológica de Bolı́var
Comité Cientı́fico
Andy Rafael Domı́nguez Monterroza - Universidad Tecnológica de Bolı́var
Carlos Rafael Payares Guevara - Universidad Tecnológica de Bolı́var
Catalina Marı́a Rúa Álvarez - Universidad de Nariño
Elkin Oveimar Quintero Vanegas - Universidade Federal do Amazonas
German Alonso Benitez Monsalve - Universidade Federal do Amazonas
Héctor Edonis Pinedo Tapia - Universidad Industrial de Santander
Juan Carlos Galvis Arrieta - Universidad Nacional de Colombia
Marlon Michael López Flóres - Pontificia Universidade Católica do Rio de Janeiro
Mikhail Malakhaltsev - Universidad de los Andes
Rector
Alberto Roa Varelo
Vicerrector Académico
Andrés Guillermo Marrugo Hernández
Vicerrectora Administrativa
Marı́a del Rosario Gutiérrez de Piñeres Perdomo
Secretaria General
Ana Marı́a Horrillo Caraballo
Decana de la Facultad de Ciencias Básicas
Lenny Alexandra Romero Perez
Dirección de Investigación,
Innovación y Emprendimiento
Jairo Useche Vivero
Diagramación
Ediciones UTB
Compilador de memorias
Jeovanny de Jesus Muentes Acevedo
ISSN: 2744-8835
Cartagena de Indias, D. T. y C., - Colombia
www.utb.edu.co
2024
Prefacio
El Encuentro Matemático del Caribe (Página Web) tiene como finalidad reflexionar sobre el quehacer matemático
y la enseñanza de las Matemáticas en el Caribe colombiano. Ası́ mismo, extender las redes académicas con investi-
gadores locales, nacionales e internacionales en las Ciencias Matemáticas. A través del encuentro se busca motivar
a la comunidad de nuestra región a participar activamente en eventos matemáticos para conocer de primera mano la
evolución y el amplio alcance que posee esta ciencia a nivel mundial por cuenta de los expositores.
La quinta versión del Encuentro Matemático del Caribe se realizó de forma presencial del 2 al 5 de julio de 2024
en la Universidad Tecnológica de Bolı́var, Cartagena – Colombia. En el mismo, se presentaron 43 conferencias, 7
pósteres y 4 minicursos, abarcando las diferentes áreas de las Matemáticas.
En estas memorias presentaremos los resúmenes de las conferencias, pósteres y minicursos que se impartieron du-
rante el V Encuentro Matemático del Caribe. Primero encontraremos las conferencias, las cuales están organizadas por
áreas: Matemática aplicada (9 conferencias), Teorı́a de grafos (3 conferencias), Sistemas Dinámicos (3 conferencias),
Análisis (8 conferencias), Álgebra (5 conferencias), Geometrı́a (2 conferencias), Educación Matemática (9 conferen-
cias), Ecuaciones Diferenciales (4 conferencias): Finalmente encontraremos los minicursos impartidos y los pósteres
presentados.
El comité organizador reitera su agradecimiento a los participantes del evento, al comité cientı́fico y al público
asistente.
AGRADECIMIENTOS
Facultad de Ciencias Básicas - Universidad Tecnológica de Bolı́var
Departamento de compras - Universidad Tecnológica de Bolı́var
Equipo de Comunicaciones - Universidad Tecnológica de Bolı́var
Equipo de Audiovisuales - Universidad Tecnológica de Bolı́var
Autor: Jeovanny de Jesus Muentes Acevedo
Índice de conferencias y minicursos
Matemática aplicada
El uso de la transformada RICC para la clasificación 12
y agrupación de imágenes y señales
− Evguenii Kourmychev
Introducción al modelado matemático de la matriz agroecológica 13
− N. Leticia Abrica-Jacinto, Eugenio Azpeitia, Verónica Zepeda, Mariana Benı́tez
Application of an adaptive Bayes factors 14
to balanced ANOVA models
− Daiver De Jesús Vélez Ramos
Modelado de parámetros de calidad 16
del agua con redes complejas
−Mónica Jhoana Mesa Mazo, Jorge Mario Garcı́a Usuga,
César Augusto Acosta Minoli
Múltiples ciclos lı́mite en un modelo 19
de depredación del tipo Leslie
− Paulo Cesar Tintinago Ruiz, Leonardo Duvan Restrepo
Modelo matemático para la dinámica de la infección por VIH en una 20
población con estructura de edad y condiciones de riesgo asociadas
− Francisco Andrés Betancourt-Arteaga, Hernán Darı́o Toro-Zapata,
Jorge Mario Garcı́a-Usuga
Explorando fronteras: dinámicas antipodales y estabilidad 23
en sistemas esféricos conformes de 2, n-cuerpos
− Ruben Dario Ortiz Ortiz
Caracterización de series temporales de rayos 24
cósmicos a largo plazo de curvatura geométrica de redes
− D. Sierra-Porta
Ciencia de datos y actividad fı́sica 25
− Oscar Eduardo Martı́nez
Teorı́a de Grafos
On the Harary Laplacian-energy-like 27
− Luis Medina Caamaño
On the Estrada Index of Graphene Graph 29
− Jonnathan Alexander Rodriguez Zambrano
On spectral invariants of the α-mixed adjacency matrix 30
− Eber Javier Lenes Puello
Sistemas Dinámicos
Homeomorfismos con dimension de Hausdorff 35
media maximal son genéricos
− Jeovanny de Jesus Muentes Acevedo
Sombreamiento para operadores de composición 37
sobre un espacio de Hardy-Hilbert
− Carlos Fabian Álvarez Escorcia
Sobre la continuidad de los atractores 39
de sistemas dinámicos
− Jorge Armando Reyes Vásquez
Análisis
Análisis de Fourier e integración generalizada: 41
el caso de dos teoremas fundamentales
− Francisco J. Mendoza Torres
The New Fractal derivative, some results 42
integro-differential equations and applications
−Miguel Vivas-Cortez
Operadores estrictamente singulares 43
y estrictamente cosingulares
−Margot Salas-Brown
Operador tridiagonal entre espacios 44
de sucesiones con pesos
− Julio C. Ramos Fernández
A recent review on fractional difference 45
equations and (N, λ)-periodic functions
− Stiven Dı́az
Espacios Lp y transformada de Laplace 47
− Héctor Camilo Chaparro
Compacidad del operador de Rhaly 48
en espacios de sucesiones
− Helen Lorena Quevedo Enciso, Julio C. Ramos Fernández
El problema de Cauchy sobre Adeles finitos 49
− Julian A. Garnica
Álgebra
Conjuntos Sidon bidimensionales y modelos de sincronización 51
− Carlos Alberto Trujillo Solarte
Noncommutative differential geometry of quantum planes 52
− Andrés Alejandro Rubiano Suárez, Milton Armando Reyes Villamil
Grupos cuánticos y sus acciones 54
− Fabio Calderón
Descomposiciones sobre Zp de Grupos Pro-p 55
− Jesus E. Berdugo
On simple Lie algebra in characteristic 2 58
− Carlos Rafael Payares Guevara
Identidades minimales para subespacios del álgebra de Weyl 59
− Carlos Arturo Rodriguez Palma
Geometrı́a
Geometrı́a de superficies dadas implı́citamente en el haz de marcos 61
ortonormales con la métrica de levantamiento de Wagner
− Edward S. Becerra, Mikhail Malakhaltsev, Haimer A. Trejos
Existence of bifurcation branches of free boundary CMC hypersurfaces 62
− Carlos Wilson Rodrı́guez Cárdenas
Educación Matemática
Estudio correlacional entre el cursomatemática elemental y el curso 65
matemática general del Instituto Tecnológico de Costa Rica
− Luis Fernando Mora Picado
El uso de la evaluación diagnóstica en el PEA de la Matemática 66
− Ana Paredes-Proaño
Relación de la práctica de ajedrez y el rendimiento matemático de los 67
estudiantes del Colegio Comunal Orquı́deas, Bogotá-Colombia
− Irvin Gregorio Malave Castellano
El concepto de permutación: un análisis teórico 68
− Astrid Carolina Archila Prada, Solange Roa Fuentes, Javier Camargo Garcı́a
Evolución cognitiva del concepto de vector 69
en un curso de álgebra lineal
− Yulieth Alexandra Gutierrez Carrillo, Solange Roa Fuentes
Aprendizajes en el pensamiento reflexivo de un profesor de 71
matemáticas en formación sobre la función logı́stica y el ahorro
− Jaiver David Rey Gómez, Sandra Evely Parada Rico
Tipos de generalización que producen estudiantes de grado octavo 72
(12-14 años) al resolver tareas sobre secuencias de patrones:
una mirada desde la teorı́a de la objetivación
−Marı́a Angélica Ramı́rez Archila, Ana Yamile Meza Quintero
El conocimiento unitario y pragmático en el aprendizaje 73
de la definición de lı́mite de una función
− Jorge Fajardo Molinares
Descripción de la comprensión del concepto de función, bajo 74
el modelo de van Hiele, para estudiantes de grado 9◦ en la
Institución Educativa Simón Bolı́var, inspección de
San Francisco en el municipio del Calvario-Meta
−Monica Beltrán Silva, Alba Soraida Gutierrez Sierra
Ecuaciones Diferenciales
Subarmónica en el modelo de la parla giratoria 77
− Alexander Gutierrez G.
Método del balayage en grafos 79
− Diego Alexander Castro Guevara
Opinion divergence dynamics around a political idea 81
− Ricardo Cano Macias, Jorge Mauricio Ruiz V.
Infinitas soluciones para un problema tipo φ-Laplaciano 83
− Sigifredo Herrón, Diana Sánchez, Emer Lopera
Minicursos
Introducción a los modelos de dinámica de opinión 85
− Norma Leticia Abrica-Jacinto
Introducción a Redes Complejas caso de aplicación: 86
análisis de la red vial de una ciudad
−Mónica Jhoana Mesa Mazo, Jorge Mario Garcı́a Usuga
Análisis topológico de datos en sistemas complejo 87
− Andy Rafael Dominguez Monterroza
Introducción a la creación de documentos 88
dinámicos con Quarto
− Jorge Luis Villalba Acevedo
Pósteres
Fractal Topológico 90
− Eliana Oostra Guerrero
El enigmático mundo de los números primos 91
− Daniela Lezcano Cuello
Una aplicación de la transformada de Laplace 92
a las ecuaciones diferenciales con retardo
− Alisson C. Romero, Esteban Delgadillo
Schauder bases and James space 93
− Yeny Paola Moreno
Clustering para visualización de regiones 94
de convergencia del método de homotopı́a
− Rafael Andrés Ramos Pájaro, Jeovanny Muentes Acevedo
Mejora de la eficiencia en urgencias: simulación 97
de Montecarlo para la óptima asignación de personal
− Santiago González Cruz, Adriana Romero Alfonso, Jorge Sanabria
Modelo para asignación de compensación a personal 98
jefe por medio de curvas de nivel
− Adriana Romero Alfonso, Santiago González Cruz, Jorge Sanabria
Matemática aplicada
Memorias | Conferencias
El uso de la transformada RICC para la clasificación
y agrupación de imágenes y señales
Autor: Evguenii Kourmychev
Centro Universitario de los Lagos, Universidad de Guadalajara, México
E-mail: evguenii.kourmychev@academicos.udg.mx
Resumen: El procesado, la clasificación y clusterizacion (agrupación) de imágenes y señales en general son de gran
importancia tanto para diferentes ramas de la ciencia como para las ingenierı́as, considerando sus múltiples aplica-
ciones. Tomando en cuenta que dichas operaciones en gran medida dependen de espacios caracterı́sticos, donde se
implementa la clasificación, en esta plática, en primer lugar, presentamos las bases formales matemáticas de la trans-
formada RICC (representación de imágenes por cúmulos coordinados) que se usa como espacio caracterı́stico para la
clasificación y agrupación de imágenes y señales. Se hace breve comparación conceptual de la RICC y LBP. Posteri-
ormente, explicamos criterios y algoritmos de clasificación de imágenes a niveles de gris y a color:
1. en clases múltiples con y sin outliers;
2. a una sola clase.
Ası́ mismo se explica el concepto de escala óptima de imágenes para la clasificación y codificado, llamado la RICC
rápida. Se discuten algunas ideas sobre la RICC sensible a la anisotropı́a de imágenes e invariante a la rotación de
imágenes con anisotropı́a.
12
V Encuentro Matemático del Caribe
Introducción al modelado matemático
de la matriz agroecológica
Autores: N. Leticia Abrica-Jacinto1, Eugenio Azpeitia,
Verónica Zepeda, Mariana Benı́tez
Universidad del Mar1
E-mail: leticia.abrica@gmail.com1
Resumen: Los sistemas agroecológicos son definidos como el conjunto de especies y procesos ecológicos asociados a
un área de cultivo, son ecosistemas que han sido modificados por el ser humano con el objetivo de producir alimentos.
La matriz agroecológica es definida como el territorio, en el sistema agroecológico, con parches de vegetación natural y
de cultivo interconectados. Una forma de caracterizar a la matriz agroecológica es por medio de su configuración y sus
propiedades. La configuración nos habla de la forma en la que están distribuidos los parches. Por ejemplo, pequeños
parches de cultivo y de conservación mezclados, o amplias extensiones de cultivo separadas de zonas de conservación.
Las propiedades de la matriz se refiere a la variedad o tipo de parches (e.g., monocultivos, policultivos y hábitat
conservado), a la facilidad con la que especies pueden transitar por ella, entre otras cosas. Tanto la configuración
como las propiedades de la matriz afectan a los sistemas agroecológicos en cuestiones como la biodiversidad y la
productividad asociados a ellos. En esta charla describiremos la metodologı́a para estudiar las posibles consecuencias
que tienen la configuración y la propiedades de la matriz agroecológica en la abundancia y riqueza de las especies. Tal
metodologı́a se basa en tres elementos principales: a) descripción de las interacciones de las especies, por ejemplo,
interacciones tróficas descritas por medio de matrices de interacción [1, 2], b) una dinámica poblacional para estudiar
la composición de la población y sus variaciones a lo largo del tiempo [3], y c) el modelado espacial, el cual integra la
dinámica poblacional con la matriz agroecológica.
Palabras & frases clave: Modelado matemático, redes tróficas, dinámica poblacional, matriz agroecológica.
Referencias
[1] Abrica-Jacinto, N. Leticia, Mariana Benı́tez, Eugenio Azpeitia. “Matrices de interacciones: conceptos y modelos
de redes alimentarias.” Revista Mexicana de Biodiversidad. Aceptado.
[2] Williams, Richard J., and Neo D. Martinez. “Simple rules yield complex food webs.” Nature 404.6774 (2000):
180-183.
[3] Abrica-Jacinto, N. Leticia, Verónica Zepeda, Mariana Benı́tez, Eugenio Azpeitia. “Population dynamics in food
webs.” The 12th International Conference on Complex Networks and their Applications. Proceedings, aceptado y
en proceso de envı́o.
13
Memorias | Conferencias
Application of an adaptive Bayes factors
to balanced ANOVA models
Autor: Daiver De Jesús Vélez Ramos
Universidad de Puerto Rico en Rı́o Piedras
E-mail: daiver.velez@upr.edu
Resumen: Adaptive Bayes factors are constructed from adaptive significance levels and the commonly known mini-
mum Bayes factors (links between p-value and Bayes factors). These minimum Bayes factors are easy to calculate
and explain. However, they do not behave as a Bayes factor. For example, they do not change with the size of the
sample. The reason why they are adjusted with adaptive significance levels see [Vélez et al. [2], Pérez and Pericchi [3],
Hoyos et al. (2023)]. What they are trying to establish with these adaptive Bayes factors is an equivalence between the
common practice in Frequentist statistical analysis to draw conclusions based on statistical significance and the Bayes
factors from the Bayesian point of view. In this article, we want to apply an adaptive Bayes factor proposed by Vélez
et al.(2023) to balanced analysis of variance (ANOVA) models in different configurations namely: One-way ANOVA
and Two-way ANOVA
Palabras & frases clave: P-value Calibration, Adaptive Bayes Factor, ANOVA, Adaptive significance Levels.
Introducción
In the Frequentist literature, in fixed effects ANOVA models the parameters, in the one-way classification, are vie-
wed as non-random. An alternativerandom effects approach is to view these parameters as a sample from aprobability
distribution, with the usual choice being θ 2∼iidN(0, σθ). From a Frequentist perspective, the choice is based on whether
the units that are selected can be viewed as being a random sample from some larger distribution of effects. Often,
patients in a trial may be regarded as a random sample from some population, while treatment effects may be regarded
as fixed effects. In the latter, the objective of the researcher is to extend the conclusions based on a sample of treatment
levels to all treatment levels in the population. In fact, the null hypothesis of random effects ANOVA is quite different
from its fixed effects counterpart. Statistical analysis is often used to reason about scientific questions based on a data
sample, with the goal of determining “which parameter values are supported by the data and which are not”. Here is
where the p-values come in. The p-value is the probability, under the assumption of no association or no effect (the null
hypothesis H0), of obtaining a result equal to or more extreme than what was actually observed [Goodman (2005)]. p-
Values for point null hypotheses still dominate most of the applied literature (Greenland and Poole (2013)), despite the
fact that p-values are commonly misused [Wasserstein and Lazar (2016), Matthews et al. (2017)]. Bayesian literature
has been criticizing for several decades the implementation of hypothesis testing with fixed significance levels, and in
particular the use of the scale p-value < 0,05. That discussion was mostly regarded as a philosophical issue about the
wrong interpretation of p-values as probabilities of the null hypothesis. However, the crisis of Fisher’s scale of eviden-
ce exploded when scientific researchers, largely outside departments of Mathematics and Statistics, began reporting
very low rates of reproducible scientific presumed findings [Benjamin et al. (2018), Amrhein et al. (2019)]. Currently,
there are alternatives to calibrate the significance levels with the sampling information, see [Pérez and Pericchi (2014),
Vélez et al. (2022), Benjamin et al. (2018), Hoyos et al. (2023)]. Some of the Bayes factors proposed in the literature
are based on the Bayesian Information Criterion (BIC) [Schwarz (1978)]; in this article, we use a consistent adaptive
Bayes factor proposed by Vélez et al. (2023) which is calibrated using the Prior Based BIC (PBIC) (Bayarri et al.,
2019) and we apply it to a balanced ANOVA model with random effects.
14
V Encuentro Matemático del Caribe
Referencias
[1] Vélez, D., L. Pericchi, and M. Pérez (2023). From p-values to posterior probabilities of null hypotheses. Entropy
25, 618.
[2] Vélez, D., M. E. Pérez, and L. R. Pericchi (2022). Increasing the replicability for linear models via adaptive
significance levels. TEST 31, 771–789.
[3] Pérez, M. E. and L. R. Pericchi (2014). Changing statistical significance with the amount of information: The
adaptive alfa significance level. Statistics and Probability Letters 85, 20-24.
15
Memorias | Conferencias
Modelado de parámetros de calidad
del agua con redes complejas
Autores: Mónica Jhoana Mesa Mazo1, Jorge Mario Garcı́a Usuga2, César Augusto
Acosta Minoli3
Corporación Universitaria Empresarial Alexander von Humboldt1, Universidad del Quindı́o1,2,3
E-mail: mmesa4@cue.edu.co1, jmgarcia@uniquindio.edu.co2, cminoli@uniquindio.edu.co3
Resumen: La medición de nitrógeno, fosfato y temperatura del agua en cuencas hidrográficas desempeña un papel
crucial en la gestión y conservación de los recursos hı́dricos. Estos parámetros son indicadores clave de la calidad
del agua y ofrecen información valiosa para abordar una serie de preocupaciones ambientales y sociales. El nitrógeno
y el fosfato son nutrientes esenciales para la vida acuática y terrestre, pero cuando se presentan en exceso, pueden
provocar graves problemas de contaminación del agua. El monitoreo constante de estos nutrientes permite identificar
fuentes de contaminación, prevenir la eutrofización (el crecimiento excesivo de algas) y proteger la biodiversidad en los
ecosistemas acuáticos. La temperatura del agua, por su parte, es un indicador sensible a los cambios climáticos y a las
actividades humanas. Su seguimiento ayuda a comprender y mitigar los efectos del cambio climático en los ecosistemas
acuáticos y a garantizar un hábitat adecuado para la vida silvestre. Además, la medición de estos parámetros es esencial
para garantizar la seguridad del agua potable, ya que niveles elevados de nutrientes y temperatura pueden afectar la
calidad del agua para el consumo humano, lo que tiene implicaciones directas en la salud pública. En resumen, la
medición de nitrógeno, fosfato y temperatura del agua en cuencas hidrográficas es esencial para preservar la calidad del
agua, proteger la biodiversidad, abordar el cambio climático y garantizar la seguridad del suministro de agua potable.
Estos datos son fundamentales para la toma de decisiones informadas en la gestión y conservación de los recursos
hı́dricos, contribuyendo ası́ a un entorno más saludable y sostenible. Es por esta razón que evaluar el contenido de estos
parámetros y desarrollar una herramienta de software que permita predecir y modelar su contenido y comportamiento
es esencial para la toma de decisiones de los organismos de control.
Figura 1: Red compleja donde los nodos son lugares en la red y las aristas son los causes naturales
de los rı́os
Para la creación de la red de la fig 1 se tomaron como punto de partida la red o grafo construido en [6, 7, 8],
el cual presenta una red dirigida de 409 nodos y 408 aristas que representa la red hidrográfica del departamento del
16
V Encuentro Matemático del Caribe
Quindı́o. Con esta información, se construirá el Dataframe el cual tendrá las siguientes variables: Nodo inicial, Nodo
final, Distancia, Velocidad promedio y Orden.
Para modelar el transporte de partı́culas en el agua en especı́fico el Nitrógeno, se utiliza el modelo de Nitrificación
[1, 4]. Aquı́ tienes las ecuaciones en formato **LaTeX**:
dN0
dt = −koaN0
dNa
dt = koaN0 − kaiNa
(1)
dNi
dt = kaiNa − kinNi
dNn
dt = kinNi
Donde No, Na, Ni, Nn denotan Nitrógeno orgánico, Amoniaco, nitritos y nitratos respectivamente. Koa,kai, kin son cons-
tantes de nitrificación. Ahora bien, con respecto a los fosfatos Chapra [4] proponen un modelo basado en ecuaciones
diferenciales ordinarias para el fosforo orgánico:
dporg
= πpA − K
dt p,org
Porg − Kp,settlPorg, (2)
donde Porg Concentración de fósforo orgánico, A es la concentración de amoniaco, π es el porcentaje de fósforo
contenido en algas, kP,org Velocidad de decaimiento del fósforo orgánico, kP,settl Velocidad de sedimentación del fósforo
orgánico.
Con estas ecuaciones se modela ambos parámetros de calidad del agua, dando información a la red sobre cómo
estas se distribuyen en toda la cuenca.
Palabras & frases clave: Cuencas hidrográficas, departamento del Quindı́o, temperatura del agua, nitrógeno disuelto,
fosfatos, redes complejas.
Referencias
[1] Benedini, M., & Tsakiris, G. (2013). Water quality modelling for rivers and streams. Springer Science & Busi-
ness Media.
[2] Cui, B., Wang, C., Tao, W., & You, Z. (2009). “River channel network design for drought and flood control: A ca-
se study of xiaqinghe river basin, jinan city, china.” Journal of Environmental Management, 90(90), 3675–3686.
[3] Sivakumar, B., & Woldemeskel, F. (2014). Complex networks for streamflow dynamics. Hydrology and Earth
System Sciences, 11(18), 7255–7289.
[4] Chapra, S. C. (2008). Surface water-quality modeling. Waveland press.
[5] MINISTERIO DE AMBIENTE Y DESARROLLO SOSTENIBLE. (2022). Estudio Nacional del agua-ENA
2022. República de Colombia. Recuperado de https://www.andi.com.co/Uploads/ENA%202022 compressed.
pdf
[6] Garcı́a Usuga, J. (2022). Simulación de la evolución de los parámetros fı́sico - quı́micos del agua en las cuencas
del departamento del Quindı́o, basada en redes complejas y ecuaciones en derivadas parciales. Universidad
Nacional de Colombia.
[7] Garcı́a-Usuga, J. M., Olivar-Tost, G., Mesa-Mazo, M. J., & Acosta-Minoli, C. A. (2021). Modeling the dynamics
of total suspended solids in a mountain basin using network theory. River Research and Applications, 37(7),
955–966.
17
Memorias | Conferencias
[8] Garcı́a, J. M., Mesa, M. J., & Olivar, G. (2020). Application of the theory of networks to model a drainage
network of a watershed: case study department of Quindı́o Colombia. Hidrobiológica, 30(2), 129–142.
[9] Gaudard, A., Weber, C., Alexander, T. J., Hunziker, S., & Schmid, M. (2018). Impacts of using lakes and rivers
for extraction and disposal of heat. WIREs Water, 5(5), e1295.
[10] Sierra, C. A. (2021). Calidad del agua: evaluación y diagnóstico. Ediciones de la U. Universidad de Medellı́n.
[11] Tzatchkov, V. G., Aldama, A. A., & Arreguin, F. I. (2002). “Advection-dispersion-reaction modeling in water
distribution networks.” Journal of Water Resources Planning and Management, 128(5), 334–342.
[12] Tzatchkov, V., Aldama Rodrı́guez, A., & Arreguı́n Cortés, F. (2000). “Modelación numérica de la advección
y dispersión de solutos en redes de distribución de agua potable.” Instituto Mexicano de Tecnologı́a del Agua
IMTA, 15(3), 101–115.
[13] Zuluaga, V., Garcı́a, J. M., Mesa, M. J., & Acosta-Minoli, C. A. (2020). Use of network theory to model water
quality parameters in a hydrological network. Journal of Physics: Conference Series, 1448, 012006.
18
V Encuentro Matemático del Caribe
Múltiples ciclos lı́mite en un modelo
de depredación del tipo Leslie
Autores: Paulo Cesar Tintinago Ruiz1, Leonardo Duvan Restrepo2
Universidad del Quindı́o1, Universidad del Tolima2
E-mail: pctintinago@uniquindio.edu.co1, ldrestrepoa@ut.edu.co2
Resumen: En este trabajo se muestran los resultados principales del estudio matemático de un modelo de depredación
del tipo Leslie descrito por un sistema bidimensional de ecuaciones diferenciales ordinarias. Se demuestra que las
soluciones del sistema son acotadas, mostrando que el modelo está bien propuesto. Se determinan las condiciones de
existencia de los puntos de equilibrio y se estable la naturaleza de cada uno de ellos. Se demuestra la existencia de
curvas separatrices y curvas heteroclinicas. El resultado más importante es la determinación de ciclos infinitesimales y
no infinitesimales. Se mostraran algunas simulaciones y la interpretación de los resultados matemáticos obtenidos.
Palabras & frases clave: Modelo depredador-presa, respuesta funcional, estabilidad, bifurcación.
Referencias
[1] Arrowsmith, D. K. and Place, C. M. Dynamical System. Differential equations, maps and chaotic behaviour, Chap-
man and Hall, 1992.
[2] Chicone, C. Ordinary differential equations with applications, Texts in Applied Mathematics, 34, Springer, 1999.
[3] Dumortier, F., Llibre, J. and Artés, J. C. Qualitative theory of planar differential systems, Springer, 2006.
[4] Gaiko, Valery. Global bifurcation theory and Hilbert’s sixteenth problem. Vol. 562. Springer Science & Business
Media, 2013.
[5] González-Olivares E., P. Tintinago-Ruiz and A. Rojas Palma, A Leslie-Gower type predator-prey model with
sigmoid functional response, International Journal of Computer Mathematics 92 (2015) 1895-1909.
[6] P. Turchin, Complex populations dynamics: A theoretical/empirical synthesis, Princeton University Press, 2003.
19
Memorias | Conferencias
Modelo matemático para la dinámica de la infección
por VIH en una población con estructura
de edad y condiciones de riesgo asociadas
Autores: Francisco Andrés Betancourt-Arteaga1, Hernán Darı́o Toro-Zapata2, Jorge
Mario Garcı́a-Usuga3
Universidad del Quindı́o1,2,3
E-mail: fabetancourt@uniquindio.edu.co1, hdtoro@uniquindio.edu.co2,
jmgarcia@uniquindio.edu.co3
Resumen: La Teorı́a de Redes Complejas es un área de la matemática con bases en la teorı́a clásica de grafos de las
matemáticas discretas. En las últimas décadas, y gracias al surgimiento de los métodos computacionales, se ha dado
un desarrollo acelerado de las técnicas de análisis y se han encontrado múltiples aplicaciones a diversos problemas
de la Ciencia y la Tecnologı́a. En este sentido, este trabajo pretende exponer la utilidad de las redes complejas para
estudiar la dinámica de propagación del VIH en una población susceptible con diferentes grupos etarios y condiciones
de riesgo, donde los vértices de la red representan personas; adicionalmente, se incorpora en cada vértice infectado la
dinámica de infección por VIH con diferentes caracterı́sticas en la escala inmunológica, la cual es modelada mediante
un sistema de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, EDO. Esta estructura multiescala del modelo permite condicionar
la dinámica de propagación en la escala poblacional al estado particular inmunológico de los individuos y viceversa.
Palabras & frases clave: Modelos matemáticos; VIH; sistema inmunológico; terapia antirretroviral, redes complejas.
Introducción
Para la implementación de la red compleja, se tomó como base una red aleatoria de tipo Barabási - Albert [1] [2],
[3] con un parámetro k = 8, indicando un numero promedio de conexiones, es decir, cada nodo de la red representa
una persona, y en promedio cada persona tiene de media 8 posibles parejas sexuales. La cantidad de nodos fue de
450.000. En la Figura 2 se muestra la distribución de grado de los nodos de la red, en la cual, los nodos de bajo grado,
Figura 2: Distribución de grado de los nodos de la red
es decir, los que presentan un número bajo de conexiones son más numerosos; mientras que los nodos de grado alto
son poco frecuentes. Ahora bien, en este trabajo, para simular el contagio entre personas (nodos de la red), se propone
20
V Encuentro Matemático del Caribe
un modelo en ecuaciones diferenciales ordinarias para la dinámica de interacción del VIH con el sistema inmunológico
de una persona infectada (nodos infectados). El modelo permite describir en términos de concentración promedio los
niveles de células T CD4 susceptibles a la infección T = T (t), células T CD4 infectadas T ∗ = T ∗(t), células T CD8
supresoras C = C(t), carga viral V = V(t) y carga viral no infecciosa W = W(t) de cada individuo a lo largo del tiempo
t. N Número promedio de producción viral; c Tasa de eliminación del virus; β Tasa de infección de las células T CD4
susceptibles; σ Tasa de producción constante de células T CD4 ; µ Tasa de muerte natural de las células T CD4 no
infectadas; δ Tasa de muerte de las células T CD4 infectadas por causa de la infección; λ Tasa de proliferación de
células T CD8 activas; ω Tasa de mortalidad de las células T CD8 activas; α Tasa de muerte por acción citotóxica; u
Terapia combinada de ITI e IP; por otro lado las variables de efectividad de las terapias para el modelo inmunológico de
VIH: ε1 ∈ [0, 1] efectividad inhibidores de la transcriptasa inversa, clase de medicamentos antirretrovirales que se usan
para tratar la infección por VIH al inhibir el proceso de transcripción inversa y ε2 ∈ [0, 1] efectividad inhibidores de la
proteasa, clase de medicamentos antivirales que se usan ampliamente para tratar el VIH/SIDA al inhibir la producción
de la enzima proteasa necesaria para la producción de partı́culas virales infecciosas [4].
Figura 3: Simulación con la red compleja de 450.000 personas acoplada al sistema 3, con individuo
inicial un adulto entre 28 y 42 años. simulación llevada a cabo durante 500 dı́as
Con lo que se ha discutido hasta ahora, se describe un modelo completo que permite que el virus se establezca en
el sistema inmune de una persona infectada: Ṫ = σ − β
(1 − ε1u) TV − µT
 ∗ ∗ Ṫ = β (1 −
αT
ε1u) TV − ∗C − δT
∗

1 + αT
Ċ = λT ∗ − ωC (3)
 V̇ = Nδ (1 − ε2u) T ∗ − cVẆ = Nδε2uT ∗ − cW,
el cual está sujeto a condiciones iniciales no negativas. Además está definido en el espacio de parámetros Θ =
{σ, µ, β, δ, α, λ, ω, c} donde σ > 0, 0 < µ ≤ 1, 0 ≤ β ≤ 1, 0 < δ ≤ 1, 0 < α ≤ 1, λ > 0, 0 < ω ≤ 1 y 0 < c ≤ 1.
Con la red compleja y el modelo planteado en (3), se simuló durante 500 dı́as con 450.000 nodos y sólo un infectado
inicial el primer dı́a. La población de los mismos está dividida en niños, adolescentes, adultos y ancianos; cada uno de
los grupos de personas tiene caracterı́sticas inmunológicas diferentes que los hacen susceptibles a la infección.
En la Figura 3 se observa como la infección se extiende rápidamente cuando se toma un nodo (persona) con edad
adulta. Ahora bien, si el individuo inicial se toma un niño con edades entre los 0 y los 4 años la dinámica no es la
misma.
21
Memorias | Conferencias
Referencias
[1] Barabási, A. L. and Albert, R. (1999). Emergence of scaling in random networks, Science 286, pp 509-512.
[2] Barabási, A.-L. (2016). Network Science. Cambridge University Press.
[3] Newman, M. (2010). Networks: An Introduction. Oxford University Press.
[4] Moreno Álvarez, Aroa, HIV/AIDS Study. Bibliographic review of the virus and mathematical models., Universitat
Politècnica de Catalunya, B.S. thesis 67 (2020).
22
V Encuentro Matemático del Caribe
Explorando fronteras: dinámicas antipodales y estabilidad
en sistemas esféricos conformes de 2, n-cuerpos
Autor: Ruben Dario Ortiz Ortiz
Universidad de Cartagena
E-mail: rortizo@unicartagena.edu.co
Resumen: En este trabajo abordamos el problema de los 2 y n-cuerpos en la esfera conformal bidimensionalM2R, con
radio R > 0, introduciendo un potencial alternativo que evita singularidades en puntos antipodales. Investigamos el
comportamiento lı́mite de los equilibrios relativos bajo la simetrı́a de SO(2), enfocándonos en el movimiento de pares
de masas positivas a lo largo de geodésicas. Demostramos que partı́culas puntuales antipodales con masas positivas,
cumpliendo una condición especı́fica sobre la relación radio-masa, pueden moverse libremente como un equilibrio
relativo a lo largo de la geodésica asociada con el campo vectorial de Killing canónico en M2R. Además, se muestra
que un número par de cuerpos con posiciones conjugadas por pares, formando un n-ágono regular y con masa m uni-
forme, pueden desplazarse libremente en una geodésica con velocidades adecuadas, donde este movimiento geodésico
simula un equilibrio relativo. También se incluye una fórmula para el centro de masa. Se establece una relación para el
equilibrio relativo en el problema de los 2 cuerpos en la esfera, análoga a la ley de Snell.
Referencias
[1] PP Ortega Palencia, G Reyes Victoria, Conjugated equilibrium solutions for the 2–body problem in the two di-
mensional sphereM2R for equal masses, arXiv preprint arXiv:1908.06011, (2019).
23
Memorias | Conferencias
Caracterización de series temporales de rayos
cósmicos a largo plazo mediante métricas
de curvatura geométrica de redes
Autor: D. Sierra-Porta
Universidad Tecnológica de Bolı́var
E-mail: dporta@utb.edu.co
Resumen: Este estudio explora la relación entre la geometrı́a y las dinámicas no lineales en series temporales de
conteos de rayos cósmicos registradas en monitores de neutrones ubicados en estaciones terrestres. Utilizando técnicas
avanzadas de análisis geométrico y topológico, se construyen redes complejas a partir de las series temporales y se
calculan medidas de curvatura como la curvatura de Ollivier-Ricci, la curvatura de Forman-Ricci y el flujo de Ricci
para cada serie. El análisis revela correlaciones significativas entre estas métricas de curvatura y parámetros clave
como la rigidez de corte y la latitud del detector. Especı́ficamente, se observa una relación directa entre la curvatura
de Forman-Ricci y la rigidez magnética, mientras que se encuentra una relación inversa entre el flujo de Ricci y la
rigidez magnética. Estos hallazgos sugieren que la estructura geométrica de las redes, influenciada por las condiciones
geomagnéticas, juega un papel crucial en la variabilidad, complejidad y fractalidad de las series temporales de rayos
cósmicos. Además, el estudio destaca la importancia de considerar la topologı́a de las redes y las métricas de curvatura
en el análisis de datos de rayos cósmicos, ofreciendo nuevas perspectivas para comprender los fenómenos del clima
espacial y mejorar los modelos predictivos. Este enfoque integrador no solo avanza nuestro conocimiento sobre la
dinámica de los rayos cósmicos, sino que también tiene importantes implicaciones para mitigar los riesgos asociados
con las condiciones del clima espacial en la Tierra.
Palabras & frases clave: Curvatura de Ollivier-Ricci, Curvatura de Forman-Ricci, Flujo de Ricci, Análisis Topológico
de Datos, Rayos Cósmicos, Clima Espacial.
24
V Encuentro Matemático del Caribe
Ciencia de datos y actividad fı́sica
Autor: Oscar Eduardo Martı́nez
Universidad Sergio Arboleda
E-mail: oscar.martinez@usa.edu.co
Resumen: El auge de la actividad fı́sica post pandemia ha estado ligado a las aplicaciones y dispositivos que permiten
hacer seguimiento de las mismas. Esto sumado a la popularidad que ganaron algunos deportes en donde el distancia-
miento social se facilitaba (ciclismo, atlelistmo) da origen a una gran cantidad de datos para ser analizados. En este
trabajo se documenta la recolección y análisis de datos, tanto geográficos como biométricos a través de dispositivos
GPS, junto con su análisis para comprender la topografı́a de la ruta y cómo esta afecta el desempeño deportivo de
quienes transitan, aplicando conceptos trigonométricos, de cálculo y estadı́stica.
Palabras & frases clave: Ciencia de datos, Estadı́stica, Cálculo, Trigonometrı́a Esférica, Deporte, Ciclismo, Sensores,
Matemática Aplicada.
Introducción
La bicicleta hace parte de la vida y las rutinas de muchos colombianos; desde el niño que recibe una como regalo
de navidad hasta el gran campeón que conquista las rutas europeas, pasando por quien se gana la vida trabajando en
ella. Este trabajo tiene sus orı́genes en el ciclismo aficionado, entendido como la práctica esporádica de este deporte
con fines recreativos o de salud. Esta práctica, combinada con la proliferación de dispositivos GPS y redes sociales, han
dado origen a una gran cantidad de información obtenida a través de colaboración abierta distribuida (crowdsourcing).
Estos datos han sido utilizados en trabajos académicos que permiten entender tanto el desempeño individual ([4], [1],
[2]) como las tendencias grupales de los ciclistas urbanos y recreativos ([6], [3], [5]). En este trabajo, se toman datos
generados en competencia, recolectados con un ciclocomputador, y descargados de la red social Strava para analizar
el perfil del Alto de Guasquita, dar una interpretación adecuada a su pendiente, y ponderar su dificultad (desde lo
deportivo) con respecto a otros puertos de la zona con pendiente similar.
Referencias
[1] Repici, Michael. Because My Garmin Told Me To: A New Materialist Study of Agency and Wearable Technology.
University of South Florida, 2019.
[2] Wamsley, Kyle. Optimal power-based cycling pacing strategies for Strava segments. MS thesis. Kutztown Univer-
sity of Pennsylvania, 2014.
[3] Fischer, Jaimy, Trisalyn Nelson, and Meghan Winters. Riding through the pandemic: Using Strava data to monitor
the impacts of COVID-19 on spatial patterns of bicycling.”Transportation research interdisciplinary perspectives
15 (2022): 100667.
[4] Wolf, Stefan, et al. “Modeling in road cycling for optimal pacing strategies: theory vs. practice.” Journal of Science
and Cycling 7.2 (2018): 18-19.
[5] Sun, Yeran, and Amin Mobasheri. “Utilizing crowdsourced data for studies of cycling and air pollution exposure:
A case study using strava data.” International journal of environmental research and public health 14.3 (2017):
274.
[6] Pogodzinska, Sylwia, Mariusz Kiec, and Carmelo D’Agostino. “Bicycle traffic volume estimation based on GPS
data.” Transportation Research Procedia 45 (2020): 874-881.
25
 
 
 
 
 
 
Teoría de grafos 
 
V Encuentro Matemático del Caribe
On the Harary Laplacian-energy-like
Autor: Luis Medina Caamaño
Universidad de Antofagasta
E-mail: luis.medina@uantof.cl
Resumen: En esta presentación se darán resultados respecto de Harary Laplacian-energy-like, concepto recientemente
introducido para un grafo conectado, simple y no dirigido G. En particular se mostrarán cotas para esta energı́a.1
Palabras & frases clave: Matriz de Harary; Laplacian-energy-like; Reciprocal distance Laplacian matrix.
Introducción
Sea G = (V, E) un grafo conectado, simple y no dirigido con conjunto de vértices V y conjunto de aristas E.
El orden de un grafo es la cardinalidad del conjunto de vértices. La matriz de adyacencia de un grafo G de orden
n, denotada por A(G), es una matriz de orden n × n tal que la entrada en la posición (i, j) es igual a 1 si el vértice
i es adyacente al vértice j, y es igual a 0 en cualquier otro caso. Para i = 1, . . . , n, denotaremos por λi(A(G)) a los
autovalores de la matriz de adyacencia.
La energı́a de un grafo es un concepto dado por Ivan Gutman en [2] como
∑n
E(G) = |λi(A(G))|.
i=1
En 2008, Liu and Liu, definen la Laplacian-energy-like de un grafo [4] como
∑n √
LEL(G) = µi
i=1
donde µ1(G) ≥ µ2(G) ≥ · · · ≥ µn(G) = 0, son los autovalores de (la mat)riz Laplaciana de un grafo G.
La distancia entre los vértices vi y v j de G, denotada por d vi, v j = di, j, es igual al largo (número de aristas) del
camino más corto que conecta vi y v j. La matriz de Harary de un grafo G, que es tambi’én conocida como la matriz
Recı́proca de la distancia, denotada por RD(G), fue definida en 1993, independientemente en [3] y [6], como la matrizde orden n dada por  1
RD(G) i j =  d(vi,v j) if i , j, 0 if i = j.
El grado de la recı́proca de la distancia de un vértice v, de∑notado por RT (v), es dado por1
RT (v) = .
∈ d (u, v)u V(G)
u,v
Sea RT (G) la matriz diagonal de grados de la recı́proca de la distancia definida por RTi,i = RTi = RT (vi) para
i = 1, . . . , n.
En 2018, los autores definen la matriz Laplaciana de la recı́proca de la distancia [1] como
RL (G) = RT (G) − RD (G) .
1Trabajo desarrollado con el soporte del Programa Regional MathAmSud código AMSUD220015.
27
Memorias | Conferencias
Dado que RL (G) es una matriz real simétrica, podemos escribir los autovalores en forma decreciente
λ1 (RL (G)) ≥ λ2 (RL (G)) ≥ · · · ≥ λn−1 (RL (G)) ≥ λn (RL (G)) .
Observamos que RL(G) es una matriz semidefinida positiva.
En [5], definimos y damos cotas para la Harary Laplacian-energy-like
∑n−1 √
HLEL(G) = λi(RL(G)).
i=1
El trabajo fue desarrollado en conjunto con Jonnathan Rodrı́guez y Macarena Trigo y constamos con el apoyo y
financiamiento del Programa Regional MathAmSud código AMSUD220015.
Referencias
[1] R. Bapat, S. K. Panda. The Spectral Radius of the Reciprocal Distance Laplacian Matrix of a Graph, Bulletin of
the Iranian Mathematical Society (2018) 44 (5), 1211-1216.
[2] I. Gutman. The energy of a graph, Ber. Math. Statist. Sekt. Forschungsz. Graz, 103 (1978), 1–22.
[3] O. Ivanciuc, T.S. Balaban, A.T. Balaban, Reciprocal distance matrix, related local vertex invariants and topologi-
cal indices, Journal of Mathematical Chemistry 12 (1993) 309-318.
[4] J. Liu, B. Liu. A Laplacian-energy-like invariant of a graph. MATCH Commun. Math. Comput. Chem. 59 (2008)
355-372.
[5] Medina, L.; Rodrı́guez, J.; Trigo, M. New Spectral Results for Laplacian Harary Matrix and the Harary Laplacian-
Energy-like Applying a Matrix Order Reduction. Mathematics 2024, 12, 2. https://doi.org/10.3390/math12010002
[6] D. Plavsić, S. Nikolić, N. Trinajstić, Z. Mihalić. On the Harary index for the characterization of chemical graphs,
Journal of Mathematical Chemistry 12 (1993) 235–250.
28
V Encuentro Matemático del Caribe
On the Estrada Index of Graphene Graph
Author: Jonnathan Alexander Rodriguez Zambrano
Universidad de Antofagasta
E-mail: jonnathan.rodriguez@uantof.cl
Abstract: The Estrada index, from the point of view of connectivity, is an interesting invariant to investigate as it
allows the study and detection of the 3D properties of molecules and thus be able to compare them. A graphene
sheet is an atomic-scale honeycomb lattice composed of carbon atoms linked in hexagonal shapes, with each carbon
atom covalently bonded to three other carbon atoms. In this paper, considering the spectral theory of graphs as a tool,
we study a way to discretize the graphene sheet and establish lower bounds for the Estrada index of this chemistry
structure.2
Keywords: Estrada Index; chemical graph theory; energy; spectral moments.
References
[1] Ivan Gutman, Hanyuan Deng, and Slavko Radenković, “The Estrada Index: An Updated Survey,” in Selected
Topics on Applications of Graph Spectra, ed. Dragos Cvetković and Ivan Gutman (Beograd: Matematicki Institut,
2011), 155–74.
[2] Bo Zhou, “On Estrada Index,” MATCH Communications in Mathematical and in Computer Chemistry, 60 (2008):
485–92.
[3] Jésica Pantáz - Jonnathan Rodriguez, On the Estrada Index of Graphene Graph, Polycyclic Aromatic Compounds,
(2022).
2J. Rodrıguez was supported by MINEDUC-UA project, code ANT-1899 and Funded by the Initiation Program in
Research - Universidad de Antofagasta, INI-19-06 and Programa Regional MathAmSud code AMSUD220015.
29
Memorias | Conferencias
On spectral invariants of the α-mixed adjacency matrix
Author: Eber Javier Lenes Puello
Universidad del Sinú, Seccional Cartagena
E-mail: elenes@unisinucartagena.edu.co
Abstract: Let Ĝ be a mixed graph and α ∈ [0, 1]. Let D̂(Ĝ) and Â(Ĝ) be the diagonal matrix of vertex degrees and the
mixed adjacency matrix of Ĝ, respectively. The α-mixed adjacency matrix of Ĝ is the matrix
Âα(Ĝ) = αD̂(Ĝ) + (1 − α)Â(Ĝ).
We study some properties of Âα(Ĝ) associated with some type of mixed graphs, namely quasi-bipartite and pre-bipartite
mixed graphs. A spectral characterization for pre-bipartite and some class of quasi-bipartite mixed graphs is given. For
a mixed graph Ĝ we exploit the problem of finding the smallest α for which Âα(Ĝ) is positive semi-definite. This
problem was proposed by Nikiforov in the context of undirected graphs. It is proven here that, for a mixed graph this
number is not greater than 12 and that a connected mixed graph Ĝ with n ≥ 2 is quasi-bipartite if and only if this number
is exactly 12 . The spread of the α-mixed adjacency matrix is the difference among the largest and the smallest α-mixed
adjacency eigenvalue. Upper and lower bounds for the spread of the α- mixed adjacency matrix are obtained. The
α-mixed Estrada index of Ĝ is the sum of the exponentials of the eigenvalues of Âα(Ĝ). In this paper, bounds for the
eigenvalues of Âα(Ĝ) are established and, using these bounds some sharp bounds on the mixed Estrada index of Âα(Ĝ)
are presented.
Keywords: Mixed graph; mixed Laplacian matrix; α-mixed adjacency matrix; spread; α-mixed Estrada Index.
Introduction
This section introduces the definition of mixed graphs and some basic notation and results used throughout the
paper. Recall that a mixed graph Ĝ is a pair (V(Ĝ), E(Ĝ)) where V(Ĝ) = {v1, v2, . . . , vn} is a nonempty set of objects
called vertices and a link set E(Ĝ) of cardinality m obtained by considering a subset
E(Ĝ) = {(vi, v j) : vi, v j ∈ V(Ĝ), vi , v j},
such that if (vi, v j), (v j, vi) ∈ E(Ĝ) then the edge viv j ∈ E(Ĝ) and if (vi, v j) ∈ E(Ĝ) and (v−−→ j
, vi) < E(Ĝ) then the arc
viv j ∈ E(Ĝ). The vertices vi and v j are, respectively, the tale and the head of the arc v−−→iv j ∈ E(Ĝ).
The graph is said to be an undirected graph if the set E(Ĝ) only contains edges, and if E(Ĝ) only contains arcs, the
graph is called a directed graph or digraph.
The set of links of Ĝ is simply denoted by E(Ĝ) = {ê1, ê2, . . . , êm}. The concept of mixed graph includes the
extreme cases, that is, the case of undirected graphs and the case of digraphs. The underlying graph of a mixed graph
Ĝ, denoted by ĜU , is a simple undirected graph obtained considering as its edges all the links of Ĝ (edges or arcs).
In order to define the degree of a vertex, say vi, we focus on the underlying graph, ĜU . In fact, the degree of a
vertex vi is the degree of a vertex in ĜU and it is denoted by di. Let ê ∈ E(Ĝ). Denote by êc the link defined as follows.
If ê is an arc, then êc is an edge. Similarly, if ê is an edge, then êc is a directed arc. The set E(Ĝc) = {ec : e ∈ E(Ĝ)} is
called the set of complementary links of Ĝ. The graph Ĝc = (V(Ĝ), E(Ĝc)) is the complement mixed graph of Ĝ. It is
easy to notice that the underlying graphs of Ĝ and Ĝc coincide.
Concerning the mixed Laplacian matrix, in [2], (see also [1]), the incidence matrix of Ĝ was defined as M(Ĝ) =
(muê), where muê = 1 if the vertex u is incident to the edge ê or u is the tale of the arc ê; muê = −1 if the vertex u is the
head of the arc ê; muê = 0 otherwise. Then, the mixed Laplacian matrix can be written as:
L̂(Ĝ) = M(Ĝ)M(Ĝ)T , (4)
30
V Encuentro Matemático del Caribe
where M(Ĝ)T is the transpose of M(Ĝ). This matrix is symmetric and positive semi-definite. For any Hermitian matrix
B of order n, its eigenvalues are denoted by λi(B), i = 1, . . . , n, and its spectrum by S p(B). If B is symmetric then
its eigenvalues are real and they can be ordered as λ1(B) ≥ · · · ≥ λn(B). In this paper we order the eigenvalues of
a symmetric matrix in a non increasing order. Then, we can write and order the eigenvalues of L̂(Ĝ) by λ1(L̂(Ĝ)) ≥
λ2(L̂(Ĝ)) ≥ · · · ≥ λn(L̂(Ĝ)) ≥ 0.
The adjacency matrix of a mixed graph that is denoted here by Â(Ĝ), was introduced in [1], and it is a matrix that
has rows and columns indexed by the set of vertices of Ĝ, where its (u, v)-entry is equal to 1 (respectively, −1) if the
vertices u and v are connected by an edge (respectively, an arc), and 0, otherwise. The spectrum of Â(Ĝ) is referred to
as the spectrum of Ĝ, and it is denoted by S p(Ĝ). We named it as mixed spectrum.
In X.D. Zhang and R. Luo [1], the Laplacian matrix of a mixed graph was obtained as the sum of the diagonal
matrix of vertex degrees D̂(Ĝ) and the adjacency matrix Â(Ĝ) (defined above), that is,
L̂(Ĝ) = D̂(Ĝ) + Â(Ĝ). (5)
If Ĝ is an undirected graph, we just write G and the diagonal matrix of vertex degrees and the adjacency matrix are
just denoted by D(G) and A(G), respectively. Additionally, if Ĥ is a subgraph of Ĝ, then DĜ(Ĥ) denotes the diagonal
matrix of vertex degrees of the vertices in Ĥ considering its degrees in Ĝ.
Note that if Ĝ coincides with its underlying graph ĜU , the matrix in (5) coincides with the matrix D(ĜU) + A(ĜU).
This matrix is known as the signless Laplacian matrix of ĜU and it is denoted by Q(ĜU) (see [3]). By other side, if the
links in Ĝ are only arcs the matrix in (5) coincides with the matrix D(ĜU)−A(ĜU) which is known as the combinatorial
Laplacian matrix of ĜU , and it is denoted by L(ĜU) (see [3]).
Notation: If Z is a set, the cardinality of Z is denoted by ](Z). If B is a matrix, the notation |B| represents a matrix
whose (i, j)-entry is the modulus of the (i, j)-entry of B. BT denotes its transpose. Moreover, if B is square and λ is
an eigenvalue of B with u as an eigenvector associated to it, the pair (λ,u) is called an eigenpair of B.The algebraic
multiplicity p of an eigenvalue λ is denoted by λ[p]. The trace of B is denoted by tr(B). A zero matrix is denoted by
0 (the dimension should be clear from the context). A column vector in Cn (Rn) is denoted by v, and its conjugate
transpose is denoted by v∗. The euclidean norm of v is denoted by ‖v‖. If v ∈ Rn we denote by vi its i-th coordinate,
for all i = 1, . . . , n. The complete graph with n vertices is denoted by Kn and its complement is Kn. Moreover, Cn is
the cycle with order n and the complete bipartite graph is denoted by K̂a,b. The star with n vertices is Ŝ n. Additionally,
for u ∈ V(Ĝ), we consider ∆ = max du and δ = min du. Moreover, cu and ku are the number of edges and arcs,
u∈V(Ĝ) u∈V(Ĝ)
respectively, incident on a vertex u in a mixed graph. The number of links is just denote by m and when we want to
specify the graph we write m(Ĝ).
In what follows the α- mixed adjacency matrix is defined. Consider α ∈ [0, 1].
The α-mixed adjacency matrix of the mixed graph Ĝ, is the matrix
Âα(Ĝ) = αD̂(Ĝ) + (1 − α)Â(Ĝ). (6)
We note that
Â0(Ĝ) = Â(Ĝ), 2Â1/2(Ĝ) = L̂(Ĝ), and Â1(Ĝ) = D̂(Ĝ).
The α-adjacency matrix of a mixed graph Ĝ is symmetric. As this matrix depends on the number α,with α ∈ [0, 1],
its i-th eigenvalue will be denoted in a different way by µi(α) (or µi(α)(Ĝ), if we want to specify the graph). Then, if
Âα(Ĝ) is of order n we have:
µ1(α) ≥ µ2(α) ≥ · · · ≥ µn(α). (7)
In order to introduce a motivation for the study of the convex combination as in (6), we recall some results on the con-
tinuous dependence of the eigenvalues concerning its associated matrix. According to the citations in the text, matrices
are faced here as linear operators. We recall that the vector space of the linear operators from Rn to Rn, L (Rn,Rn), is a
normed vector space and any pair of norms are equivalent (see [4, Ch 1, Section 4]).
31
Memorias | Conferencias
Following [4, Ch 2, Section 6], the eigenvalues of a symmetric linear operator can be regarded as continuous
functions of the respective operator. Furthermore, as the norms are equivalent, any norm in L (Rn,Rn) can be used
when the continuity of the eigenvalues (as functions of the linear operator) is considered. Thus, we will use the norm
of the supreme (see [4, Ch 1, Section 4]).
Let 0 < α, β < 1. Noting that Â(Ĝc) = −Â(Ĝ), clearly:
∥∥∥ ∥∥∥ ∥ ∥Âα(Ĝ) − Âβ(Ĝ) ∥= sup ∥(Âα(Ĝ∥) − Âβ(Ĝ))x∥
∥
∥ (8)‖x‖=1
= |α − β| sup ∥∥
∥(D̂(Ĝ) −∥ A(Ĝ))x∥
∥ (9)
‖x‖=1
= |α − β| sup ∥∥L̂(Ĝc)x∥∥ .
‖x‖=1
Therefore,
lim Âα(Ĝ) = Âβ(Ĝ),
α→β
and by continuity,
lim µ
→ j
(α) = µ j (β) .
α β
The previous statement can be verified taking the limit when α→ β to the following system of inequalities
µ1 (α) ≥ µ2 (α) ≥ . . . ≥ µn (α)
↓ ≥ ↓ ≥ . . . ≥ ↓
µ1 (β) ≥ µ2 (β) ≥ . . . ≥ µn (β) .
We remark that, the inequalities in the middle mean that the eigenvalues of Âα(Ĝ) tend (in an ordered way) to the
eigenvalues of Âβ(Ĝ) when α tends to β. This means that the eigenvalues of both matrices do not interlace.
Note that if α = 0 and 0 < β < 1, from (8) it is clear that
lim Âβ(Ĝ) = Â0(Ĝ) = Â(Ĝ).
β→+0
Therefore, using the definition of continuity in closed intervals and the continuity of the eigenvalues we have
lim µ j(β) = µ→ j
(0).
β +0
Moreover, if 0 < α < 1 and β = 1, from (8) it is clear that
lim Âα(Ĝ) = Â1(Ĝ) = D̂(Ĝ).
α→−1
Again, using the same arguments as before
lim µ
→− j
(α) = µ j(1).
α 1
Therefore, the ordered eigenvalues of Â(Ĝ) change continuously to the ordered eigenvalues of 12 L̂(Ĝ), which change
continuously to the ordered eigenvalues of D̂(Ĝ). Thus, the study of the parameterized family Âα(Ĝ) offers an unified
spectral study of the matrices D̂(Ĝ), 12 L̂(Ĝ) and Â(Ĝ).
References
[1] X.D. Zhang, R. Luo. The Laplacian eigenvalues of mixed graphs. Linear Algebra Appl. 362 (2003), 109-119.
32
V Encuentro Matemático del Caribe
[2] R. B. Bapat, J. W. Grossman, D. M. Kulkarni. Generalized matrix tree theorem for mixed graphs. Linear Multilin-
ear Algebra. 46 (1999), 299–312.
[3] A. E. Brouwer, W. Haemers. Spectra of graphs. Springer-Verlag (2012).
[4] T. Kato, Perturbation theory for linear operators, Grundlehren 132, 1976, Springer-Verlag, Berlin, New York.
33
Sistemas Dinámicos
V Encuentro Matemático del Caribe
Homeomorfismos con dimension de Hausdorff
media maximal son genéricos
Autor: Jeovanny de Jesus Muentes Acevedo
Universidad Tecnológica de Bolı́var
E-mail: jmuentes@utb.edu.co
Resumen: Un sistema dinámico es una función continua φ : M → M, también denotado por (M, φ), donde M es un
espacio topológico. En el área de sistemas dinámicos estudiamos el comportamiento cualitativo de la composición
φn(x) = φ ◦ · · · ◦ φ(x).
Los sistemas dinámicos son clasificados por medio de conjugaciones topológicas: Si (M, φ) y (N, ψ) son dos sistemas
dinámicos, decimos que (M, φ) está incrustado en (N, ψ) si existe una función h : M → N tal que h : M → h(M) es un
homeomorfismo y h ◦ φ = ψ ◦ h, es decir, el diagrama conmuta:
φ
M // M
h h
 
N // N
ψ
En este caso, se entiende que (M, φ) es un “sub-sistema” de (N, ψ). Si h(M) = N, decimos que (M, φ) y (N, ψ) son
conjugados topológicamente y h : M → N es llamado una conjugación topológica.
La entropı́a topológica de un sistema dinámico φ → M, que fue introducida por R. L. Adler, A. G. Konheim y
M. H. McAndrew en 1965, es una de las herramientas principales para caracterizar sistemas dinámicos. Sin embargo,
Koichi Yano demostró que si N es una variedad compacta con dimensión topológica dim(N) ≥ 2, entonces el conjunto
que consiste en todos los homeomorfismos φ : N → N con entropı́a topológica infinita es residual en Hom(N) (ver
[12], 1980). Por lo tanto, es necesario buscar otras herramientas que nos permitan distinguir homeomorfismos cuando
su entropı́a es infinita.
La dimensión topológica media de un sistema dinámico (M, φ), denotada por mdim(M, φ), es un invariante bajo
conjugación topológica. Esta noción fue introducida por Gromov en 1999 (ver [7], 1999) y refina la entropı́a topológica
para sistemas con entropı́a infinita (ver [9], 2000).
Calcular el valor de mdim(M, φ) es una tarea difı́cil. En busca de encontrar otras formas de estimar mdim(M, φ),
Lindenstrauss y Tsukamoto ([8], 2019) introdujeron la dimensión de Hausdorff media de un sistema dinámico φ : M →
M, donde M es un espacio métrico compacto con métrica d. La dimensión media de Hausdorff de φ : M → M se
denota por mdimH(M, d, φ). Tenemos que
mdim(M, φ) ≤ mdimH(M, d, φ).
En esta charla hablaremos de la construcción de la dimensión de Hausdorff media, presentaremos algunos ejemplos
interesantes y algunas propiedades fundamentales. Además, si N es una variedad Riemanniana compacta de dimensión
n ≥ 2, el conjunto de homeomorfismos en N con dimensión de Hausdorff media igual a n contiene un subconjunto
residual de Hom(N). Todos los resultados se pueden encontrar en [2]. Otros trabajos fundamentales sobre esta teorı́a
son: [1], [3], [4], [5], [6], [9], [10], [11].
Palabras & frases clave: dimensión topológica media, dimensión métrica media, dimension de Hausdorff media,
entropı́a topológica.
35
Memorias | Conferencias
Referencias
[1] Acevedo, Jeovanny M., Baraviera, A., Becker, A. J., & Scopel, É. “Metric mean dimension and mean Hausdorff
dimension varying the metric.” Aceptado en Qualitative Theory of Dynamical Systems (2024).
[2] Acevedo, Jeovanny Muentes. “Genericity of homeomorphisms with full mean Hausdorff dimension.” Regular and
Chaotic Dynamics (2024): 1-17.
[3] Acevedo, J.M. “Genericity of continuous maps with positive metric mean dimension”. Results Math 77, 2 (2022).
[4] Acevedo, J. D. J. M., Ibarra, S. R., & Cantillo, R. A. “Density of the level sets of the metric mean dimension for
homeomorphisms”. Journal of Dynamics and Differential Equations (2024).
[5] Dou, Dou. “Minimal subshifts of arbitrary mean topological dimension.”Discrete and Continuous Dynamical Sys-
tems 37.3 (2016): 1411-1424.
[6] Gutman, Yonatan. “Embedding topological dynamical systems with periodic points in cubical shifts.”Ergodic
Theory and Dynamical Systems 37.2 (2017): 512-538.
[7] Gromov, Misha. “Topological invariants of dynamical systems and spaces of holomorphic maps: I.” Mathematical
Physics, Analysis and Geometry 2.4 (1999): 323-415.
[8] Lindenstrauss, Elon, and Masaki Tsukamoto. “Double variational principle for mean dimension.” Geometric and
Functional Analysis 29.4 (2019): 1048-1109.
[9] Lindenstrauss, Elon, and Benjamin Weiss. “Mean topological dimension.”Israel Journal of Mathematics 115.1
(2000): 1-24.
[10] Lindenstrauss, Elon. “Mean dimension, small entropy factors and an embedding theorem.” Inst. Hautes Etudes
Sci. Publ. Math. 89 (1999), 227–262.
[11] Tsukamoto, Masaki. “Mean dimension of full shifts.” Israel Journal of Mathematics 230.1 (2019): 183-193.
[12] Yano, Koichi. “A remark on the topological entropy of homeomorphisms.”Inventiones mathematicae 59.3 (1980):
215-220.
36
V Encuentro Matemático del Caribe
Sombreamiento para operadores de composición
sobre un espacio de Hardy-Hilbert
Autor: Carlos Fabian Álvarez Escorcia
Pontificia Universidad Católica de Valparaı́so & Universidad del Sinú
E-mail: carlos.alvarez.e@pucv.cl & carlosfalvarez@unisinu.edu.co
Resumen: En esta charla abordaremos un operador lineal definido sobre un espacio de Hardy-Hilbert. Este operador es
obtenido mediante la composición de funciones con una función fija, la cual llamaremos de sı́mbolo. Para tal operador
estudiaremos una noción de la dinámica lineal llamada de sombreamiento. Concretamente, daremos una caracterización
de los sı́mbolos que permiten al operador satisfacer una propieadad de sombreamiento.
Palabras & frases clave: Sombreamiento, Operador de composición, Espacio de Hardy
Introducción
Vamos considerar C+ := {z ∈ C : Re(z) > 0} como el semiplano derecho complejo. El espacio de Hardy-Hilbert de
C+ es denotado por H2(C+). Este es un espac(io de Hilb∫ert de funciones h)olomorfas sobre C+ equipado con la norma∞ 1
‖ 1
2
f ‖2 = sup | f (x + iy)|2dy < ∞.
0<x<∞ π −∞
1
Para cada β ∈ C+, el kernel reproductor para H2(C+) en β, es la función definida por kβ(w) = . Este kernel
w + β
satisface la siguiente relación fundamental
〈 f , kβ〉 = f (β) para todo f ∈ H2(C+). (10)
Sea ϕ : C+ → C+ un mapa homolomorfo. Entonces, el operador de composición con sı́mbolo ϕ, es el operador
lineal (no necesariamente limitado) definido por
Cϕ f = f ◦ ϕ, para cada f ∈ H2(C+).
Elliott y Jury probaron que ϕ induce un operador continuo C sobre H2ϕ (C+) si y solamente si ϕ(∞) = ∞ y el
siguiente lı́mite existe y es finito
′ w
√ ϕ (∞) := lı́m . (11)w→∞ ϕ(w)
Adicionalmente, ellos mostraron que ‖C ‖ = ϕ′ϕ (∞), ver [4]. Por otro lado, Matache [6] probó que los únicos mapas
fraccionales lineales de C+ que inducen un operador de composición continuo sobre H2(C+) son los mapas afines
ϕ(w) = aw + b, (12)
donde a > 0 y Re(b) ≥ 0.
Un mapa afin ϕ es llamado parabólico si a = 1 y es un automorfismo parábolico si adicionalmente Re(b) = 0.
Por otro lado, ϕ es llamado hiperbólico si a , 1 y es un automorfismo hiperbólico si adicionalmente Re(b) = 0. Los
mapas hiperbólicos que no son automorfismos son de la forma: ϕ(w) = aw + b con a ∈ (0, 1) ∪ (1,∞) y Re(b) > 0. Por
simplicidad, ϕ es llamada de hyperbólico de tipo I si a ∈ (0, 1) y Re(b) ≥ 0. Similarmente, ϕ es llamado de hyperbólico
de tipo II si a ∈ (1,∞) y Re(b) ≥ 0.
En 2020, Noor y Severiano obtuvieron el siguiente teorema:
37
Memorias | Conferencias
Teorema 1. Sea ϕ(w) = aw + b con a > 0 y Re(b) ≥ 0. Entonces
1. Cϕ es normal si y solamente si a = 1 o Re(b) = 0.
2. Cϕ es autoadjunto si y solamente si a = 1 y b ≥ 0.
3. Cϕ es unitário si y solamente si a = 1 y Re(b) = 0.
El resultado previo será de gran utilidad para estudiar propiedades dinámicas para el operador Cϕ. El resultado
principal de la charla es el siguiente:
Teorema 2 (Álvarez-Henrı́quez). Sea ϕ(w) = aw + b un mapa sobre C+ con a > 0 y Re(b) ≥ 0. Entonces, Cϕ tiene la
propiedad de sombreamiento positiva si y solamente si ϕ es un automorfismo hiperbólico o un mapa hyperbólico de
tipo II (no automorfismo).
Referencias
[1] Álvarez, C. F., and Henrı́quez-Amador, J. Dynamical properties for composition operators on H2(C+). arXiv pre-
print arXiv:2306.06006 (2023).
[2] Bayart, F., and Matheron, E. Dynamics of linear operators, vol. 179 of Cambridge Tracts in Mathematics. Cam-
bridge University Press, Cambridge, 2009.
[3] Bernardes, Jr., N. C., Cirilo, P. R., Darji, U. B., Messaoudi, A., and Pujals, E. R. Expansivity and shadowing in
linear dynamics. J. Math. Anal. Appl. 461, 1 (2018), pp. 796-816.
[4] Elliott, S., and Jury, M. T. Composition operators on Hardy spaces of a half-plane. Bull.Lond. Math. Soc. 44, 3
(2012), pp. 489-495.
[5] Matache, V. Composition operators on Hardy spaces of a half-plane. Proc. Amer. Math. Soc. 127, 5 (1999), pp.
1483-1491.
[6] Matache, V. Invertible and normal composition operators on the Hilbert Hardy space of a half-plane. Concr. Oper.
3, 1 (2016), pp. 77-84.
[7] Schroderus, R. Spectra of linear fractional composition operators on the Hardy and weighted Bergman spaces of
the half-plane. J. Math. Anal. Appl. 447, 2 (2017), pp. 817-833.
38
V Encuentro Matemático del Caribe
Sobre la continuidad de los atractores
de sistemas dinámicos
Autor: Jorge Armando Reyes Vásquez
Universidad de Córdoba / UMH de Elche, España
E-mail: jorgereyesv@correo.unicordoba.edu.co
Resumen: En esta charla vamos a estudiar la convergencia de los atractores de tipo “pullback” de sistemas dinámicos
asintóticamente autónomos al atractor del problema autónomo lı́mite, en el caso de procesos univaluados y comentare-
mos un poco sobre el estado del arte en el caso multivaluado, es decir, cuando no hay unicidad del problema de cauchy.
Este es un trabajo en conjunto con José Valero Cuadra.
Palabras clave: Sistemas dinámicos, atractor global, atractor “pullback”, sistemas multivaluados, sistemas asintótica-
mente autónomos, métrica de Hausdorff.
Introducción
Actualmente se conocen ciertos resultados que prueban que las secciones de los atractores de tipo pullback conver-
gen en la semidistancia de Hausdorff al atractor del semigrupo lı́mite ([1], [2], [3], [4], [5]). Estos resultados teóricos
se han aplicado a ecuaciones de reacción-difusión y a otras ecuaciones parabólicas. Algunos de estos resultados se han
extendido a procesos multivaluados ([5], [6], [8]). Sin embargo, no se conocen resultados referentes a la convergencia
en la distancia de Hausdorff, para lo cual se necesita un conocimiento más preciso de la estructura del atractor.
Referencias
[1] Ball J. M. “Continuity properties and global attractors of generalized semiflows and the Navier-Stokes equations.”
Mechanics: From Theory to Computation: Essays in Honor of Juan-Carlos Simo. New York, NY: Springer New
York, 2000. 447-474.
[2] Carvalho, Alexandre, José A. Langa, and James Robinson. Attractors for infinite-dimensional non-autonomous
dynamical systems. Vol. 182. Springer Science & Business Media, 2012.
[3] Cui, Hongyong. “Convergences of asymptotically autonomous pullback attractors towards semigroup attractors.”
Discrete and Continuous Dynamical Systems-B 24.8 (2019): 3525-3535.
[4] Kloeden, Peter E., and Jacson Simsen. “Attractors of asymptotically autonomous quasi-linear parabolic equation
with spatially variable exponents.” Journal of Mathematical Analysis and Applications 425.2 (2015): 911-918.
[5] Li, Yangrong, Lianbing She, and Renhai Wang. “Asymptotically autonomous dynamics for parabolic equations.”
Journal of Mathematical Analysis and Applications 459.2 (2018): 1106-1123.
[6] Rita de Cássia, D. S., Alexandre N. Carvalho, and José Valero. “A non-autonomous scalar one-dimensional dissi-
pative parabolic problem: the description of the dynamics.”Nonlinearity 32.12 (2019): 4912.
[7] Robinson, James C. Infinite-Dimensional Dynamical Systems: An Introduction to Dissipative Parabolic PDEs and
the Theory of Global Attractors. Vol. 28. Cambridge University Press, 2001.
[8] Valero, José. “Characterization of the attractor for nonautonomous reaction-diffusion equations with disconti-
nuous nonlinearity”. Journal of Differential Equations 275 (2021): 270-308.
39
Análisis
V Encuentro Matemático del Caribe
Análisis de Fourier e integración generalizada:
el caso de dos teoremas fundamentales
Autor: Francisco J. Mendoza Torres
Benemérita Universidad Autónoma de Puebla
E-mail: francisco.mendoza@correo.buap.mx
Resumen: Haremos un repaso sobre algunas integrales, desde las creadas por Newton y Leibniz, y la estrecha relación
con el desarrollo de Fourier. En partı́cular enfatizaremos la evolución del Lema de Riemann-Lebesgue y de dirichlet-
Jordan.
Palabras & frases clave: Transformada de Fourier, Integración Generalizada, Integral de Henstock-Kurzweil, Lema
de Riemann-Lebesgue, Teorema de Dirichlet-Jordan.
41
Memorias | Conferencias
The New Fractal derivative, some results
Autor: Miguel Vivas-Cortez
Pontificia Universidad Católica del Ecuador
E-mail: mjvivas@puce.edu.ec
Resumen: The fractional derivative has captured the interest of researchers in the last and present century, and the
impact of fractional calculus in both pure and applied mathematics has begun to increase substantially during the last
two decades (see [4]-[7]). In this work we carry out a review of the Hausdorff derivative, which relates the Hausdorff
measure with fractal geometry, this derivative also known as the Chen derivative was proposed by the mathematician
Wen Chen, as well as the Chen integral suggested by the same author in 2018 (see [1]) to develop a three-dimensional
diffusion model for fractal porous medium [2]. We also present results associated with the new fractal derivative
proposed by Sadek and Alaoui in 2022 (see [3]), especially emphasizing the properties of the exponential fractal
derivative, the exponential fractal integral, and the fractal Laplace transform.
Keywords: Fractal Derivative, Rolle Theorem, Hausdorff Derivative.
References
[1] Chen, W.,Hei. X.,Sun. H, and Hu, D. (2018) Stretched exponential stability of nonlinear Hausdorff dynamical
systems. Chaos, Solitons and Fractal, 109, 259-264.
[2] Cai, W., Chen, W., and Wang, F.(2018) Three-dimensional Hausdorff derivative diffusion model for
isotropic/anisotropic fractal porous media. Thermal Science, 22 (Suppl. 1),1-6.
[3] Alaoui, H., Sadek, L. A new definition of the fractal derivative with classical properties. 2022. HAL.
[4] Guzman, P., Lugo, L., Nápoles Valdés, J., and Vivas-Cortez, M. (2020). On a new generalized integral operator
and certain operating properties. Axioms, 9(2), 69.
[5] Vivas-Cortez, M., Nápoles Valdés, J., Hernández, J., Velasco, J. and Larreal, O. (2021). On nonconformable
fractional Laplace transform. Applied Mathematics and Information Sciences, 15(4), 403–409.
[6] Vivas-Cortez, M., Lugo, L., Nápoles Valdés, J, Samei, M.E. (2022). A Multi-Index Generalized Derivative; Some
Introductory Notes. Applied Mathematics and Information Sciences, 16(6), 883–890.
[7] Vivas-Cortez, M., Kashuri, A., Liko, R. Hernández J.E. (2020).Some New q-integral inequalities using generalized
quantum Montgomery identity via preinvex functions. Symmetry 12(4) 553https://doi.org/10.3390/sym12040553
42
V Encuentro Matemático del Caribe
Operadores estrictamente singulares
y estrictamente cosingulares
Autor: Margot Salas-Brown
Universidad Sergio Arboleda
E-mail: margot.salas@usa.edu.co
Resumen: Los operadores estrictamente singulares surgen del estudio de las perturbaciones para operadores semi-
Fredholm. Estos operadores pueden verse como una generalización del concepto clásico de operador compacto y
fueron introducidos en 1958 por Kato [2]. Los operadores estrictamente singulares, al ser una generalización de los
compactos, poseen muchas propiedades similares a las que satisfacen estos, por ejemplo, son un subespacio cerrado
de los operadores lineales y acotados L(X,Y) o forman un ideal de operadores. Con respecto a nociones de dualidad,
es conocido que un operador es compacto si y solo si su adjunto lo es; sin embargo, esta propiedad no es cierta para
los operadores estrictamente singulares. En 1965, Pelczynski [3] introduce el concepto de operador estrictamente
cosingular, el cual es la noción dual del concepto de operador estrictamente singular. Pelczynski mostró que si el
adjunto de T , T ∗, es estrictamente cosingular, entonces T es estrictamente singular, y si T ∗ es estrictamente singular,
entonces T es estrictamente cosingular [3].
En esta charla, hablaremos de algunas propiedades de los operadores estrictamente singulares y cosingulares. También,
abordaremos los operadores Φ-singulares y Φ-cosingulares, los cuales pueden ser considerados como una general-
ización de estas clases de operadores, y exhibiremos algunas propiedades de dualidad relacionadas con estas [1].
Palabras & frases clave: Ideales de operadores, operador adjunto, operador estrictamente sigular, operador estricta-
mente cosingular.
Referencias
[1] González, Manuel, and Margot Salas-Brown. Two classes of operators related to the perturbation classes problem.
Advances in Operator Theory 8.3 (2023): 41.
[2] Kato, Tosio. Perturbation theory for nullity, deficiency and other quantities of linear operators. Journal d’Analyse
Mathématique 6.1 (1958): 261-322.
[3] Pełczyński, A. Projections in certain Banach spaces. Studia Mathematica 2.19 (1960): 209-228.
43
Memorias | Conferencias
Operador tridiagonal entre espacios
de sucesiones con pesos
Autores: Julio C. Ramos Fernández
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
E-mail: jcramosf@udistrital.edu.co
Resumen: Dada tres sucesiones a = (ak),b = (ak) y c = (ak), el operador tridiagonal actuando sobre un espacio de
Banach de sucesiones X es aquel que aplica una sucesión x = (xk) ∈ X en la sucesión y = (yk) = Ta,b,c(x) definida por:
yk = bk−1xk−1ak xk + ck xk+1,
donde se define b0 = x0 = 0 y que se obtiene al aplicar una matriz tridiagonal infinita al vector x = (xk). Esta
transformación ha sido estudiada recientemente por Caicedo et. al. [2] en el contexto de espacios l2 con peso y es una
generalización del famoso operador de multiplicación el cual proviene cuando b = c = 0, la sucesión nula y la cual
ha sido estudiado ampliamente por muchos autores (véase [1] y las referencias allı́). En la charla caracterizamos la
continuidad, la compacidad y estimamos la norma esencial de este operador cuando actúa sobre el espacio l∞ con peso
de todas las sucesiones reales x = (xk) tales que
‖x‖∞,ω = sup |xk |ωk,
k∈N
donde ω = (ωk) es una sucesión peso que satisface ωk > 0 para todo k ∈ N. Más precisamente, desarrollamos algunos
resultados del artı́culo [3].
Palabras & frases clave: Espacios de sucesiones, operador tridiagonal, compacidad, norma esencial.
Referencias
[1] J. C. Ramos-Fernandez & M. Salas-Brown (2017). On Multiplication operators acting on Köthe sequence spaces.
Afr. Mat. 28 (3-4): 661 - 667.
[2] A. Caicedo, J. C. Ramos-Fernandez and M. Salas-Brown (2023). On the compactness and the essential norm of
operators defined by infinite tridiagonal matrices. Concrete Operators 10, no 1, pp. 20220143.
[3] J. C. Ramos-Fernandez, C. J. Ramos-Salas and M. Salas-Brown (2024). On the essential norm of tridiagonal
operators between weighted Orlicz and weighted l∞ spaces. Submitted.
44
V Encuentro Matemático del Caribe
A recent review on fractional difference
equations and (N, λ)-periodic functions
Autor: Stiven Dı́az
Universidad de la Costa
E-mail: sdiaz47@cuc.edu.co
Abstract: In this talk, we will delve into the theory and explore the latest developments on fractional difference equa-
tions and (N, λ)-periodic functions. We will recall the derivation of various fractional operators and their applications.
Additionally, we will examine the definition and fundamental properties of (N, λ)-periodic functions, detailing their
characteristics and relevance in the context of fractional equations.
Keywords: (N, λ)-periodic functions, Fractional Difference Equations, the Riemann-Liouville fractional difference
operator, the Caputo fractional difference operator.
Introduction
In this presentation, we will delve into the theory and explore the latest developments on fractional difference
equations and (N, λ)-periodic functions.
Initially, we will revisit the derivation of two fundamental operators essential to our exploration: the Caputo fractio-
nal difference operator C∆α and the Riemann-Liouville fractional difference operator ∆αR . These operators play pivotal
roles in understanding the behavior of fractional difference equations. Specifi∑cally, ∆α f (n) is defined as ∆−(1−α)C ∆ f (n),
while ∆α f (n) is defined as ∆∆−(1−α)R f (n). Here, ∆−α f (n) is given by the sum n α αj=−∞ k (n− j) f ( j), with k (n) represented
by Γ(α + n)/(Γ(α)n!), and ∆ f (n) indicating f (n + 1) − f (n) (see [1]).
Furthermore, we will reintroduce the concept of the Mittag-Leffler sequence Eα,β and the discrete scaled Wright
function ϕα,β, where 0 < α < 1 and 0 ≤ β. The Mittag-Leffler sequence is defined and studied in the references [4],
∑∞
E j α j+βα,β(σ, n) := σ k (n), n ∈ N0,
j=0
while the discrete scaled Wright function is defined by the e(x)pression given in Equation 13 (see [1, 4]).∑j j
ϕ (n, j) := (−1)ikβ−αiα,β (n). (13)i
i=0
Some properties of the discrete scaled Wright function can be deduced from properties of the L’evy α-stable distribution
(see [3]).
On the other hand, we define and investigate a class of vector-valued functions defined on Z called (N, λ)-periodic
discrete functions, serving as discrete analogs to the vector-valued (ω, c)-periodic functions defined in [5]. Notably, the
(N, λ)-periodic discrete functions encompass discrete periodic, anti-periodic, Bloch-periodic, and unbounded functions,
each characterized by distinct properties and behaviors (see [2]).
Finally, we study the regularity of solutions to both linear and nonlinear fractional difference equations within the
framework of PNλ(Z, X), where X represents a suitable function space. Here, A is a closed linear operator with domain
D(A) defined on X. The collection of sequences with the same (N, λ)-period is denoted by PNλ(Z, X).
45
Memorias | Conferencias
References
[1] Alvarez, E., Dı́az, S., & Lizama, C. (2022). Existence of (N, λ)-periodic solutions for abstract fractional difference
equations. Mediterranean Journal of Mathematics, 19(1), 47.
[2] Alvarez, E., Dı́az, S., & Lizama, C. (2019). On the existence and uniqueness of (N, λ)-periodic solutions to a class
of Volterra difference equations. Advances in Difference Equations, 2019, 1-12.
[3] Alvarez, E., Dı́az, S., & Lizama, C. (2022). C-Semigroups, subordination principle and the Lévy α-stable distri-
bution on discrete time. Communications in Contemporary Mathematics, 24(01), 2050063.
[4] Abadias, L., Alvarez, E., & Dı́az, S. (2022). Subordination principle, Wright functions and large-time behavior
for the discrete in time fractional diffusion equation. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 507(1),
125741.
[5] Alvarez, E., Gómez, A., & Pinto Jiménez, M. (2018). (ω, c)-periodic functions and mild solutions to abstract
fractional integro-differential equations.
46
V Encuentro Matemático del Caribe
Espacios Lp y transformada de Laplace
Autor: Héctor Camilo Chaparro
Universidad de Cartagena
E-mail: hchaparrog@unicartagena.edu.co
Resumen: En esta charla, estudiaremos la acotación de la transformada de Laplace L : Lp([0,∞)) → Lp(A) (p ≥ 1)
para los casos A = [0,∞), A = [1,∞) y A = [0, 1]. Veremos ejemplos para los casos en los cuales L no es acotada.
Presentaremos, de manera detallada, los resultados que aparecen en [3].
Palabras & frases clave: Transformada integral, Transformada de Laplace, Espacios de Lebesgue.
Introducción
La transformada de Laplace L es un operado∫r integral lineal clásico, definido para cada función apropiada f en[0,∞) por ∞
L f (t) = e−st f (s) ds, t ∈ (0,∞).
0
La transformada de Laplace se utiliza ampliamente para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. Por
lo tanto, es una herramienta útil no solo para los matemáticos, sino también para los fı́sicos e ingenieros. También es
útil en la Teorı́a de la Probabilidad (ver [1], [5] y [6]).
Por alguna razón (desconocida), el estudio de la acotación de la transformada de Laplace ha sido descuidado.
Existen pocos documentos disponibles al respecto. En este sentido, solo se lograron encontrar las referencias [2] y [4],
en las cuales los autores establecen algunos resultados sobre la acotación de la transformada de Laplace, pero no de
manera detallada.
Teniendo en cuenta lo anterior, estudiaremos la acotación de la transformada de Laplace entre espacios de Lebesgue
Lp. Veremos que:
1. L : Lp([0,∞))→ Lp([0,∞)) es acotada solo si p = 2.
2. L : Lp([0,∞))→ Lp([1,∞)) es acotada solo si p > 2.
3. L : Lp([0,∞))→ Lp([0, 1]) es acotada solo si 1 < p < 2.
Referencias
[1] Abate, J. and Whitt, W, An operational calculus for probability distributions via Laplace transforms, Adv. in Appl.
Probab. 28 (1996), no. 1, 75-113.
[2] Buriánková, E., Edmunds, D. and Pick, L., Optimal function spaces for the Laplace transform, Rev. Mat. Complut.
30 (2017), no. 3, 451-465.
[3] Castillo R.E., Chaparro H.C., Ramos-Fernández J.C., Lp boundedness of the Laplace transform. Under review.
[4] Goldstein, G. R., Goldstein, J. A., Metafune, G., and Negro, L., The weighted Laplace transform, Contemp. Math.,
733, Amer. Math. Soc., 2019.
[5] Ndiku, Z., Laplace Transform in Probability Distributions and in Pure Birth Processes, Master’s thesis (2015),
University of Nairobi, Nairobi, Kenia. Retrieved from http://erepository.uonbi.ac.ke/handle/11295/95040
[6] Rossberg, A. G., Laplace transforms of probability distributions and their inversions are easy on logarithmic
scales, J. Appl. Probab. 45 (2008), no. 2, 531-541.
47
Memorias | Conferencias
Compacidad del operador de Rhaly
en espacios de sucesiones
Autores: Helen Lorena Quevedo Enciso1, Julio C. Ramos Fernández2
Pontificia Universidad Javeriana1, Universidad Distrital Francisco José de Caldas2
E-mail: hlquevedo@javeriana.edu.co1, jcramosf@udistrital.edu.co2
Resumen: Dada una sucesión a = (ak) el operador de Rhaly actuando sobre un espacio de Banach de sucesiones X es
aquel, que aplica una sucesión x = (xk) ∈ X en la sucesión y = (yk) = Ra(x) definida por:
∑k
yk = ak x j.
j=1
1
Esta transformación es una generalización del famoso operador de Cesàro (vea [1]) que se obtiene cuando ak = parak
cada k ∈ N. Esta aplicación se obtiene por la multiplicación de una matriz triangular inferior infinita por una sucesión
tal como se puede ver a continuación:a1 0 0 0 · · · 
 x 1
 · · ·  

y1  
a 1x1 
a2 a3 0 0  x2 y2  a2(x1 + x2) 

Ra(x) =  · · ·   =   =  a3 a3 a3 0 x3 y3 a3(x + x 1 2 + x3) = y.. . . . .. .. .. . . . .. .. . . .. .. .
En la charla caracterizamos la continuidad y la compacidad de este operador cuando actúa sobre ciertos espacios de
sucesiones tales como c (sucesiones convergentes), h (espacio de Hanh), `p, entre otros (veáse [2]). Adicionalmente,
veremos que muchos de estos resultados son consecuencias de un nuevo teorema que aparece en [3].
Palabras & frases clave: Matrices infinitas, Espacios de sucesiones, Compacidad, Operador de Rhaly.
Referencias
[1] S. V. Astashkin and L. Maligranda (2009). Structure of cesaro function spaces. Indagationes Mathematicae,
20(3):329–379.
[2] S. R. El-Shabrawy (2022). Compactness criteria and spectra of some infinite lower triangular matrices. Filomat,
36 (17):5913–5933.
[3] H. L. Quevedo, J. C. Ramos-Fernández and M. Salas-Brown (2024). A new criterion for the compactness of
operators acting on Köthe sequence spaces. Pre-print.
48
V Encuentro Matemático del Caribe
El problema de Cauchy sobre Adeles finitos
Autores: Julian A. Garnica
Universidad Industrial de Santander
E-mail: julian2228072@correo.uis.edu.co
Resumen: El objetivo de la charla es mostrar la construcción del problema de Cauchy y algunas soluciones variando
el operador pseudo-diferencial.
Palabras & frases clave: Adeles finito, operador pseudo-diferenical, transformada de Fourier.
Introducción
El anillo de adeles finito A f de los numeros racionales Q se define clásicamente como el producto directo restrin-
gido de los campos Qp con respecto a los subanillos compactos y abiertos maximales de Zp, es decir 
Ap =  ∏

(xp)p∈P ∈ Qp|xp ∈ Zp, para todos menos un número finito de primos p ∈ P ,p∈P
con una topologı́a dada por la topologı́a de producto directo restringido.
Se denota el espacio de todas las funciones Schwa∫rtz-Bruhat sobre A f por D = D(A f ). Para ϕ ∈ D, se define latransformada de Fourier
(F ϕ)(ξ) = ϕ(x)χ(−ξ · x)dx.
A f
Un operador de la forma Dαϕ = F −1(|ξ|αfF ϕ), α > 0, ϕ ∈ D, es llamado un operador pseudo-diferencial con
sı́mbolo |ξ|αf .
El problema de Cauchy es el siguiente
 ∂
2u(x,t)
t2 + D
α
x u(x, t) = F(x, t), x ∈ A∂ f , t ≥ 0,
u(x, 0) = f (x), ut(x, 0) = g(x).
Referencias
[1] Aguilar-Arteaga, Victor A., Manuel Cruz-López, and Samuel Estala-Arias. “Non-Archimedean analysis and a
wave-type pseudodifferential equation on finite adèles.” Journal of Pseudo-Differential Operators and Applications
11.3 (2020): 1139-1181.
[2] Zúñiga-Galindo, W. A. “Parabolic Equations and Markov Processes Over p-Adic Fields.” Potential Analysis 2.28
(2008): 185-200.
49
Álgebra
V Encuentro Matemático del Caribe
Conjuntos Sidon bidimensionales
y modelos de sincronización
Autores: Carlos Alberto Trujillo Solarte
Universidad del Cauca
E-mail: trujillo@unicauca.edu.co
Resumen: Hay varios problemas que aparecen en aplicaciones a radar, sonar, alineación fı́sica y sincronización
(tiempo-posición), que pueden formularse en términos de modelos bidimensionales de unos y ceros para los cuales
la función autocorrelación (ambigüedad) tiene valores mı́nimos fuera de fase. Un contexto general consiste en cons-
truir un arreglo en dimensión dos de celdas en blanco (ceros) y celdas en negro (unos) de tal forma que cualquier par de
vectores que conecten dos celdas en negro del arreglo sean distintos. El ejemplo original que apareció en un problema
sonar práctico fue descrito por John P. Costas en los años setenta.
Por otro lado, dados dos grupos conmmutativos G y H, escritos aditivamente, y dos subconjuntos A de G y B de
H, una función F de A en B se llama función Sidon si su gráfica es libre de paralelogramos (no es posible trazar un
paralelogramos entre sus puntos).
Desde el contexto de funciones y conjuntos Sidon, en esta conferencia presentaré una visión sobre rectángulos
Golomb, secuencias sonar, permutaciones Costas y otros patrones bidimensionales relacionados.
Palabras & frases clave: Arreglos Costas, Secuencias Sonar, Reglas y rectángulos Golomb, Conjuntos y funciones
Sidon.
Referencias
[1] Golomb, Solomon, and Herbert Taylor. “Two-dimensional synchronization patterns for minimum ambiguity.”
IEEE Transactions on Information Theory 28.4 (1982): 600-604.
[2] Etzion, Tuvi. “Problems on two-dimensional synchronization patterns.” International Conference on Coding and
Cryptology. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 2009.
[3] Solarte, Carlos Alberto Trujillo. “Conjuntos Sidon en Contextos Finitos.” Revista de la Academia Colombiana de
Ciencias Exactas, Fı́sicas y Naturales 47.185 (2023): 1024-1044.
51
Memorias | Conferencias
Noncommutative differential geometry of quantum planes
Authors: Andrés Alejandro Rubiano Suárez1, Milton Armando Reyes Villamil
Universidad ECCI1, Universidad Nacional de Colombia1
E-mail: arubianos@unal.edu.co1
Abstract: Riemannian geometry (or elliptic geometry) is one of the geometries that does not accept the fifth postulate
of Euclid, the one on parallel lines, and that also modifies the second postulate. This allows some results of Euclidean
geometry to be invalid for Riemannian geometry (parallel lines, sums of interior angles of a triangle, among others).
Although this non-Euclidean geometry is attributed to Riemann, Gauss was the first to talk about the intrinsic metric
from their embedding (1827). What Gauss did was prove the egregium theorem, which says that the total curvature can
be calculated only with the intrinsic metric.
Riemann, in 1854, was defininig surfaces using a very abstract path to arrive at Riemannian metric, which made
them free of any embedding or immersion (see [3]). But not only that. In this same year, Riemann gave his famous
conference at the Colloquium of the Faculty of Philosophy at Göttingen. It is said that this conference was the most
important for differential geometry and in which his teacher Gauss was present. These new ideas and concepts of
Riemann, generalized the geometry of surfaces that his teacher Gauss had initiated. This later led to the modern concept
of Riemannian manifold (see [4]).
The applications of Riemannian geometry are immense. One of the most important is GPS location. Since the
geometry of the Earth is not flat, the tools of Riemannian geometry must be used to understand and use measurements
on the globe (see [9]).
During the last decades, many properties of this geometry have been studied. In fact, there are many open problems
in Riemannian geometry, the solution of which is being strongly sought by many geometricians today. For this reason, it
can be said that Riemannian geometry is one of the branches with the most influence and the most work in mathematics.
However, many of these problems are sought starting from classical Riemannian geometry (here, classical will refer
to the commutative one). At this point we want to study a generalization of classical Riemannian geometry, to a non-
commutative one; or, as it is known in the literature, a quantum Riemannian geometry.
Keywords: Quantum planes, derivations, non-commutative geometry.
Introduction
The idea is to be able to expand the fundamental properties of classical Riemannian geometry to a non-commutative
form, as long as these new definitions coincide with the classical ones, when we talk about the commutative case. In
this panorama, two different paths will be taken for the generalization of said geometry: through Lie groupoids and Lie
algebroids; and through Hopf algebras. For path of Lie groupoids and Lie algebroids, we see [8]. For this, the groupoid
concept and everything that it carries with it is defined, that is, morphisms, subgrupoids, quotients, transitivity, among
other things.
In order to arrive at a differential construction by this method, it is necessary to have clear topological concepts.
For this reason, it defines the topological themes with the groupoids. These include: representations in topological
groupoids, admissible sections, monodromy groupoid and locality, and more. When we keep all of this in mind, we
can define the differentiability in Lie groupoids. However, this is not sufficient for a generalization of the geometry
of commutative case. It is necessary to define the concept of Lie algebroid and how it is calculated in a differential
groupoid. With these objects defined and their relations established, we can arrive at the construction of more complete
geometry. Starting with transitive Lie algebroid theory, observing its cohomology, carrying out non-abelian extensions
of theses, studying flat connections and spectral sequences. Thanks to this, we would have a path for non-commutative
Riemannian geometry. However, it is not the only method. Now, we see other path that will be taken into account
52
V Encuentro Matemático del Caribe
For path of Hopf algebras, we study [6], which specifies how it generalizes the definitions of classical geometry
to the non-commutative case. Furthermore, it goes further and deals with many of the classical properties in their
non-commutative counterpart. Undoubtedly, new concepts appear that only apply to the quantum case, since for the
classic it would be trivial or there would be no gain. The way to define is given by non-commutative algebras. Thanks
to these, the close relationship between geometry and algebra may be more evident. To do this, it is possible to see
which is the commutative algebra that classical Riemannian geometry deals with, in order to be able to change it to a
non-commutative one.
Inevitably, definitions such as: functions on a variety, open sets, local coordinates, commutativity between
differentials with functions, among others, do not make sense in the quantum case. Therefore, they are generalized
with other types of objects. The most prominent algebras in quantum Riemannian geometry are Hopf algebras. With
them, we can arrive at generalizations of the curvature in a surface, connections in classical Riemannian geometry (for
example, the most important is the Levi-Civita connection), among others.
Cohomology and the structure of bundles and fibers play a very important role in generalizing classical notions.
And it doesn’t just stop here, because to be able to talk about quantum principal bundles, one must go beyond the Hopf
algebras; specifically, it must have the Hopf-Galois extensions.
Summarizing, in order to form a generalization of classical Riemannian geometry, tools of non-commutative alge-
bra, algebraic geometry, category theory, differential geometry, among others, must be used. It is a subject with a lot of
mathematical richness.
Quantum Riemannian geometry also has its remarkable applications, this time in the field of physics. In [6],
Chapters 8 and 9, it talks about the applications of Riemannian geometry in quantum spacetime. This brings up topics
like the quantum black-hole wave operator, Hermitian Riemannian geometry, geometric realization of spectral triples,
and so on (see [2], [1], [5] and [7]).
The previous topics can be treated as applications of non-commutative Riemannian geometry, as mentioned before.
However, it could be said that, through these works, the new notions encompassed by quantum Riemannian geometry
were built. Having these two forms of generalization, they will be used to study quantum Riemannian geometry in
certain types of non-commutative algebras.
References
[1] Amelino-Camelia, G. and Majid, S., Waves on noncommutative space–time and gamma–ray bursts. Internat. J.
Modern Phys. A. 15(27) (2000) 4301–4323.
[2] Albuquerque, H. and Majid, S., Quasialgebra structure of the octonions. J. Algebra 220(1) (1999) 188–224.
[3] Berger, M., Riemannian geometry during the second half of the twentieth century. American Mathematical Soc.
17 (2000).
[4] Berger, M., A panoramic view of Riemannian geometry. Springer (2012).
[5] Beggs, E. and Majid, S., Gravity induced from quantum spacetime. Classical Quantum Gravity 31(3) (2014)
035020.
[6] Beggs, E. J., Majid, S.: Quantum Riemannian Geometry. Berlin, Springer (2020).
[7] Doplicher, S. and Fredenhagen, K. and Roberts, J., The quantum structure of spacetime at the Planck scale and
quantum fields. Comm. Math. Phys. 172(1) (1995) 187–220.
[8] Mackenzie, K. and Kirill, M. and Mackenzie, KC., Lie groupoids and Lie algebroids in differential geometry.
Cambridge university press (1987).
[9] Teunissen, P. J. and Kleusberg, A., GPS for Geodesy. Springer Science & Business Media (2012).
53
Memorias | Conferencias
Grupos cuánticos y sus acciones
Autor: Fabio Calderón
Universidad de los Andes
E-mail: f.calderonmateus@uniandes.edu.co
Resumen: En esta charla exploramos una conexión innovadora entre los métodos de las teorı́as de categorı́as y de rep-
resentaciones utilizados para comprender las acciones sobre álgebras. Estos hallazgos representan una generalización
poderosa de los resultados clásicos para grupos y álgebras de Lie, y tienen implicaciones sustanciales para el estudio
de grupos cuánticos en matemáticas y fı́sica.
Palabras & frases clave: Grupos cuánticos, álgebras de Hopf, simetrı́as cuánticas.
Introducción
Nuestra motivación se basa en el siguiente resultado clásico: para un campo K y un grupo G, una K-álgebra A es un
G-modulo-álgebra (es decir, un monoide en la categorı́a monoidal de G-módulos) si, y solo si, existe un homomorfismo
de grupos desde G hasta el grupo de K-automorfismos de álgebra AutAlg(A).
En trabajo reciente conjunto con H. Huang, E. Wicks, y R. Won [1], extendemos este resultado al contexto de
grupos y grupoides cuánticos. Para ciertas álgebras de Hopf H, tanto clásicas como débiles, identificamos un objeto
categórico destacado S , que comparte la misma estructura que H, tal que se cumple lo siguiente: una K-álgebra A es
un H-módulo-álgebra (es decir, un monoide en la categorı́a monoidal de H-módulos) si, y solo si, existe un morfismo
preservador de la estructura algebraica desde H hasta S .
Esto abre nuevas perspectivas para entender las acciones y simetrı́as en el ámbito no-conmutativo, proporcionando
herramientas conceptuales valiosas para la investigación en el campo de las simetrı́as cuánticas.
Referencias
[1] Calderón, Fabio, et al. “Cocommutative Hopf-like actions on algebras.” arXiv preprint arXiv:2209.11903 (2022).
54
V Encuentro Matemático del Caribe
Descomposiciones sobre Zp de Grupos Pro-p
Autor: Jesus E. Berdugo
Universidad del Atlántico
E-mail: jeberdugo@mail.uniatlantico.edu.co
Resumen: En esta presentación se explicará las descomposiciones de un grupo pro-p G como un producto libre pro-
p con un subgrupo procı́clico infinito amalgamado o como una extensión HNN con un subgrupo procı́clico infinito
asociado, y estudiaremos la versión pro-p del Teorema 2.1 de Rips y Sela (Annals of Mathematics; 1997), y la versión
pro-p y pro-2 del Teorema 3.6 de Rips y Sela (Annals of Mathematics; 1997). También, mostraremos algunos resultados
que muestran la utilidad de la prueba de estos teoremas en su versión pro-p.
Palabras & frases clave: Grupo pro-p, producto libre pro-p amalgamado, pro-p HNN-extensión.
Introducción
En 1997, Z. Sela en el artı́culo [3], “tradujeron”, la noción de las sub-variedades caracterı́sticas JSJ (Jaco-Shalen-
Johanson) de topologı́a tridimensional al contexto de grupos hiperbólicos, obteniendo una descomposición canónica
para grupos hiperbólicos, que se llamó descomposición canónica JSJ (en [3]). Esta descomposición canónica ”tiene”,
todas las pequeñas descomposiciones cı́clicas (esenciales) de un grupo hiperbólico libremente indescomponible y libre
de torsión. E. Rips y Z. Sela en [2] estudiaron la descomposición sobre un subgrupo cı́clico-infinito (Z-descomposición)
de grupos finitamente generados como un producto libre amalgamado o una HNN-extensión. Para poder comprender
mejor todas las descomposiciones sobre Z de un grupo G presentado finitamente, necesitaban estudiar cuidadosa y
detalladamente la “interacción” entre cualquier par de descomposiciones elementales sobre Z de G. Teniendo en cuenta
que en una descomposición elemental sobre Z de G, pueden ser un producto amalgamado libre A ∗Z B con un grupo
cı́clico-infinito amalgamado Z o un HNN-extensión HNN(A,Z, t) con el subgrupo cı́clico-infinito asociado Z. Ahora
supongamos que tenemos dos descomposiciones sobre Z para G que son: A1 ∗C1 B1 o HNN(A1,C1, t1), y A2 ∗C2 B2
o HNN(A2,C2, t2), tal que C1 = 〈c1〉  Z  〈c2〉 = C2. Con los árboles de Bass-Serre T1 y T2 respectivamente
para la primera y segunda descomposición Z (árboles de Bass-Serre definidos en [4, Sección 5.3]), decimos que estos
descomposiciones sobre Z son:
• Elı́ptico-Elı́ptico: Si c1 estabiliza un vértice en T2 y c2 estabiliza un vértice en T1.
• Hiperbólico-Hiperbólico: Si c1 no estabiliza el vértice en T2 y c2 no estabiliza el vértice en T1.
• Hiperbólico-Elı́ptico: Si c1 no estabiliza un vértice en T2 y c2 estabiliza un vértice en T1.
Recordando que un grupo se puede descomponer libremente si se puede escribir como un producto libre con factores
no triviales; en la Sección 2 de [2] en el Teorema 2.1 Rips-Sela demostraron el siguiente teorema:
Teorema: [2, Teorema 2.1] Cualquier par de descomposiciones sobre Z de un grupo que sea libremente indescompo-
nible no puede ser elı́ptico-hiperbólico.
Ahora un grupo G no se descompone sobre un grupo de orden 2, esto significa que G no se puede escribir como un
producto libre amalgamado AqZ/2Z B, con subgrupo amalgamado de orden 2, o una extensión HNN HNN(A,Z/2Z, t),
con grupo asociado de orden 2; en la tercera sección de [2] Rips y Sela prueban el siguiente teorema:
Teorema:[2, Teorema 3.6] Sea G un grupo libremente indescomponible y que no se descompone sobre un grupo de
orden 2, y G admite dos descomposiciones sobre Z hiperbólicas-hiperbólicas en las que los subgrupos cı́clicos-infinitos
55
Memorias | Conferencias
amalgamados (o asociados cuando es una extensión HNN) conmutan, entonces el grupo G es isomorfo a cualquiera
de los siguientes grupos: Z × Z, o Z o Z, o (Z × Z) o Z, o (Z o Z) o Z.
El objetivo ahora es definir los objetos definidos en [2] para el caso pro-p, y demostrar la versión pro-p de los dos
Teoremas [2, Teoremas 2.1 y Teorema 3.6] mencionados anteriormente. Para conseguir probar los siguientes Teoremas:
Teorema 1: Sea G un grupo pro-p finitamente generado que no admite descomposición como un producto libre pro-p
no trivial. Entonces, dos descomposiciones sobre Zp de G son elı́pticas-elı́pticas o hiperbólicas-hiperbólicas.
Este teorema es la versión pro-p del Teorema 2.1 de [2], agregamos la hipótesis de que el grupo G es pro-p
finitamente generado la idea de la prueba fue diferente que en el caso abstracto porque en el caso abstracto usan
firmemente el teorema de estructura [4, Teorema 13], y dicho teorema en la versión pro-p no siempre se cumple.
Cuando consideramos p > 2, primero probamos una Proposición que muestra cómo se ve el normalizador de un
grupo que actúa hiperbólicamente, y luego el versión pro -p del Teorema 3.6 de [2] que dice:
Teorema 2: Sea G un grupo pro-p finitamente generado que no se descompone como un producto libre pro-p no trivial,
tal que G = A1qC1 B1 o G = HNN(A1,C1, t1), y G = A2qC2 B2 o G = HNN(A2,C2, t2) son dos descomposiciones sobre
Zp-Hiperbólicas-Hiperbólicas para G. Supongamos que NG(C1) no es procı́clico. Entonces G = NG(C1)  Zp × Zp.
Además un resultado de la acción de dos descomposiciones sobre Zp hiperbólicas-hiperbólicas en el Teorema:
Teorema 3: Sea G un grupo pro-p finitamente generado que no es pro-p abeliano, y tampoco se descompone como un
producto libre pro-p no trivial, tal que G = A1qC1 B1 o G = HNN(A1,C1, t1), y G = A2qC2 B2 o G = HNN(A2,C2, t2)
son dos Descomposiciones sobre Zp hiperbólicas-hiperbólicas de G. Entonces, la acción de G en su árbol estándar
pro-p S es 2-acilı́ndrica.
Ahora considerando p = 2, primero mostramos una proposición que muestra los grupos para los cuales el norma-
lizador es isomorfo.
Proposición 4: Supongamos que G = A1qC1 B1 o G = HNN(A1,C1, t1)), y G = A2qC2 B2 o G = HNN(A2,C2, t2),
hay dos descomposiciones sobre Z2 Hiperbólica-Hiperbólica. Sea 1 , Hi ≤ Ci. Entonces NG(Hi) es isomorfo a uno de
los siguientes grupos:
(i) Grupo procı́clico infinito Z2;
(ii) Grupo diédrico pro-2 infinito Z2 o Z/2Z;
(iii) Grupo abeliano pro-2 libre de rank 2 Z2 × Z2;
(iv) Botella Klein pro-2 Z2 o Z2;
(v) Producto semidirecto (Z2 × Z2) o Z/2Z, donde la acción de Z/2Z es por inversión, o
(vi) Producto semidirecto (Z2 o Z2) o Z/2Z.
Por último explicar la versión pro-2 del Teorema 3.6 de [2] (tenga en cuenta que obtenemos las completaciones
pro-2 del caso abstracto):
Teorema 5: Sea G un grupo pro-2 generado finitamente que no se descompone sobre un grupo de orden como máximo
2, con G = A1 qC1 B1 o G = HNN(A1,C1, t1), y G = A2 qC2 B2 o G = HNN(A2,C2, t2), son dos descomposiciones
sobre Z2 Hiperbólicas-Hiperbólicas de G. Supongamos que NG(C1) no es procı́clico infinito ni diédrico pro-2 infinito.
Entonces G = NG(C1) es isomorfo a uno de los grupos pro-2 enumerados desde (iii) a (vi) de la Proposición 4.
Para mayor información sobre los resultados y lo explicado, se podrı́a consultar en [1].
56
V Encuentro Matemático del Caribe
Referencias
[1] Jesus Berdugo and Pavel Zalesskii, Cyclic splittings of pro-p groups. arxiv.2307.08787.
[2] E. Rips and Z. Sela (1997). Cyclic splittings of finitely presented groups and the canonical JSJ decomposition, An-
nals of Mathematics , Jul., 1997, Second Series, Vol. 146, No. 1, pp. 53-109, Mathematics Department, Princeton
University.
[3] Z. Sela (1997). Structure and Rigidity in (Gromov) Hyperbolic Groups and Discrete Groups in Rank 1 Lie Groups
II, GAFA, Geometric And Functional Analysis. Vol. 7, 561-593.
[4] J-P. Serre (1980). Trees, Springer-Verlag, Berlin.
57
Memorias | Conferencias
On simple Lie algebra in characteristic 2
Author: Carlos Rafael Payares Guevara
Universidad Tecnológica de Bolı́var
E-mail: cpayares@utb.edu.co
Abstract: In this talk we are going to address the classification problem of finite-dimensional simple Lie algebras (and
Lie 2-algebras) over an algebraically closed field of characteristic 2.
Keywords: Simple Lie algebras, Lie 2-algebra, characteristic 2, absolute toral rank.
Introduction
Simple Lie algebras over an algebraically closed field of characteristic zero were classified by W. Killing (1888)
and E. Cartan (1894). They have found four infinite families An, Bn, Cn, Dn and five exceptional cases E6, E7, E8,
G2 and F4 (see[5]) .
The classification problem for simple Lie algebra of finite dimension over an algebraically closed field F of charac-
teristic p > 3 was solved by Block-Wilson-Premet-Strade. They exactly demonstrated that all simple Lie algebras of
finite dimension over F are either classical (and hence Lie p-algebras) or isomorphic to Lie algebras of Cartan type
corresponding to several differential forms, or Melikian algebras in the case p = 5, whose demonstration can be ap-
proached in the three volumes of Helmut Strade [2], [3] and [4].
After the classification of simple Lie algebras of finite dimension over a field of characteristic p > 3, the main pro-
blem still open in the category of Lie algebras of finite dimension is the classification of simple Lie algebras on an
algebraically closed field of characteristic p ∈ {2, 3}.
References
[1] Germán Benitez, Carlos R. Payares Guevara, Elkin O. Quintero Vanegas. On Lie 2-algebras of toral rank 3.
https://arxiv.org/abs/2406.07554
[2] H. Strade. Simple Lie Algebras over Fields of positive characteristic, volumen I: Struture Theory De Gruyter
Expositions in Math Vol.38, Berlin, 2004.
[3] H. Strade. Simple Lie Algebras over Fiels of Positive characteristic, Volume II: Classifying the Absolute Toral
Rank Two case. DeGruyter Expositions in math., vol. 42, Berlin, 2009.
[4] H. Strade. Simple Lie Algebras over Fiels of Positive characteristic, Volume III: Completion of the Classification,
DeGruyter Expositions in Math., Vol. 57, Berlin, 2012.
[5] N. Jacobson. Lie algebras, Interscience, New York, 1962.
58
V Encuentro Matemático del Caribe
Identidades minimales para subespacios del álgebra de Weyl
Autor: Carlos Arturo Rodriguez Palma
Universidad Industrial de Santander
E-mail: caropal@uis.edu.co
Resumen: En 2015 Benkart, Lopes y Ondrus estudiaron en varios artı́culos el álgebra asociativa unitaria de dimension
infinita Ah, generada por elementos x, y que satisfacen la relación yx − xy = h para algún 0 , h ∈ F[x] (Ver [3]); es
decir el álgebra:
Ah = F〈x, y〉/id{yx − xy − h}.
En un trabajo junto al profesor Artem Lopatin, de la Universidad Estadual de Campinas (UNICAMP), investigamos
las identidades polinomiales estandar y minimales para ciertos subespacios de Ah sobre un cuerpo infinito F de carac-
terı́stica arbitraria (Ver [1]). Además, describimos las identidades polinomiales de grado 4 para subespacios del álgebra
de Weyl A1 (Ver [2]).
Palabras & frases clave: Identidades polinomiales, algebra de Weyl, caracterı́stica positiva.
Referencias
[1] A. Lopatin, C.A. Rodriguez Palma. Identities for subspaces of a parametric Weyl algebra. Linear Algebra and its
Applications, 654 (2022).
[2] A. Lopatin, C.A. Rodriguez Palma. Identities for subspaces of the Weyl algebra. Submitted.
[3] G. Benkart, S.A. Lopes, M. Ondrus. A parametric family of subalgebras of the Weyl algebra I. Structure and
automorphisms. Transactions of the American Mathematical Society 367 (2015).
59
Geometría
V Encuentro Matemático del Caribe
Geometrı́a de superficies dadas implı́citamente
en el haz de marcos ortonormales con la
métrica de levantamiento de Wagner
Autores: Edward S. Becerra1, Mikhail Malakhaltsev2, Haimer A. Trejos3
Universidad Nacional de Colombia (sede Bogotá)1, Universidad de los Andes2, Universidade
Federal do Rio de Janeiro3
E-mails: esbecerrar@unal.edu.co1, mikarm@uniandes.edu.co2, aletrejosserna@gmail.co3
Resumen: Sean S O(M, g) el espacio total del haz de marcos ortonormales de una variedad riemanniana bidimensional
orientada (M, g), G la métrica de levantamiento de Wagner sobre S O(M, g) [1]. En [2] consideramos superficies hori-
zontales y verticales de la variedad riemanniana (S O(M, g),G), las superficies horizontales son secciones de S O(M, g),
y las superficies verticales son las preimágenes de curvas regulares de M. Hemos encontrado invariantes de estas
superficies, en particular la curvatura media.
En nuestra charla vamos a considerar una superficie Σ ⊂ S O(M) dada por la ecuación F = 0, donde F :
S O(M, g) → R es una función suave determinada por un campo tensorial t sobre la base M. En el caso general,
Σ no es ni horizontal ni vertical. Vamos a mostrar como encontrar curvatura total externa y curvatura media de la
superficie Σ en términos del campo t y considerar algunos ejemplos interesantes.
Palabras & frases clave: curvatura media, curvatura total externa, levantamiento de Wagner
Referencias
[1] Arteaga B, José Ricardo, Mikhail Malakhaltsev, and Alexander Haimer Trejos Serna. “Isometry group and geode-
sics of the Wagner lift of a Riemannian metric on two-dimensional manifold.” Lobachevskii Journal of Mathema-
tics 33 (2012): 293-311.
[2] Becerra, E. S., M. Malakhaltsev, and Haimer A. Trejos. “Surfaces of Orthonormal Frame Bundle with Wagner Lift
Metric.” Lobachevskii Journal of Mathematics 43.1 (2022): 35-48.
61
Memorias | Conferencias
Existence of bifurcation branches of
free boundary CMC hypersurfaces
Author: Carlos Wilson Rodrı́guez Cárdenas
Universidad Industrial de Santander
E-mail: cwrodrig@uis.edu.co
Abstract: We present the study of bifurcation points existence in a 1-parametric family {ϕt}−<t< of free boundary
CMC hypersurfaces. A bifurcation occurs when a small smooth change made to the parameter values of a system
causes a sudden qualitative or topological change in its behaviour. We provide a smooth bifurcating family of free
boundary CMC hypersurfaces, whose mean curvatures coincide with the mean curvatures of the original family.
Keywords: Free boundary constant mean curvature hypersurfaces, deformation, bifurcation, Jacobi operator.
Introduction
Let M be a (n + 1)-dimensional differential manifold with smooth boundary ∂M , ∅ and let Σ be a n-dimensional
differential manifold with smooth boundary ∂Σ , ∅. Let g be a Riemannian metric on M. ~η∂M is the outer unit normal
field along the boundary of M. Let ϕ : Σ→ M be an embedding. We call ϕ a free boundary CMC hypersurfaces if:
(a) ϕ(Σ) ∩ ∂M = ϕ(∂Σ),
(b) the normal bundle T (ϕ(Σ))⊥ is orientable,
(c) and for each point p ∈ ϕ(∂Σ), ~η∂M(p) ∈ Tpϕ(Σ),
(d) ϕ(Σ) have constant mean curvature (CMC) defined by g.
Now, we give the general definition of bifurcation point for an application F defined between general Banach
spaces.
Definition 3. Let W and Y be Banach spaces, Ω ⊂ W open and F : Ω → Y a continuous map. Suppose there is a
simple arc in Ω parameterized by ω : I → Ω, where I is an interval in R, such that F(ω(t)) = 0 for all t ∈ I. If there
exists a number t0 ∈ I such that every neighborhood of w(t0) contains zeros of F that are not in Im(ω), then w(t0) is
called a bifurcation point for the equation F = 0 with respect to curve ω.
What is sought when studying Bifurcation Theory is to find the bifurcation points for the equation F = 0 with
respect to curve ω and to understand the structure of F−1{0} around such points. In our case W is going to be of the
form I × X, where X is a real Banach space and the curve will be of the form Im(ω) = {(t, 0) : t ∈ I, 0 ∈ X}.
In our context, ϕ0 is a bifurcation point with respect to {ϕt}t∈(−,) if and only if, for all s > 0, given a s-neighborhood
of ϕ , V ⊂ C j,α0 s (Σ,M), there exists ψs ∈ Vs, such that, ψs is a free boundary CMC immersion and ψs(Σ) is not congruent
with any ϕt(Σ).
Existence of Bifurcation with parameter the mean curvature
We define the following space:
C j,α(Σ) := { f ∈ C j,α(Σ) : g(∇ f , ~n∂M) + II∂M(~nΣ, ~nΣ) f = 0},∂
where f ∈ C j,α(Σ) is the space of j-Hölder functions of index α, ∇ f is the gradient of f and II∂M is the second
fundamental form of ∂M.
62
V Encuentro Matemático del Caribe
We define the Jacobi operator of ϕ, J j,αϕ : C (Σ)→ C j−2,α( (Σ), as∂ )
Jϕ( f ) := ∆Σ f − ||IIΣ||2HS + Ricg(~nΣ, ~nΣ) f .
E = Ker(J ⊥ϕ) and E = (Ker(J ))⊥ ∩C j,α(Σ), this orthogonal with respect to the internal product of L2ϕ (Σ).∂
We give a criterion of existence of bifurcation for a family of free boundary CMC hypersurfaces, so that the mean
curvatures of the hypersurfaces in the bifurcation branch are equal to those of the original family.
Theorem. Let {ϕt}−<t< be a smooth (variation of)ϕ, such that ϕ0 = ϕ and ϕt : Σ ∣→ M is a free boundary CMC
immersion defined as ϕt(p) = Exp
∂ϕ ∣ j,α
ϕ0(p) φt(p)~nΣ0 (p) , where φt = tξ0 + o(t), ξ0 = g(
t
∂t ∣t 0, ~nΣ0 ) ∈ C (Σ), o : (−, ) →= ∂
C j,α(Σ), o(t)t ∣∣ → 0 if t → 0, with mean curvature Ht, Jacobi operator Jt and:(i) dHtdt ∣t=0 , 0
(ii) Dim(E) = 1. That is, E = {be : b ∈ R}, for some e ∈ C j,α(Σ
∂ 0), e , 0.
Then, ∫
(1) e volϕ∗(g) = 0, and there exists a differentiable map λ : (−Σ 0 0, 0)
→ R, 0 < 0 ≤ , such that λ(0) = λ0 = 0, λ(t) = λt is a simple eigenvalue of Jt, and there is no other eigenvalue
of Jt near 0.
(2) Assume further that λ′(0) , 0 holds. Then, ϕ0 is a bifurcation point with respect to {ϕt}−<t< , where the
bifurcation branch is an analytic family of free boundary CMC immersions. More precisely, there exist an open
interval Î ⊂ R, 0 ∈ Î, and C1 functions ζ : Î → E⊥( and t : Î → R, such that) t(0) = 0, ζ(0) = 0, and
ψs = Expϕt(s) [φt(s) + se + sζ(s)]~nϕt(s)(Σ) ,
is a free boundary CMC immersion with mean curvature Ĥs = Ht(s).
(3) Every free boundary CMC immersion sufficiently close, in the topology of C j,α, to ϕ0, is equal, up to parame-
terization, to some element of families {ϕt}t∈I , 0 ∈ I ⊂ (−0, 0), or {ψs}s∈Î . Furthermore, the surfaces {ϕt}t∈I and
{ψs}s∈Î are pairwise distinct except for ϕ0 = ψ0.
References
[1] Renato G Bettiol, Paolo Piccione And Bianca Santoro, Deformations of free boundary CMC hypersurfaces and
applications , The Journal of Geometric Analysis, 27(4):3254-3284, 2017.
[2] M. G. Crandall, And P. H. Rabinowitz, Bifurcation from simple eigenvalues, J. Funct.Analysis 54 (1971), 321-340.
[3] Michael G Crandall, And Paul H Rabinowitz, Bifurcation, perturbation of simple eigenvalues, and linearized
stability, Arch. Rat. Mech. Anal. 52 (1973), 161-180.
[4] Miyuki Koiso, Bennett Palmer And Paolo Piccione, Stability and bifurcation for surfaces with constant mean
curvature, Journal of the Mathematical Society of Japan, 69(4):1519-1554, 2017.
[5] Rodrı́guez C. Carlos Wilson, Genericity of Nondegenerate Free Boundary CMC Embeddings, Mediterranea Jour-
nal Mathematics, 17:188, 2020
63
Educación Matemática
V Encuentro Matemático del Caribe
Estudio correlacional entre el curso matemática elemental
y el curso matemática general del Instituto
Tecnológico de Costa Rica
Autor: Luis Fernando Mora Picado
Instituto Tecnológico de Costa Rica
E-mail: lmora@itcr.ac.cr
Resumen: La presente investigacion tuvo la finalidad de determinar la relación entre el rendimiento académico del
curso matemática elemental en comparación con el curso dematemática general. La investigación se centró en los estu-
diantes de ingenieria que matricularon durante el primer semestre del 2023 el curso nivelatorio de matemática elemental
con sigla MA0001 y que a su vez matricularon durante el segundo semestre del mismo año el curso de matemática gen-
eral con sigla MA0101 del Instituto Tecnológico de Costa Rica. Para ello se realizó un estudio estadı́stico correlacional
utilizando el software R, presentando interesantes resultados.
Palabras clave: Correlacional, rendimiento, matemáticas.
Referencias
[1] Ferrero R. y J. Lopez. Analisis de correlación: guı́a rápida en R. (2019).
[2] Ramı́rez-Alan, Oscar. Correlación y Regresión Lineal. (2017).
[3] Matematica Elemental: Curso en lı́nea del Tecnológico de Costa Rica. Tecnológico de Costa Rica. URL:
https://www.tec.ac.cr/matematica-elemental.(2023).
65
Memorias | Conferencias
El uso de la evaluación diagnóstica
en el PEA de la Matemática
Autora: Ana Paredes-Proaño
Pontificia Universidad Católica del Ecuador
E-mail: aparedes667@puce.edu.ec
Resumen: En esta ponencia se presentan algunos del proyecto de investigación (ver [3]), titulado “Estudio del ren-
dimiento académico en asignaturas de la Disciplina Matemática, de los estudiantes que ingresan a la Pontificia Uni-
versidad Católica del Ecuador (PUCE)”. En el trabajo se hace referencia a los objetos matemáticos que se toman en
cuenta para la preparación del instrumento que se presenta, usado como evaluación diagnóstica para determinar los
conocimientos y habilidades que tienen los estudiantes al llegar a la PUCE, en la Disciplina Matemática. La propuesta
de evaluación diagnóstica presentada fue aplicada en algunas carreras que en su malla curricular contienen asignaturas
Matemáticas. Finalmente se realiza un análisis de resultados. De manera precisa en la investigación se integran estrate-
gias didácticas y componentes del Proceso de Enseñanza - Aprendizaje de la Matemática con énfasis en la evaluación.
Palabras & clave: enseñanza – aprendizaje, estrategias didácticas, evaluación diagnóstica, Matemática.
Referencias
[1] Barcia, J., Carvajal, B. (2015). El proceso de enseñanza aprendizaje en la Educación Superior. Revista Electrónica
Formación y Calidad Educativa, volumen (3), pp. 16
[2] Colman, H. (2020). Tipos de evaluación educativa. Instituto para el futuro de la educación.
https://webdelmaestrocmf.com/portal/tipos-de-evaluacion-educativa
[3] de León Rodrı́guez, N., Santy Ruales, W., Ortiz Palacios, C., Paredes Proaño, A., and Camacho
Cañar, E. (2022). La evaluación diagnóstica como estrategia didáctica en el proceso de enseñan-
za aprendizaje de la Matemática. Universidad Y Sociedad, 14(S5), 583-594. Recuperado a partir de
https://rus.ucf.edu.cu/index.php/rus/article/view/3327
66
V Encuentro Matemático del Caribe
Relación de la práctica de ajedrez y el rendimiento
matemático de los estudiantes del Colegio
Comunal Orquı́deas, Bogotá-Colombia
Autor: Irvin Gregorio Malave Castellano
Fundación Universitaria los Libertadores
E-mail: irvinmalave@gmail.com
Resumen: El estudio emplea un modelo VAR para explorar la relación entre la práctica de ajedrez y el rendimiento
en matemáticas en el Colegio Comunal Orquı́deas, Bogotá, usando datos recopilados a lo largo de once años para
transfórmalos en series de tiempo. Los coeficientes estimados revelan cómo estas variables se influyen mutuamente y
cambian con el tiempo, con un alto R-cuadrado (96.19 % para ajedrez, 97.12 % para matemáticas), indicando una sólida
capacidad del modelo para explicar la variabilidad observada. Este enfoque subraya potenciales beneficios educativos
del ajedrez en habilidades matemáticas.
Metodologı́a: Se utilizó el modelo Vector Autoregressive (VAR) en series de tiempo para analizar la dinámica entre la
práctica de ajedrez y el rendimiento en matemáticas de los estudiantes del Colegio Comunal Orquı́deas. Se recopilaron
datos a lo largo de once años, examinando la correlación y causalidad entre estas variables a través de análisis estadı́sti-
cos y pruebas de estacionariedad. Hallazgos:1. Correlación positiva: Se encontró una correlación significativa entre la
práctica de ajedrez y los puntajes en matemáticas. Los estudiantes con mejores puntajes en ajedrez tendieron a obtener
mejores resultados en matemáticas.2. Modelo VAR: El modelo VAR mostró que la práctica de ajedrez influye en el
rendimiento matemático de manera dinámica y correlacionada.3. Proyecciones:Las proyecciones del modelo indicaron
un aumento en los puntajes de ajedrez y matemáticas en periodos futuros, respaldando la relación positiva observada.
Conclusiones: El estudio respalda la idea de que la práctica regular de ajedrez puede ser beneficiosa para mejorar el
rendimiento en matemáticas de los estudiantes. Esto sugiere que integrar el ajedrez en el currı́culo escolar podrı́a ser una
estrategia efectiva para potenciar habilidades cognitivas y académicas en el contexto especı́fico del Colegio Comunal
Orquı́deas en Bogotá, Colombia. Los resultados también contribuyen al conocimiento cientı́fico sobre los beneficios
del ajedrez en la educación. En resumen, este estudio proporciona evidencia empı́rica de la relación positiva entre la
práctica de ajedrez y el rendimiento matemático, destacando su relevancia para futuras implementaciones educativas y
polı́ticas escolares.
Palabras & frases clave: Ajedrez, rendimiento matemático, Modelo VAR, series de tiempo.
67
Memorias | Conferencias
El concepto de permutación: un análisis teórico
Autores: Astrid Carolina Archila Prada1, Solange Roa Fuentes2, Javier Camargo
Garcı́a3
Universidad Industrial de Santander1,2,3
E-mail: astridcap98@gmail.com1, doraroaf@uis.edu.co2, jcam@matematicas.uis.edu.co3
Resumen: Esta investigación está fundamentada en la teorı́a APOE (Arnon et al., 2014); esta teorı́a cognitiva de la
Didáctica de las Matemáticas explica cómo los individuos aprenden o construyen conceptos y nociones matemáticas.
El corazón de la teorı́a APOE es la Descomposición Genética, este modelo busca organizar el conocimiento necesario
para la construcción de un concepto o noción. La Descomposición Genética describe estructuras mentales (Acción,
Proceso, Objeto y Esquema) que se construyen y relacionan por medio de mecanismos mentales (interiorización,
encapsulación, des-encapsulación, coordinación, tematización, entre otros). Se toma esta teorı́a como una herramienta
para explicar posibles modelos cognitivos que pueden ser construidos por un individuo para comprender conceptos o
nociones matemáticas, en este caso, para el concepto de permutación. Esta investigación concibe este concepto como
ordenación y función biyectiva.
En esta oportunidad se presentan los elementos que componen la primera etapa del ciclo de investigación de la
teorı́a, el Análisis teórico; estos elementos son: el estudio de aspectos epistemológicos, el análisis de libros de texto
y resultados previos en didáctica de las matemáticas relacionados con el concepto de permutación. Esta etapa del
ciclo permite conocer los inicios, el desarrollo y la evolución del concepto, ası́ como reconocer la importancia que
ha adquirido en diversas áreas, especialmente en las que contiene álgebra abstracta. El análisis epistemológico, por
ejemplo, permite identificar los retrocesos, avances y estancamientos en la formulación formal del concepto; el análisis
de libros de texto permite determinar definiciones, ejemplos, ejercicios y en general la visión de los autores sobre
el concepto; por su parte, el estudio de investigaciones desde la didáctica de las matemáticas permite identificar los
fenómenos asociados con los procesos de enseñanza y aprendizaje del concepto de permutación. Finalmente, estos
elementos sustentan el diseño de una descomposición genética del concepto de permutación (Asiala et al., 1998). La
comprensión descrita en dicho modelo cognitivo promueve el desarrollo de una forma de pensar sobre la permutación,
lo que permitirá un mejor desempeño de los estudiantes en diversos contextos relacionados con: matemática discreta,
teorı́a de grafos, teorı́a de juegos, entre otras.
Palabras & frases clave: APOE, permutación, análisis teórico, ordenación, función biyéctiva.
Referencias
[1] Arnon, Ilana, et al. “APOS theory.” A framework for research and curriculum development in mathematics educa-
tion (2014): 5-15.
[2] Asiala, Mark, et al. “The Development of Students Understanding of Permutations and Symmetries.” International
Journal of Computers for Mathematical Learning 3.1 (1998): 13-43.
68
V Encuentro Matemático del Caribe
Evolución cognitiva del concepto de vector
en un curso de álgebra lineal
Autoras: Yulieth Alexandra Gutierrez Carrillo1, Solange Roa Fuentes2
Universidad Industrial de Santander1,2
E-mail: yuliethgc98@gmail.com1, roafuentes@gmail.com2
Resumen: Se presentan los resultados obtenidos en una investigación que utiliza la teorı́a APOE (Acrónimo Acción,
Proceso, Objeto y Esquema) [4] como marco teórico, para explicar cómo evolucionan las construcciones Acción,
Proceso y Objeto de vector (A→ P→ O) en estudiantes universitarios de un curso de álgebra lineal; mediante la apli-
cación de las tres componentes del ciclo de investigación de la teorı́a APOE. Los resultados señalan las caracterı́sticas
de las Tareas e indican el rol del espacio vectorial Rn para promover la evolución de las concepciones sobre el vector.
Palabras & frases clave: vector, álgebra lineal, teorı́a APOE
Introducción
Los problemas sobre la enseñanza y el aprendizaje del álgebra lineal han desarrollado un interés creciente durante
los últimos años [11]. En particular, el concepto de vector ha sido estudiado desde diferentes perspectivas teóricas que
han identificado problemáticas en el aprendizaje, relacionadas con: la representación del vector [2, 7, 10]; la naturaleza
del vector y el escalar [1, 3]; las concepciones del vector cero de un espacio vectorial [8]; y la comprensión del vector
en espacios vectoriales diferentes a Rn [5, 6]. Ası́ mismo, se cuenta con tienen investigaciones que presentan propuestas
didácticas que buscan mitigar las dificultades asociadas a su enseñanza y aprendizaje de este concepto [1, 9].
Con base en estos elementos y como resultado del diseño y desarrollo de la primera componente del ciclo de
investigación, Análisis teórico, se presenta una descomposición genética del concepto de vector en el contexto del
álgebra lineal. Este modelo cognitivo permite determinar la forma en que evolucionan las estructuras mentales del
concepto de vector, que se evidencian en estudiantes de un curso de álgebra lineal; esto a partir de la relación con
otros conceptos como el espacio vectorial Rn, sistemas de ecuaciones lineales, combinación lineal, dependencia e
independencia lineal y base. La descomposición genética del concepto de vector es una herramienta importante para
el diseño de tareas y secuencias de enseñanza, pues, muestra un camino viable para la comprensión del concepto de
vector y su evolución.
Referencias
[1] Acevedo, Jorge I., et al. “Estudio de la enseñanza del concepto de vector en R2, y propuesta didáctica.” Revista de
Investigación y Divulgación en Matemática Educativa 18.1 (2021): 4-13.
[2] Aguirre, Jose, and Gaalen Erickson.“Students conceptions about the vector characteristics of three physics con-
cepts.” Journal of research in Science Teaching 21.5 (1984): 439-457. doi:10.1002/tea.3660210502
[3] Appova, Aina, and Tetyana Berezovski.“Commonly identified students’ misconceptions about vectors and vector
operations.” Conference on research in undergraduate mathematics education: Crume xvi. Vol. 2. Denver: RUME,
2013.
[4] Arnon, Ilana, et al. “APOS theory.” A framework for research and curriculum development in mathematics educa-
tion (2014): 5-15.
69
Memorias | Conferencias
[5] Cabrera, Angel Francisco Can. Construcciones mentales en el aprendizaje del concepto de Espacio Vectorial. Diss.
Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnologı́a Avanzada, 2022.
[6] Harel, Guershon. “Three principles of learning and teaching mathematics: Particular reference to linear algebra-
Old and new observations.” On the teaching of linear algebra. Dordrecht: Springer Netherlands, 2000. 177-189.
[7] Hillel, Joel. “Modes of description and the problem of representation in linear algebra.” On the teaching of linear
algebra. Dordrecht: Springer Netherlands, 2000. 191-207.
[8] Parraguez, Marcela. “Construcción de significados de las operaciones del espacio vectorial a través de conjuntos
linealmente independientes/dependientes.” RECHIEM. Revista Chilena de Educación Matemática 12.2 (2020):
60-70. doi:10.46219/rechiem.v12i2.22
[9] Paz Rodrı́guez, Sofı́a. Investigación de diseño en la enseñanza del concepto de vector: una aproximación para el
diseño de tareas. MS thesis. Tesis (MC)–Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del IPN Departamento
de Matemática Educativa, 2020.
[10] Poynter, Anna, and David Tall. “Relating theories to practice in the teaching of mathematics.” Fourth Congress
of the European Society for Research in Mathematics Education. 2005.
[11] Stewart, Sepideh, et al. “The linear algebra curriculum study group (LACSG 2.0) recommendations. ” Notices of
the American Mathematical Society 69.5 (2022). doi:10.1090/noti2479
70
V Encuentro Matemático del Caribe
Aprendizajes en el pensamiento reflexivo de un profesor
de matemáticas en formación sobre la función logı́stica
y el ahorro
Autores: Jaiver David Rey Gómez1, Sandra Evely Parada Rico2
Universidad Industrial de Santander1,2
E-mail: jaiverdavidrey@hotmail.com1, sanevepa@uis.edu.co2
Resumen: En esta ponencia se reportan los primeros resultados de una investigación-acción colaborativa cuyo objetivo
es describir los aprendizajes construidos por profesores de matemáticas en formación que reflexionan sobre las cone-
xiones entre la matemática y el contexto de la economı́a y las finanzas para promover actividad matemática en el aula.
Esta se fundamenta teóricamente en el Modelo de Reflexión y Acción (RyA) [1] especialmente en lo relacionado con
el pensamiento reflexivo del profesor, y la actividad matemática, que, para efectos de la investigación, se particulariza
como la actividad suscitada por las conexiones entendidas desde la Teorı́a Ampliada de las Conexiones TAC ([2], [3],
[4]). Producto de los datos recolectados a través de una aproximación a un grupo de profesores de matemáticas en
formación se logra evidenciar aprendizajes en el pensamiento matemático, didáctico y orquestal de un profesor que
reflexionó sobre la función logı́stica (como objeto matemático), y sus relaciones con el ahorro (como objeto de la
economı́a y las finanzas). La presente comunicación girará en torno a la descripción de dichos aprendizajes.
Palabras & frases clave: profesores en formación, conexiones, actividad matemática, economı́a, finanzas.
Referencias
[1] Parada Rico, Sandra Evely. Reflexión y acción en comunidades de práctica: Un modelo de desarrollo profesional.
Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional. Departamento de Matemática
Educativa, 2011.
[2] Evitts, Thomas. Investigating the mathematical connections that preservice teachers use and develop while solving
problems from reform curricula. Pennsylvania State University College of Education, 2004.
[3] Businskas, Aldona. Conversations about connections: How secondary mathematics teachers conceptualize and
contend with mathematical connections. Simon Fraser University,2008
[4] Dolores, Crisologo y Garcı́a, Javier. “Intra-mathematical connections made by high school students in performing
Calculus tasks”.International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. 49 (2), 227-252.
https://doi.org/10.1080/0020739X.2017.1355994
71
Memorias | Conferencias
Tipos de generalización que producen estudiantes de
grado octavo (12-14 años) al resolver tareas sobre secuencias
de patrones: una mirada desde la teorı́a de la objetivación
Autoras: Marı́a Angélica Ramı́rez Archila1, Ana Yamile Meza Quintero2
Universidad Distrital Francisco José de Caldas1,2
E-mail: maramireza@upn.edu.co1, yamilemeza9@gmail.com2
Resumen: En los últimos años, uno de los intereses de la investigación en Educación Matemática ha sido el estudio
de los tipos de generalización de patrones que realizan los estudiantes, ya que es un factor fundamental para potenciar
el pensamiento algebraico. Por esta razón, a través de esta charla corta se pretende dar a conocer brevemente nuestro
proyecto de tesis que tiene como finalidad documentar los tipos de generalización que producen los estudiantes de
grado octavo en la actividad matemática cuando se enfrentan a tareas de generalización de patrones. Para ello, de
acuerdo con las producciones de los estudiantes, se identificaron, caracterizaron y describieron los medios semióticos
de objetivación que se movilizan y de esta manera identificar la presencia del componente de abducción analı́tica.
72
V Encuentro Matemático del Caribe
El conocimiento unitario y pragmático en el aprendizaje
de la definición de lı́mite de una función
Autor: Jorge Fajardo Molinares
Institución Universitaria de Barranquilla & Universidad Pedagógica Experimental Libertador
E-mail: jjfajardo@unibarranquilla.edu.co
Resumen: La presente investigación tuvo como propósito generar aportes teóricos que permitieran la identificación
del Obstáculo epistemológico Conocimiento Unitario y Pragmático que se presenta durante la enseñanza del Concepto
de Lı́mite de una Función de Variable Real en un punto, con Profesores de Matemática y estudiantes de la Institución
Universitaria de Barranquilla de la ciudad de Barranquilla. Para el abordaje epistemológico se asumió la Teorı́a Antro-
pológica de Didáctica de la Matemática, la Teorı́a de las Situaciones Didácticas y el conocimiento sobre Obstáculos
Epistemológicos, con el propósito de develar dificultades y errores presentes en el proceso de enseñanza del Con-
cepto de Lı́mite de una Función de Variable Real. Metodológicamente, se abordó desde el paradigma interpretativo
fenomenológico, bajo el método hermenéutico dialéctico, aspectos que corresponden con el enfoque cualitativo. Los
informantes clave del estudio estuvieron conformados por tres (3) profesores adscritos a la Facultad de Ciencias Bási-
cas de la Institución Universitaria de Barranquilla con amplia experiencia en el área de cálculo y tres (3) estudiantes
del programa de Técnico en mantenimiento electromecánico y electrónico industrial correspondiente al segundo cuatri-
mestre del respectivo perı́odo académico 2023. La recolección de información se basó en la aplicación de una entrevista
en profundidad a tres docentes de matemática y tres estudiantes de la institución mencionada, hecha vı́a online y regis-
trada en el teléfono celular, información sometida a reducción mediante el proceso de categorización y saturación para
crear varias dimensiones a partir de las percepciones de los entrevistados, tales como: obstáculos epistemológicos en el
aprendizaje del lı́mite de una función de variable real; conocimiento unitario y pragmático y estrategias de enseñanza
en la educación básica universitaria, entre otras.
Palabras & frases clave: Obstáculo epistemológico, lı́mite de una función feal de variable real, conocimiento unitario
y pragmático, didáctica.
73
Memorias | Conferencias
Descripción de la comprensión del concepto de función, bajo el
modelo de van Hiele, para estudiantes de grado 9◦ en la
Institución Educativa Simón Bolı́var, inspección de San
Francisco en el municipio del Calvario-Meta
Autoras: Monica Beltrán Silva1, Alba Soraida Gutierrez Sierra2
Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia1,2
E-mail: monica.beltran01@uptc.edu.co1, alba.gutierrez01@uptc.edu.co2
Resumen: El proceso de investigacion tuvo como objetivo diseñar una entrevista de carácter socrático, basado en el
modelo de Van Hiele, que permitió describir cómo los estudiantes comprenden el concepto de función. Basados en
la metodologı́a de enfoque mixto, se utilizó como herramientas: la prueba diagnóstica, que arrojó debilidades frente
al concepto de función; y para la recolección de información, se aplicó la entrevista semiestructurada de carácter
socrático, mediante el guión (estructura) de la entrevista se verifican los descriptores hipoteticos correspondientes a
cada nivel de razonamiento de acuerdo al modelo, dejando ver el conocimiento de los estudiantes con relación al
concepto de función. Esta interacción permite percibir algunos procesos cognitivos de los estudiantes en el momento
de razonar. El estudio incluyó a 11 estudiantes de noveno grado de la Institución Educativa Simón Bolı́var en San
Francisco, Calvario-Meta. En conclusión, evaluar la incidencia en la aplicación de la entrevista socrática basada en el
modelo de Van Hiele, logra situar en qué nivel de razonamiento se encuentra el estudiante a través de los descriptores
hipotéticos y de esa manera descubrir cómo los estudiantes comprenden el concepto matemático, esto permite que el
docente diseñee y aplique actividades para el proceso de enseñanza-aprendizaje, ya que en ocasiones los estudiantes
presentan dificultades.
Palabras & frases clave: Función, función, descriptores, comprensión, razonamiento, Niveles de Van Hiele.
Introducción
Cuando se habla de las matemáticas, se relaciona muy seguido con problemas, números y operaciones; y por
supuesto lo difı́ciles que son aprenderlas para la mayorı́a de las personas. Pero en el fondo al discutir sobre matemáticas,
tiene cantidad de situaciones de la vida real que se pueden simular. Una muestra de lo anterior la tenemos cuando nos
ubicamos en los procesos de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, especı́ficamente en la didactica de
asignaturas como el álgebra, la geometrı́a, la trigonometrı́a y el cálculo, dentro de las cuales la asimilación de algunos
conceptos resulta de valiosa importancia para los educandos. Centrándonos un poco más en el cálculo, conceptos como
los de relación y función han ádquirido un alto grado de desarrollo tanto para la enseñanza como para la aplicación
de dicha asignatura, en particular para estudiantes de básica media, en donde ya hay mayor compresión de conceptos
matemáticos y abstracción del mismo, debido a que su asimilación y percepción se facilita a través de algunos de los
sentidos y el ejercicio de la razón: las relaciones y funciones las pueden ver sobre el plano cartesiano o escuchar a
partir de los enunciados que se usan para describir situaciones de experiencias como, por ejemplo, la trayectoria de
una pelota de fútbol cuando es pateada, donde se puede deducir de las ecuaciones distancia, velocidad y tiempo, o
construir a partir de tablas de valores. Las diferentes formas de abordar los mismos conceptos, a través de los sentidos
y la abstracción que permite decodificar sı́mbolos y razonamiento.
Lo que procuramos con este escrito es dejar sustentada la relevancia de las caracterı́sticas inherentes a los conceptos
en cuestión, para proponer su estudio y aplicación bajo la óptica del modelo de van Hiele.
Al comenzar este estudio, se plantea que se puede entender el pensamiento de los estudiantes utilizando la técnica
de la entrevista socrática, la cual se basa en hacer preguntas orientadoras. El Modelo van Hiele es útil para entender y
74
V Encuentro Matemático del Caribe
evaluar cómo razonan los estudiantes en relación con el concepto de función. Este enfoque se ha usado en diferentes
investigaciones mediante la entrevista socrática, con la premisa de que proporciona información valiosa al investigador
para identificar los niveles de razonamiento basándose en las respuestas de los estudiantes. Además, se busca fomentar
un pensamiento crı́tico y reflexivo sobre el concepto de funcion, al mismo tiempo que se promueve la búsqueda de
diferentes soluciones para comprender las matemáticas. Por lo tanto, se estimula la capacidad de analisis en situaciones
relacionadas con el concepto, para generar interdisciplinariedad con otras asignaturas, ası́ como facilitar la relación de
los contenidos con la vida diaria de los estudiantes.
Referencias
[1] Cortes Garcés, Fabio Alexánder. “Diseño de una entrevista socrática para la comprensión de la noción de indeter-
minación. Facultad de Ciencias (2014).
[2] Gutierrez, Ángel y Adela Jaime. “Estudio de las caracterı́sticas de los niveles de Van Hiele.” Psicologı́a en Educa-
ción Matemática 3 (1987): 131-137.
[3] Jaramillo Lopez, Carlos Mario, and Pedro Campillo Herrero. “Propuesta teórica de entrevista socratica a la luz del
modelo de van Hiele.” (2001).
[4] Mora, Fernando Barrera, and Aaron Reyes Rodrı́guez. “La teorı́a de Van Hiele: Niveles de pensamiento geometri-
co.” Pädi Boletı́n Cientı́fico de Ciencias Básicas e Ingenierı́as del ICBI 3.5 (2015).
[5] Vila Yupanqui, Miguel Angel. “Representaciones semióticas para el aprendizaje del concepto de funcion cuadráti-
ca en estudiantes de Tayacaja.” (2017).
75
Ecuaciones Diferenciales
V Encuentro Matemático del Caribe
Subarmónica en el modelo de la parla giratoria
Autor: Alexander Gutierrez G.
Universidad Tecnológica de Pereira
E-mail: alexguti@utp.edu.co
Resumen: Se establecen condiciones necesaria para la existencia y multiplicidad para una ecuación diferencial no
lineal que describe el movimiento de una una perla en un aro circular que gira a velocidad constante y tiene un forza-
miento periódico.
Palabras & frases clave: Subarmónica, sub y super soluciones.
Introducción
Consideramos la ecuación diferencial
θ′′
ω
+ sin(θ) − sin(2θ) = f (t), (14)
2
que se obtiene al modelar el problema clásico de mecánica que consiste en el movimiento uniforme de una perla
en un aro circular que rota verticalmente, donde ω es la velocidad angular y el forzamiento externo f es la función
T -periódica.
El estudio de (14) sin forzamiento externo es un problema no lineal que presenta una bifur∫cación tipo tenedor [3].El modelo canónico se puede modificar al cambia eje de rotación del aro o se impone fricción, ver [4].T
En este caso se va a suponer que f (t) se puede reescribir como f (t) = f̄ + f̃ , donde f̄ = 1T 0 f (t) dt y f̃ pertenece
a uno de los siguintes espacios:
C̃T = {u ∈ C(R) : u(t) = u(t + T ) para todo t ∈ R y ū = 0},
L̃1T = {u ∈ L1(R) : u(t) = u(t + T ) para todo t ∈ R and ū = 0}.
Observe que si ω = 0, entonces (14) es la paradigmática ecuación del péndulo x′′ + sin x = f (t), que ha sido
ampliamente estudiada por numerosos autores en el siglo XX, una revisión reciente de los avances que se han hecho la
respecto han sido presentados en[1].
En este trabajo se esta interesado en el estudio de la existencias de soluciones subarmónica. Ası́ que diremos que
una solución u de (14) es subarmónica de orden k (k ≥ 2) si es una solución kT -periódica de (14) que no es lT periódica
para ningún l = 1, 2, . . . , k − 1. Adicionalmente, diremos que dos soluciones subarmónicas u y v de orden k son de
la misma clase de periodicidad si u(t) = v(t + lT ) para algún l = 1, 2, . . . k − 1, en caso contrario se dirá que son de
diferente periodicidad.
Los resultados principales [5], esta relacionados con los trabajos de Zanolin y Boscaggin [2].
Referencias
[1] J. Mawhin. Global Results for the Forced Pendulum Equation. Handbook of Differential Equations. Ordinary
Differential equations, Volume 1. Elsevier 2004.
[2] F. Zanolin, A. Boscaggin, ”Subharmonic solutions for nonlinear second order equations in presence of lower and
upper solutions”, Discrete and continuous dynamical systems, Vol 33, N. 1. 2013.
77
Memorias | Conferencias
[3] A.V. Karapetyan, V.I. Kalenova, V.M. Morozov. ”The stability of the steady motions of non-holonomic mechanical
systems with cyclic coordinates”, Journal of Applied Mathematics and Mechanics, Volume 68, Issue 2, , 173-182,
(2004).
[4] A. A. Burov, V. I. Nikonov, ”Motion of a heavy bead along a circular hoop rotating around an inclined axis”,
International Journal of Non-Linear Mechanics, Elsevier,137, (2021).
[5] D. Cortes, A Gutiérrez. ”Bead on a rotating circular hoop: periodic and subharmonic solutions”. preprint.
78
V Encuentro Matemático del Caribe
Método del balayage en grafos
Autor: Diego Alexander Castro Guevara
Universidad Tecnológica de Pereira
E-mail: xandercastro@utp.edu.co
Resumen: En este trabajo se estudia el proceso de barrido de un grafo finito y conexo D, considerando una distribución
de masa inicial µ y una numeración de los vértices v1, v2,...; a partir de los cuales se define la estrategı́a de barrido, a
través de una iteración, con la cual se construye una sucesión de medidas µn que miden cuanta masa queda en cada
vértice en el n-ésimo barrido y una sucesión de funciones un que mide cuanta masa se ha barrido en el n-ésimo barrido.
Probaremos que la sucesión un converge de manera uniforme a cero y que además un converge a una función u que
satisface el problema de Dirichlet −∆u = µ en D (15)u = 0 en ∂D
Palabras & frases clave: Problema de Dirichlet, Principio del Máximo, Método de Perrón, Funciones Subarmónicas.
Introducción
Un método para reconstruir funciones armónicas en un dominio acotado y conexo, a partir de sus valores de fron-
tera fue desarrollado por H. Poincaré [1], conocido como método de balayage. Sea Ω un dominio acotado en Rn, µ una
medida soportada en Ω. El balayage para la medida µ es una medida ν, tal que ν = 0 en Ω y Φµ = Φν fuera de Ω, donde
Φµ representa el potencial Newtoniano asociado a la medida µ.
Ya que µ puede ser reconstruida via −∆Φµ = µ otra forma de construir la medida balayage es resolver el problema
de Dirichlet con dato de borde Φµ, y extender la solución por Φµ fuera de Ω. Debido a que no era sencillo solucionar
en cualquier dominio el problema de Dirichlet, Poincaré planteo cubrir Ω con un número finito de bolas y usar la re-
presentación de Poisson en cada bola e ir pegando de forma adecuada las soluciones, a este proceso le llamo balayage
[2].
Estas ideas de balayage [3] se han extendido a través de la teorı́a del potencial a diferentes campos en problemas
discretos, existiendo conexiones con áreas como ingenierı́a eléctrica y probabilidad [cita] y modelos interesantes como
Internal Diffusion Limits Aggregation or internal DLA, The Rotor-Router model y Divisible Sandpile. [4], [5].
Otros problemas interesante que surgen, en este tipo de proceso de barrido, es considerar un barrido parcial, a
través del cual ya no nos interesa barrer de forma total el dominio Ω, si no más bien permitir que haya una cantidad de
masa λ, con lo cual si la cantidad µ de masa inicial es mayor que λ barrer el exceso, con lo cual se llega a un problemano variacional min(−∆u + λ − µ, u) = 0 en Ω (16)u = 0 en ∂Ω
y para este tipo de problemas se debe estudiar otro tipo de solución diferente al clásico conocido como soluciones
viscosas [6].
79
Memorias | Conferencias
Referencias
[1] H. Poincaré, Theorie du potentiel Newtonien, paris (1899).
[2] B. Gustafsson, Lectures on Balayage, In Clifford algebras and potential theory 7 (2004), 17-63.
[3] L.A. Caffarelli, The Obstacle Problem Revisited, The Journal of Fourier Analysis and Applications 4 (1998), 383-
402.
[4] J.L Snell P.G. Doyle, Random Walks and Electrical Networks, Mathematical Association of America in their Carus
Monographs series (1985).
[5] Lionel and Peres Levine Yuval, Scaling limits for internal aggregation models with multiple sources, Journal
d’Analyse Mathématique 111 (2010), no. 1, 151–219, DOI 10.1007/s11854-010-0015-2.
[6] J. Calder, Lectures notes in viscosity solutions, University of Minnesota; 2018.
80
V Encuentro Matemático del Caribe
Opinion divergence dynamics around a political idea
Authors: Ricardo Cano Macias1, Jorge Mauricio Ruiz V.2
Universidad de La Sabana1, Universidad Nacional de Colombia2
E-mail: ricardocm@unisabana.edu.co1, jmruizv@unal.edu.co2
Abstract: A differential equation model is presented that describes the political polarization of a population under a
context of distrust between individuals. The population is supposed to consist of a group of moderate followers, a group
of intransigent defenders and a group of contradictors. The stability of the system of differential equations is studied
in order to establish measures that avoid homogenization around a certain political position. Two real cases of political
polarization in Colombian society are analyzed that allow us to demonstrate the capacity of the model to represent the
general behavior of the division of opinion and its usefulness in controlling polarization.
Keywords: Mathematical modeling, Differential equations, Stability analysis, Political polarization
Introduction
Currently, technological development and access to information that people have allows decision-making to be mo-
re transparent and participatory, which provides a greater opportunity for the exchange of opinions between individuals
in a population. However, this exchange of ideas gives rise to people’s positions and points of view being challenged,
which leads to the need to defend them, rejecting contrary opinions to the point of reaching an irreconcilable level of
divergence that can produce a polarization in society.
From the social sciences there has been extensive reflection on the phenomenon of polarization and the various reasons
for its appearance [1]. Some cases that generate social polarization are for example: The legalization of abortion [2],
immigration and the environment [4], the division between the Republican and Democratic parties in the United States
[5] and in particular, in Colombia the plebiscite for the peace agreements with the FARC [3].
In this work, we propose a model that analyzes the dynamics of opinion around an idea A. In contrast to other works
[6, 7] that consider constant rates of interaction between population groups, the proposed model assumes that the
diffusion strategy used by one of the groups corresponds to a functional response Holling type II. We validate the
proposed model with two real case studies of the phenomenon of polarization in Colombian society between the years
2010 to 2018. Based on the parameters of the model, two dimensionless values R0 and z1 are defined that allow us to
establish two equivalent criteria for determine whether the polarization phenomenon occurs or not. Also, a sensitivity
analysis of R0 is performed with respect to the estimated parameters of the case studies.
References
[1] Druckman, J.N., Klar, S., Krupnikov, Y. et al. Affective polarization, local contexts and public opinion in America.
Nat Hum Behav 5, 28–38 (2021). https://doi.org/10.1038/s41562-020-01012-5
[2] Mouw, Ted, and Michael E. Sobel. Culture Wars and Opinion Polarization: The Case of Abortion. American
Journal of Sociology 106, no. 4 (2001): 913–43. https://doi.org/10.1086/320294.
[3] Basset, Yann. (2018). clave del rechazo del plebiscito para la paz en Colombia. Estudios Polı́ticos (Universidad
de Antioquia), 52. http://doi.org/10.17533/udea.espo.n52a12
[4] Chagas-Bastos, Fabrı́cio H. 2019. Political Realignment in Brazil: Jair Bolsonaro and the Right Turn. Revista de
Estudios Sociales 69: 92-100. https://doi.org/10.7440/res69.2019.08
81
Memorias | Conferencias
[5] Christopher Hare and Keith T. Poole. 2014. The Polarization of Contemporary American Politics Polity 46:3,
411-429.
[6] Goffman, W., Newill, V. (1964) Generalization of Epidemic Theory: An Application to the Transmission of Ideas.
Nature 204, 225–228 . https://doi.org/10.1038/204225a0
[7] Hayward, J. (1999) Mathematical modeling of church growth. The Journal of Mathematical Sociology, 23:4, 255-
292, DOI:10.1080/0022250X.1999.9990223
82
V Encuentro Matemático del Caribe
Infinitas soluciones para un problema tipo φ-Laplaciano
Autor: Sigifredo Herrón1, Diana Sánchez, Emer Lopera
Universidad Nacional de Colombia-Sede Medellı́n1
E-mail: sherron@unal.edu.co1
Resumen: Establecemos la existencia de infinitas soluciones radialmente simétricas que cambian de signo. Estas
soluciones se obtienen para un problema de valores en la frontera con condiciones tipo Dirichlet y que incorpora un
caso particular del operador φ-Laplaciano. Nuestras principales herramientas son el plano de fase y el análisis de
energı́a, que requieren un uso extenso d{e una identidad de tipo Pozohaev. Más exactamente, consideramos
−∆φ(u) = W(x) f (u), x ∈ B1(0),
u(x) = 0, x ∈ ∂B (0) (17)1 ,
donde B1(0) ⊂ RN(N > 2) es la bola unitaria, ∆φ denota el operador φ-Laplaciano, definido como
∆φ(u) = div(φ(|∇u|)∇u),
W > 0 es una función de peso C1 y φ está dada por
|s|p−2
φ(s) = ,
(1 + s2)m/2
con m > 0 pequeño. Consideramos la no linealidad
f : R→ R {
sq1 , s ≥ 0,
f (s) := −|s|q2 , s < 0,
donde
2 < p < q1 + 1 < N p(q1 + p − 1)/[Nq1 + (p − 1)(N − p)], q > p∗2 − 1 (18)
y p∗ N p= N−p (N > p) es el conocido exponente crı́tico de Sobolev.
Palabras & frases clave: Plano de fase, φ-laplacian, análisis de energı́a.
Referencias
[1] Castro, A., Cossio, J., Herrón, S., Pardo, R. and Vélez, C. (2020). Infinitely many radial solutions for a sub - super
critical p-Laplacian problem. Annali di Matematica Pura ed Applicata (1923-), 199(2), 737-766.
[2] Castro, A., Kwon, J., Tan, C.M. (2007). Infinitely many radial solutions for a sub-super critical Dirichlet boundary
value problem in a ball. Electron. J. Differ. Equ. 2007(111), 1-10.
[3] Herrón, S., Lopera, E. and Sanchez, D. (2022). Positive solutions for a semipositone φ-Laplacian problem. Journal
of Mathematical Analysis and Applications, 510(2), 126042.
[4] Wei-Ming Ni and James Serrin. (1986). Existence and non-existence theorems for ground states of quasilinear
partial differential equations. The anomalous case. Accad. Naz. Lincei, 77. 231-257.
[5] Reichel, W. and Walter, W. Radial solutions of equations and inequalities involving the p-Laplacian J. Inequal.
Appl. (1997), pp. 47-71.
83
Minicursos
V Encuentro Matemático del Caribe
Introducción a los modelos de dinámica de opinión
Autor: Norma Leticia Abrica-Jacinto
Universidad del Mar
E-mail: leticia.abrica@gmail.com
Resumen: Los modelos de dinámica de opinión son representaciones matemáticas y computacionales utilizadas para
simular y comprender cómo las opiniones y actitudes de agentes individuales cambian y evolucionan a lo largo del tiem-
po como resultado de las interacciones sociales, los factores psicológicos y el entorno social [1, 2]. En estos modelos
los agentes se representan con ciertos atributos y comportamientos, y se establecen reglas para describir cómo inter-
actúan entre sı́. Estas interacciones pueden incluir conversaciones, influencias mutuas y cambios de opinión basados
en la información que reciben de su entorno social y de los propios agentes. Generalmente, estos modelos de dinámica
de opinión se describen por medio de sistemas de ecuaciones discretas no-lineales, los cuales varı́an en complejidad
y detalle, desde enfoques simples hasta simulaciones más elaboradas. Como resultado de estos modelos es posible
explicar la formación de grupos de opinión (consenso, polarización, fragmentación) en función de los parámetros, lo
cual puede brindar elementos esenciales para comprender diversos fenómenos sociales (rebeliones, tendencias, etc.).
El objetivo de esta charla es dar una introducción a los modelos de dinámica de opinión presentando los elementos que
los caracterizan, la forma en cómo se analizan y algunos ejemplos [1, 2, 3, 4].
Palabras & frases clave: modelado matemático, dinámica de opinión.
Referencias
[1] Deffuant, Guillaume, et al. “Mixing beliefs among interacting agents.” Advances in Complex Systems 3.01n04
(2000): 87-98.
[2] Rainer, Hegselmann, and Ulrich Krause. “Opinion dynamics and bounded confidence: models, analysis and simu-
lation.” (2002).
[3] Abrica-Jacinto, Norma L., Evguenii Kurmyshev, and Héctor A. Juárez. “Effects of the interaction between ideolo-
gical affinity and psychological reaction of agents on the opinion dynamics in a relative agreement model.” Journal
of Artificial Societies and Social Simulation 20.3 (2017).
[4] Kurmyshev, Evguenii, and Norma Leticia Abrica Jacinto. “The Effect of Agents’ Psychology and Social Environ-
ment on the Opinion Formation: C/PA Relative Agreement Model in SW and SF Societies.” Chaos Theory and
Applications 4.4 (2022): 212-225.
85
Memorias |Minicursos
Introducción a Redes Complejas caso de aplicación:
análisis de la red vial de una ciudad
Autores: Mónica Jhoana Mesa Mazo1, Jorge Mario Garcı́a Usuga2
Universidad del Quindı́o1,2
E-mail: mjmesa@uniquindio.edu.co1, jmgarcia@uniquindio.edu.co2
Resumen: Las redes complejas son estructuras compuestas por nodos interconectados de manera no trivial, que se
encuentran en diversos ámbitos como la biologı́a, la informática y las ciencias sociales. En el contexto del tránsito,
estas redes representan sistemas de transporte urbano, donde los nodos son intersecciones o estaciones y los enlaces
son las rutas o calles que las conectan. La teorı́a de redes complejas nos permite entender y analizar la dinámica
del tráfico, identificar puntos crı́ticos y optimizar el flujo vehicular, lo que es esencial para mejorar la eficiencia y la
seguridad del transporte urbano.
La teorı́a de grafos, que es la base matemática para el estudio de redes, nos proporciona herramientas y conceptos
fundamentales para modelar y analizar redes de tránsito. Los grafos pueden ser dirigidos, cuando los enlaces tienen
una dirección, o no dirigidos, cuando no la tienen. Además, pueden ser ponderados, donde los enlaces tienen un peso
que indica la capacidad o el costo de la ruta. Estas caracterı́sticas permiten una representación precisa de las redes de
tráfico y su análisis detallado.
El análisis de redes de tránsito implica el uso de diversas métricas y algoritmos para evaluar su eficiencia y resilien-
cia. Medidas como la centralidad de los nodos, la robustez de la red y la identificación de comunidades son esenciales
para entender cómo fluye el tráfico y dónde se pueden producir cuellos de botella. Algoritmos de ruta óptima y simula-
ciones de tráfico ayudan a prever y mitigar problemas, mejorando la experiencia de los usuarios y la gestión del tránsito
urbano.
Finalmente, las herramientas y el software de análisis de redes, como Gephi, NetworkX, SUMO y MATSim,
permiten a los profesionales del transporte modelar, visualizar y simular redes de tránsito complejas. Estas herramientas
facilitan la toma de decisiones basadas en datos, optimizando rutas y mejorando la infraestructura. A través de este
curso, los participantes adquirirán conocimientos y habilidades prácticas para analizar y mejorar redes de tránsito,
contribuyendo a la creación de sistemas de transporte más eficientes y sostenibles.
Como ejemplo a continuación se muestra en la Figura (4), la red de Cartagena usando la librerı́a Osmnx en Python.
Figura 4: Red de Cartagena zona turı́stica
Esta red cuenta con 14411 nodos y 39110 aristas.
86
V Encuentro Matemático del Caribe
Análisis topológico de datos en sistemas complejos
Autor: Andy Rafael Dominguez Monterroza
Universidad Tecnológica de Bolı́var
E-mail: adominguez@utb.edu.co
Resumen: En el análisis topológico de datos (TDA) ha emergido como una robusta técnica en Ciencia de datos con
aplicaciones variadas en diversos campos. En TDA los datos son representados como un conjunto de puntos en un
espacio de alta dimensión. Cada punto en el espacio representa una observación individual, y las coordenadas del
punto representan las caracterı́sticas de la observación. Uno de los principales objetivos del TDA es extraer información
topológica mediante procesos de filtración homológicos del espacio representado por los datos observados.
En este breve cursillo se ofrece una introducción a la homologı́a persistente sobre datos empı́ricos aplicados sobre
sistemas complejos, en particular en contextos de finanzas y neurociencias.
87
Memorias |Minicursos
Introducción a la creación de documentos dinámicos
con Quarto
Author: Jorge Luis Villalba Acevedo
Universidad Tecnológica de Bolı́var, Cartagena, Colombia
E-mail: jvillalba@utb.edu.co
Resumen: Para investigadores, docentes, estudiantes y todos los miembros de la academia, es crucial comunicar por
escrito los resultados de investigaciones, presentaciones de clase, entregables y trabajos. Sin embargo, la creación de
documentos dinámicos sigue siendo una debilidad común en la comunidad académica, lo que dificulta la reproducibi-
lidad de estos documentos. Para abordar estos desafı́os, este minicurso ofrece herramientas para la creación de docu-
mentos académicos con Quarto, utilizando el lenguaje de programación R. El minicurso tiene como objetivo fortalecer
las habilidades necesarias para mejorar la creación de documentos dinámicos, incluso para aquellos con conocimientos
limitados de codificación. Cubre tres componentes esenciales: la creación de un entorno de trabajo, la elaboración de
documentos dinámicos usando Quarto y la gestión de dependencias de paquetes en R y Python. Además, proporciona
información sobre cómo compartir documentos en la web. Siguiendo el paso a paso, los asistentes podrán adoptar
prácticas que mejoren la creación de documentos dinámicos y su reproducibilidad.
Palabras & frases clave: RStudio, Markdown, Quarto, Pytho, reproducibilidad.
Referencias
[1] Villalba, J. (2024). Curso de R y LaTeX: R Markdown and R Sweave [Archivo de video]. Recuperado de https:
//www.youtube.com/channel/UCu2XC7GPSpnlszkGyMmQeGw?sub confirmation=1
88
 
 
 
 
 
 
Pósteres 
 
Memorias | Pósteres
Fractal Topológico
Autora: Eliana Oostra Guerrero
Universidad Sergio Arboleda
E-mail: eliana.oostra01@usa.edu.co
Resumen: El objetivo principal de este proyecto es estudiar bajo cuáles condiciones los continuos de Peano son un
espacio subyacente para algún fractal topológico. Para ello, en primer lugar se define fractal topológico mediante sis-
temas de funciones iteradas (IFS) y sistemas topológicos contractivos (TCS), entre otras definiciones y caracterı́sticas.
Además, se mostrarán algunos ejemplos para ilustrar estas ideas, para finalmente mediante la definición de continuo
de Peano, entender cuál es el problema existente entre estos espacios y los fractales topológicos.
Palabras & frases clave: Sistema de funciones iteradas (IFS), IFS-atractor, Sistema topológico contractivo, fractal
topológico, continuo, continuo de Peano, fractales.
Introducción
Ante la pregunta de ¿cómo están relacionados los fractales topológicos y los continuos de Peano? Masayoshi Hata
[2] demostró que para cada fractal topológico (X,F ) si X es conexo, entonces es localmente conexo, por lo que es un
continuo de Peano. Sin embargo, aún existe un problema abierto: ¿Todo continuo de Peano es un fractal topológico? En
el artı́culo de Magdalena Nowak [6] busca las condiciones para que un continuo de Peano P sea un fractal topológico,
se descubre la existencia de un arco libre, esto es un subconjunto abierto de P homeomorfo al intervalo, el cual implica
este resultado.
Referencias
[1] Edgar, Gerald A., and Gerald A. Edgar. Measure, topology, and fractal geometry. Vol. 2. New York: Springer,
2008.
[2] Hata, Masayoshi. “On the structure of self-similar sets.” Japan Journal of Applied Mathematics 2 (1985): 381-414.
[3] Ward, L. E. “A generalization of the Hahn-Mazurkiewicz theorem.” Proceedings of the American Mathematical
Society 58.1 (1976): 369-374.
[4] Carreño Montoya, Marı́a Esmeralda. “El conjunto de Cantor y algunas de sus propiedades.” Hermosillo, Sonora:
Universidad de Sonora (2003).
[5] Munkres, James R. Topologı́a. Cambridge, Massachusetts: Prentice Hall. (2002).
[6] Nowak, Magdalena. “Peano continua with self regenerating fractals.” Topology and its Applications 300 (2021).
90
V Encuentro Matemático del Caribe
El enigmático mundo de los números primos
Autora: Daniela Lezcano Cuello
Universidad de Córdoba
E-mail: dlezcanocuello66@correo.unicordoba.edu.co
Resumen: El poster se centra en tres focos. El primero aborda la conjetura de los primos gemelos, partiendo desde
algo tan simple como un numero primo. En segundo lugar, se destacan los resultados mas recientes y relevantes de
esta conjetura, incluyendo el trabajo de James Maynard y Terence Tao. Finalmente, se presenta una nueva sucesion que
depende de números primos y que no habı́a sido estudiada antes, explorando sus posibles patrones en el infinito.
Palabras & frases clave: Primos gemelos, matematicas, conjetura.
Introducción
Desde que somos niños, en la escuela nos enseñan que un número primo es aquel que solo se puede dividir entre
el uno y el mismo. A pesar de lo básica que puede parecer esta idea, es sorprendente lo poco que sabemos acerca de su
comportamiento en el infinito.
A lo largo de la historia, muchos grandes matemáticos como Euclides, Fermat, Euler, Gauss, Riemann y Ramanu-
jan han intentado buscar su patron o al menos tratar de entenderlos, sin éxito. Sin embargo, sus búsquedas no han sido
en vano, ya que han dejado varios problemas abiertos y en desarrollo relacionados con los números primos.
Uno de los problemas mas relevantes es la conjetura de los primos gemelos, que indica que existe un número
infinito de primos p tales que p + 2 también es primo. Aunque este problema sigue sin resolverse, a lo largo de la
historia se han presentado muchos avances en esta dirección. En particular, destacamos el resultado de Yitang Zhang y
su aporte a la creación del proyecto Polymath.
Además, podemos abordar estos tipos de problemas utilizando la simple aritmética y el estudio de sucesiones en
los números. De esta manera, podemos adentrarnos en la curiosidad de las personas y en la trivialidad de las ideas
matemáticas sin necesidad de salirnos de la rigurosidad de la teorı́a de números.
Referencias
[1] Terence Tao. (2015). Small and Large gaps in the primes. Latinos in the Mathematical Sciences Conference.
[2] Polymath Project. Bounded gaps between primes - Polymath Wiki.
[3] David M. Burton. (2011). Elementary number theory, McGraw-Hill, 39.
91
Memorias | Pósteres
Una aplicación de la transformada de Laplace a las ecuaciones
diferenciales con retardo
Autores: Alisson C. Romero1, Esteban Delgadillo2
Universidad Distrital Francisco José de Caldas1,2
E-mail: alcromerog@udistrital.edu.co1, edelgadilloa@udistrital.edu.co2
Resumen: En el presente trabajo estudiamos la ecuación l(ogı́stica con re)tardo
N(t − τ)
N′(t) = rN(t) 1 − .
K
Al linealizar esta ecuación alrededor del punto de equilibrio estable obtenemos la ecuación con retardo x′(t) = αx(t−τ)
para t > 0. Consideramos el caso con condición inicial constante en −τ 6 t 6 0. Empleamos el método de transformada
de Laplace para encontrar soluciones y realizamos una exploración numérica para corroborar e interpretar los resultados
en términos biológicos. Este trabajo hace parte del Semillero de Análisis Matemático de la Universidad Distrital –
SAMAT.
Palabras & frases clave: Ecuación logı́stica, ecuaciones diferenciales con retardo, transformada de Laplace.
Referencias
[1] Cooke, Kenneth L. “Differential-difference equations.” International symposium on nonlinear differential equa-
tions and nonlinear mechanics. Academic Press, 1963.
[2] Amster, Pablo. “Ecuaciones diferenciales con retardo.” Cursos y seminarios de matemática Serie B (2017).
[3] Peréz, Sabino. “Introducción a las ecuaciones diferenciales con retardo.” Miscelanea Matemática, 67, 57-71 pp
(2018).
92
V Encuentro Matemático del Caribe
Schauder bases and James space
Author: Yeny Paola Moreno
Universidad Industrial de Santander
E-mail: yepaolita30@gmail.com
Abstract: Schauder’s basis concept is a topological version of the basis concept for infinite-dimensional spaces. As
their name indicates, these bases allow elements of a given space to be expressed as ”linear combinations” of the ele-
ments of the base. This presentation focuses on exploring the concept of Schauder bases, and showing some important
theorems. Finally, we will show a construction of the James space, and we will see that it has a Schauder basis.
Introduction
In the study of vector spaces the concept of base is very important; In the case of Banach spaces we have a more
complete structure. It is known, for example, that in Banach spaces every Hamel base is uncountable. This in some
way tells∑us that algebraic bases are not good for studying certain properties of Banach spaces (for example the appro-ximation property). To explain what we mean, suppose that {xi}i∈A is a Hamel basis on a real Banach space X and x ∈;
then x = i∈A aixi where {ai}i∈A ⊂ R and ai = 0 except for∑a finite set of indices. Is there a sequence {z }∞n n=1 with
z a(n)n = i xi
i∈A
where a(n)i ∈ R is zero except for a finite set of i ∈ A and lı́mn→∞ zn = x? In general the answer is no. The above
discussion motivates the following definition:
Definition 1: Let X be a Banach space over the field K. A sequence {xn}∞n 1 in X is called a Schauder Basis if for all=
x ∈ X there exists a únique sequence of scalars {an}∞n∥∥1 ⊆ K such that=∥∥∥∥∥ ∑
∥
n ∥∥
lı́m x − a x ∥
→∞ i in ∥∥ = 0.
i 1 ∥=
We will see that the spaces `p with 1 ≤ p < ∞ have a Schauder basis. Finally, we will present a construction of James’
space. ( )
Definition 2: The James J space is the space of the real sequences x = a1, a2,... such that lı́mn→∞ an = 0 and such that
‖ ‖ 1 ∑n ( )2 ( ) 2 
1
2
x = sup api 1 − api + a 2 + pn 1 − a+ p 1  < ∞
i=1
where the supremum is taken over all possible values of n and over all possibilities of finite sequences p1 < p2 < . . . <
pn+1 of natural numbers.
References
[1] H. Fetter Nathansky and B. Gamboa: Introducción al Análisis Funcional y a la Geometrı́a de Espacios de Banach.
(2008)
93
Memorias | Pósteres
Clustering para visualización de regiones
de convergencia del método de homotopı́a
Autores: Rafael Andrés Ramos Pájaro1, Jeovanny Muentes Acevedo2
Universidad Tecnológica de Bolı́var1,2
E-mail: pajaror@utb.edu.co1, jmuentes@utb.edu.co2
Resumen: En este trabajo se propone el clustering como herramienta para la visualización de las regiones de conver-
gencia de un método numérico para la solución de sistemas de ecuaciones algebraicas no lineales como lo es el método
de homotopı́a.
Introducción
Una homotopı́a entre dos funciones g : A→ Rn y f : A→ Rn, es una función H : A × [0, 1]→ Rn, tal queH(x, 0) = g(x) para todo x ∈ AH(x, 1) = f (x) para todo x ∈ A.
Utilizando homotopı́as podemos resolver sistemas de ecuaciones lineales, como veremos a continuación: nuestro
propósito es resolver el problema
f (x) = 0. (19)
Para esto escogemos una función g tal que la ecuación g(x) = 0 tiene una solución conocida x0, es decir, g(x0) = 0.
Sea H(x, t) una homotopı́a de g a f y considerar el problema
H(x, t) = 0. (20)
Una curva solución de (20) es una función x : [0, 1]→ A tal que
H(x(t), t) = 0 para todo t ∈ [0, 1] y x(0) = x0.
Note que en este caso tenemos que
0 = H(x(1), 1) = f (x(1)),
es decir, x(1) es solución del problema (19). Luego, x(t) “conecta” la solución conocida x0 con la solución x(1) de
nuestro problema inicial (19).
Clustering es una técnica de aprendizaje automático que agrupa puntos de datos similares en grupos o clústeres,
basándose en algún criterio de similitud. En este trabajo utilizamos una herramienta de clustering con fines gráficos.
Al repetir el proceso de cálculo de soluciones utilizando el método de homotopı́a para diferentes condiciones iniciales,
observamos que los conjuntos de soluciones encontrados por el método forman clústeres. Luego, si agrupamos estos
clústeres formados según la condición inicial de la que se originaron y los mapeamos, obtenemos una ilustración gráfica
de cómo se ven las regiones de convergencia del método.
Nuestro trabajo consiste en lo siguiente:
• Implementar una herramienta de clustering que permita agrupar los conjuntos de soluciones obtenidas por el
método de homotopı́a a partir de diferentes condiciones iniciales.
• Repetir el proceso de cálculo de soluciones utilizando el método de homotopı́a para diversas condiciones ini-
ciales y observar la formación de clústeres entre los conjuntos de soluciones obtenidas.
94
V Encuentro Matemático del Caribe
• Evaluar la efectividad del clustering como herramienta de visualización en la comprensión y análisis de las
regiones de convergencia del método de homotopı́a, destacando sus ventajas y posibles limitaciones.
Para la visualización de las regiones el tipo de clustering utilizado en este trabajo es K-means. K-means es un
algoritmo de clustering muy utilizado y popular. Divide los datos en K clústeres, donde K es un número fijo elegido
por el usuario. Cada clúster tiene un centroide que lo representa, y los puntos de datos se asignan al clúster más
cercano. El uso de este algoritmo en este trabajo se debe a su simplicidad, eficiencia computacional y la distribución
de los datos, lo cual hace que un algoritmo de clustering basado en centroides como K-means funcione muy bien.
Existen métodos que nos permiten determinar el número óptimo de clústeres para nuestro conjunto de datos, como el
método del perfil de silueta (silhouette method). Este número óptimo de clústeres coincide con el número de soluciones
presentes en la región que estamos analizando para nuestro problema.
Una vez que las diferentes soluciones x∗ presentes en la región analizada de nuestro problema han sido segmen-
tadas y asignadas a un clúster, procederemos a asignar las diferentes condiciones iniciales x0 al mismo clúster al que
se ha asignado el x∗ emparejado con esa condición inicial.
Si pintamos las diferentes condiciones iniciales según los diferentes clústeres a los que terminan siendo asignadas
y los valores de no convergencia, lo que obtenemos es un mapeo de cómo se ve la región de convergencia del método.
Figure 5: Región de convergencia sistema 2x2
Ejemplo 1. Sea F(x, y) = (4x sin y + 0.6, 4x2 − 4x cos y + 0.3). El sistema F(x, y) = (0, 0) tiene infinitas soluciones. En
la Figura (5) mostramos el clustering de la región de convergencia del método de homotopı́a para el sistema dado.
Para el clustering de este ejemplo se tomaron condiciones iniciales comprendidas en la región x ∈ [−2, 2] y
y ∈ [−2π, 2π], en la cual se identifican un total de 11 soluciones, correspondientes a los puntos negros que se alcanzan
a distinguir en la imágen.
Ejemplo 2. Sea F(x, y, z) = (x(y − 2), y(x − 1), z). El clustering de la región de convergencia del método de homotopı́a
para resolver el sistema F(x, y, z) = (0, 0, 0) es mostrado en la Figura (6).
Este sistema tiene dos soluciones (0, 0, 0) y (1, 2, 0). El clustering fue realizado para condiciones iniciales entre la
región x ∈ [−1, 4] , y ∈ [−1, 4] y z ∈ [−2, 2]. Las zonas en blanco representan regiones donde el método no realiza una
buena convergencia, es posible identificar dos de esta grandes regiones delimitando las regiones de convergencia del
método.
Conclusión
En este trabajo, hemos demostrado que el uso de técnicas de clustering, especı́ficamente el algoritmo K-means, puede
ser una herramienta eficaz para la visualización de las regiones de convergencia del método de homotopı́a. A través
de ejemplos con sistemas de ecuaciones algebraicas no lineales, se ha observado cómo los diferentes conjuntos de
soluciones pueden agruparse en clústeres, facilitando ası́ la identificación y el análisis de las regiones de convergencia.
Esta metodologı́a no solo permite una mejor comprensión visual de dichas regiones, sino que también resalta las
95
Memorias | Pósteres
Figure 6: Regiones de convergencia de un sistema 3x3
ventajas del clustering como herramienta de análisis en la resolución de problemas numéricos complejos. Las futuras
investigaciones podrı́an explorar la aplicación de otros algoritmos de clustering y técnicas avanzadas para mejorar aún
más la visualización y comprensión de las regiones de convergencia en diversos contextos matemáticos y de ingenierı́a.
Referencias
[1] Chiang, H-D., Morris W. Hirsch, and Felix Fulih Wu. “Stability regions of nonlinear autonomous dynamical sys-
tems.” IEEE Transactions on Automatic Control 33.1 (1988): 16-27.
[2] Syai’in, Mat, and Kuo Lung Lian. “Microgrid power flow using homotopic and Runge-Kutta Method.”2015 IEEE
2nd International Future Energy Electronics Conference (IFEEC). IEEE, 2015.
[3] Chapra, Steven C. Numerical methods for engineers. Mcgraw-hill, 2010.
[4] Lee, Jaewook, and Hsiao-Dong Chiang. “Convergent regions of the Newton homotopy method for nonlinear sys-
tems: theory and computational applications.” IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory
and Applications 48.1 (2001): 51-66.
[5] Ortega, J. M., and Rheinboldt, W. C. Iterative solution of nonlinear equations in several variables. SIAM, 2000.
[6] Spivak, Michael. Calculus on manifolds: a modern approach to classical theorems of advanced calculus. CRC
press, 2018.
96
V Encuentro Matemático del Caribe
Mejora de la eficiencia en urgencias: simulación de Montecarlo
para la óptima asignación de personal
Autores: Santiago González Cruz1, Adriana Romero Alfonso2, Jorge Sanabria3
Universidad Central1, Fundación Universitaria Konrad Lorenz2,
E-mail: sgonzalezc9@ucentral.edu.co1, adrianac.romeroa@konradlorenz.edu.co2,
jorgea.sanabriaf@konradlorenz.edu.co3
Resumen: Este proyecto se enfoca en la implementación de la simulación de Montecarlo con el propósito de analizar el
proceso de atención a pacientes en el entorno de urgencias para adultos. La aplicación de esta técnica posibilita modelar
de manera precisa y realista las diversas variables involucradas en el proceso, tales como la llegada de pacientes, los
tiempos de espera y los posibles escenarios de congestión.
El objetivo primordial es identificar la cantidad óptima de personal requerido en la ventanilla de atención durante
distintos momentos del dı́a. La variabilidad en la afluencia de pacientes y la complejidad de las situaciones de urgencia
hacen que la determinación de los recursos humanos sea crucial para asegurar un servicio eficiente.
El proceso de simulación se llevará a cabo mediante la generación de escenarios hipotéticos basados en datos
históricos y parámetros especı́ficos del entorno de urgencias para adultos. Se evaluarán diversas configuraciones de
personal en la ventanilla para determinar cuál logra un equilibrio adecuado entre la capacidad de respuesta y la utiliza-
ción eficiente de los recursos.
Los resultados obtenidos de la simulación de Montecarlo posibilitarán establecer recomendaciones concretas para
la asignación óptima de personal en la ventanilla durante cada franja horaria.
Palabras & frases clave: Atención de urgencias, Simulación de Montecarlo, Optimización, Python.
Referencias
[1] Smith, J., and A. Johnson. ‘Optimization Models in Healthcare Resource Allocation’. Journal of Medical Opera-
tions Research, vol. 12, no. 3, 2018, pp. 157–175.
[2] Hoot, R. ‘Enhancing Emergency Room Efficiency: A Simulation Approach’. Journal of Health Systems Research,
vol. 25, no. 2, 2019, pp. 89–105.
[3] Jones, K., and M. Brown. ‘Best Practices in Emergency Department Management’. Healthcare Administration
Review, vol. 40, no. 4, 2021, pp. 321–335.
[4] Garcı́a, S. ‘Improving Patient Flow in Emergency Departments: A System Dynamics Approach’. Journal of Health-
care Engineering, vol. 8, no. 2, 2017, pp. 143–158.
[5] Patel, R., and L. White. ‘Resource Allocation Strategies for Emergency Room Staffing’. International Journal of
Healthcare Management, vol. 15, no. 1, 2022, pp. 45–62..
[6] Robinson, P., and D. Smith. ‘Simulation Methods for Healthcare Operations Management’. Journal of Operations
Research for Healthcare, vol. 5, no. 1, 2016, pp. 15–28.
[7] Taylor, M., and C. Miller. ‘Optimizing Staffing Levels in Emergency Departments: A Case Study’. Healthcare
Operations Management, vol. 20, no. 4, 2018, pp. 412–427..
97
Memorias | Pósteres
Modelo para asignación de compensación a personal jefe por
medio de curvas de nivel
Autores: Adriana Romero Alfonso1, Santiago González Cruz2, Jorge Sanabria3
Fundación Universitaria Konrad Lorenz1, Universidad Central2
E-mail: adrianac.romeroa@konradlorenz.edu.co1, sgonzalezc9@ucentral.edu.co2,
jorgea.sanabriaf@konradlorenz.edu.co3
Resumen: El principal objetivo de este trabajo es desarrollar un modelo que permita asignar bonos de compensación
adicionales a jefes de área, según su desempeño y percepción del clima laboral del equipo de trabajo de la persona a
evaluar. Para esto, uno de los requerimientos es diseñar una agrupación óptima de modo que se asigna un mismo valor
a todas las personas que se encuentren en el mismo grupo. En este trabajo se acude al modelamiento de una función de
dos variables para la creación de curvas de nivel dada la naturaleza, pesos y cantidad de dichas variables. Ası́ mismo,
las curvas de nivel, comprenden diversos problemas como la construcción de mapas, estudios climáticos, desarrollo
de modelos predictivos, entre otros. Para el desarrollo del modelo se elige una escala a la cual se normalizan los datos
de la variable desempeño, la cual es cuantitativa, ası́ mismo en esta escala se asignan valores discretos a la variable
percepción del clima laboral, la cual es cualitativa. Posteriormente, se ajusta la función de dos variables según los pesos
de estas y se crean las curvas de nivel. Finalmente, la simulación del modelo se realiza en una primera fase generando
datos de prueba los cuales son normalizados y finalmente agrupados en su respectiva área según lo defina las curvas de
nivel con su valor monetario asignado.
Palabras & frases clave: Curvas de nivel, sistema de compensación, modelo matemático
98