COMITÉ ORGANIZADOR
Jeovanny de Jesus Muentes Acevedo - Universidad Tecnológica de Bolı́var
Carlos Rafael Payares Guevara - Universidad Tecnológica de Bolı́var
Jorge Luis Muñiz Olite - Universidad Tecnológica de Bolı́var
Andrea Estefanı́a Cabarcas Sánchez - Universidad Tecnológica de Bolı́var
COMITÉ CIENTÍFICO
Andy Rafael Domı́nguez Monterroza - Universidad Tecnológica de Bolı́var
Carlos Wilson Rodriguez Cardenas - Universidad Industrial de Santander
Catalina Marı́a Rúa Álvarez - Universidad de Nariño
César Adolfo Hernández Melo - Universidade Estadual de Maringá
Elkin Oveimar Quintero Vanegas - Universidade Federal do Amazonas
Fabián Antonio Arias Amaya - Corporación Politécnico de la Costa
German Alonso Benitez Monsalve - Universidade Federal do Amazonas
Hector Jose Cabarcas Urriola - Universidad de Cartagena
Michael Alexander Rincon Villamizar - Universidad Industrial de Santander
Mikhail Malakhaltsev - Universidad de los Andes
Raibel de Jesus Arias Cantillo - Universidade Federal do Maranhão
Sergio Augusto Romaña Ibarra - Universidade Federal do Rio de Janeiro
RECTOR
Alberto Roa Varelo
VICERRECTOR ACADÉMICO
Daniel Toro González
VICERRECTORA ADMINISTRATIVA
Marı́a del Rosario Gutiérrez de Piñeres Perdomo
SECRETARIA GENERAL
Ana Marı́a Horrillo Caraballo
DECANA DE LA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS
Lenny Alexandra Romero Perez
DIRECCIÓN DE INVESTIGACIÓN,
INNOVACIÓN Y EMPRENDIMIENTO
Jairo Useche Vivero
Diagramación
Ediciones UTB
ISSN: 2744-8835
Cartagena de Indias, D. T. y C., - Colombia
www.utb.edu.co
2023
Prefacio
El Encuentro Matemático del Caribe (Página Web IV Encuentro Matemático del Caribe) tiene como fina-
lidad reflexionar sobre el quehacer matemático y la enseñanza de las Matemáticas en el Caribe colombiano.
Ası́ mismo, extender las redes académicas con investigadores locales, nacionales e internacionales en las Ci-
encias Matemáticas. A través del encuentro se busca motivar a la comunidad de nuestra región a participar
activamente en eventos matemáticos para conocer de primera mano la evolución y el amplio alcance que
posee esta ciencia a nivel mundial por cuenta de los expositores.
La cuarta versión del Encuentro Matemático del Caribe se realizó de forma hı́brida desde el 29 de no-
viembre al 2 de diciembre de 2022 en la Universidad Tecnológica de Bolı́var, Cartagena – Colombia. En
el mismo, se presentaron 47 conferencias, 4 pósters y 3 minicursos, abarcando las diferentes áreas de las
Matemáticas. Adicionalmente, se realizó una mesa redonda, titulada “Matemáticas, ciencia de datos y tec-
nologı́a”, en la que participaron los siguientes expertos nacionales e internacionales:
• Marlon Michael López Flores - Instituto de Matemática Pura e Aplicada - Brasil.
• Angélica Rosario Santos - Universidad de Puerto Rico.
• David Sierra Porta - Universidad Tecnológica de Bolı́var.
• Andy Dominguez Monterrosa - Universidad Tecnológica de Bolı́var.
En esta mesa redonda se discutió sobre la importancia que tienen las matemáticas tanto en la tecnologı́a,
como en la ciencia de datos y la inteligencia artificial. Estas últimas han tenido un gran auge en los últimos
años y se han vuelto herramientas indispensables en diversos campos como la industria, investigación,
educación, entre otros.
En estas memorias presentaremos los resúmenes de las conferencias, pósters y minicursos que se im-
partieron durante el IV Encuentro Matemático del Caribe. Las conferencias y pósters están organizados
por áreas: Matemática aplicada, Sistemas Dinámicos, Topologı́a, Álgebra, Geometrı́a, Análisis, Ecuaciones
Diferenciales y finalmente se encuentran los minicursos impartidos.
Los videos de las actividades los pueden ver en los siguentes enlaces:
• Dı́a 1: Ver video
• Dı́a 2: Ver video
• Dı́a 3: Ver video
• Dı́a 4: Ver video
El comité organizador reitera su agradecimiento a los conferencistas del evento, al comité cientı́fico, y al
público asistente.
AGRADECIMIENTOS
Facultad de Ciencias Básicas - Universidad Tecnológica de Bolı́var
Equipo de Audiovisuales - Universidad Tecnológica de Bolı́var
Equipo de Comunicaciones - Universidad Tecnológica de Bolı́var
Departamento de compras - Universidad Tecnológica de Bolı́var
Autor: Jeovanny de Jesus Muentes Acevedo
Índice de conferencias y minicursos
Matemática aplicada
La importancia de la modelación matemática en el desarrollo tecnológico 12
−Marlon Michael López Flores
Impacto Covid 19 sobre el mercado financiero de Latinoamérica: 13
una aproximación desde entropı́a de redes de permutaciones ordinales
−Andy Domı́nguez
Discretización por diferencias finitas en mallas adaptativas 14
generadas con tabla Hash
− Catalina M. Rúa, Priscila C. Calegari, Álvaro J. P. Franco
Modelo matemático para el control de barrenadores del género 16
Diatraea en la caña de azúcar mediante la avispa Cotesia flavipes
−Angie Sandalie Enriquez Jaramillo y Carlos Andres Trujillo Salazar
Mathematical model of HIV/AIDS considering sexual preferences under 18
antiretroviral therapy, a case study in San Juan de Pasto, Colombia
− Cristian Camilo Espitia Morillo
Caracterización del riesgo cardiovascular en una institución de salud de 20
primer nivel en Armenia
− Sol de Amor Vasquez Quintero, Gladys Elena Salcedo Echeverry,
Hernan Darı́o Toro Zapata
Modelo matemático que describe las interacciones entre 22
las células del sistema inmune y las células tumorales
−Mayra Alejandra Quiroga Quintero, Paulo César Carmona Tabares
Modelo para el análisis de una vacunación con protección 24
y sin protección contra diferentes variantes de SARS-CoV-2
−Oswaldo A. Vargas V., Cesar A. Acosta M., Oscar A. Manrique A.
Diagramas causales para el estudio del rendimiento académico 27
−Maria Teresa Sanz, Emilia Lópes Iñesta
Sobre la teorı́a musical y sus aplicaciones matemáticas 29
−Daniel Ricardo Vásquez Calderón, Laura Catalina Alzate Ortı́z,
Nidia Yadira Caicedo Bravo, Leonardo Duván Restrepo Alape
Natural factor based solvers 30
−Omar Andrés Cuervo, Juan Galvis, Markus Sarkis
Dinámica de un modelo de depredación del tipo Leslie 32
− Paulo Cesar Tintinago Ruiz, Leonardo Duvan Restrepo Alape
Gradient boosting classifier: un modelo tentativo para entender el 34
consumo de sustancias psicoactivas en un ámbito universitario
− Johanna Lizeth Bustos Gonzalez
Análisis de la dinámica de un modelo tritrófico tipo Leslie 35
− Fidadelfo Mondragón Sánchez, Miguel Angel de la Rosa Castillo,
Gamaliel Blé González
Comportamiento de la correlación integral 37
en series de tiempo estacionarias
− John E. Gómez
Soluciones exactas en modelos farmacocinéticos 38
fraccionarios de tipo mammilia
− Vı́ctor Fabián Morales Delgado
Sistemas Dinámicos
Finding finite order periodic orbits for a 41
homeomorphism on two-dimensional torus
−Germán Fabian Escobar Fiesco
Sobre endomorfismos intrı́nsecamente ergódicos 43
− Carlos Fabian Álvarez Escorcia
Dimensión métrica media: propiedades, conjeturas y aplicaciones 45
− Jeovanny de Jesus Muentes Acevedo
Existencia de medidas invariantes en espacios métricos compactos 47
− Brian Esteban Rojas Becerra, Liliana Katherine Esquivel Mora
Simetrı́as de campos vectoriales 48
−Gaspar León Gil
Topologı́a
Condiciones de tipo compacidad para que un 50
semigrupo topológico sea un grupo
− Julio César Hernández Arzusa
Análisis
Maximal regularity for degenerate multiterm fractional 52
integro-differential equations and applications
− Rafael Aparicio and Valentin Keyantuo
Integral inequalities of Simpson-Mercer type 53
using weighted integrals
− Juan Eduardo Nápoles Valdes
El espacio P nw∗K( X∗, Y ) 55
−Michael Alexánder Rincón Villamizar
Álgebra
Teoremas de factorización de Kronecker para el 57
álgebra de Malcev excepcional
− Victor Hugo López Solı́s
A new construction of few-weight codes via our GU codes 59
− Eddie Arrieta Arrieta
New criteria for absolutely irreducible polynomials 61
defined over finite fields
−Moises Delgado
Álgebras de grupo y teorı́a de códigos 62
− John H. Castillo, Alexander Holguı́n Villa
Anillos de grupo dúo 64
− Brayan Stiven Flórez Burbano, Alexander Holguı́n, John H. Castillo
Buenas graduaciones en anillos de matrices 66
−Héctor Pinedo Tapia
Partial difference sets from uniform standard 67
cyclotomy on a product of two equal finite fields
− Juan Manuel Montoya, L. Martı́nez
Teorema de Wedderburn-Artin & anillos de grupo 68
−Alexander Holguı́n Villa, John H. Castillo
Identities for a parametric Weyl algebra over a ring 69
− Carlos Arturo Rodriguez Palma
La conjetura de la suma exponencial local en dos variables 70
−Adriana Alexandra Albarracı́n Mantilla, Omar Felipe Osorio Cortés
Las matemáticas detrás de algunos dibujos de Escher 72
−Marı́a Isabel Hernández
Nil álgebras conmutativas de potencias 73
asociativas y sus módulos
− Elkin Oveimar Quintero Vanegas
Geometrı́a
Estructuras de contacto y sus singularidades 76
−Mikhail Malakhaltsev, Fabián Antonio Arias Amaya
Estudio de la estabilidad en ramas de bifurcación 77
de hipersuperficies con CMC y frontera libre
− Carlos Wilson Rodrı́guez Cárdenas
Ecuaciones de movimiento para el 80
problema de los dos cuerpos
− Ruben D. Ortiz Ortiz, Ana M. Marin Ramirez, Pedro P. Ortega Palencia†
Relación entre el espacio proyectivo 81
y el espacio proyectivo dual
−Astrid Liliana Contreras Mendoza, Claudia Inés Granados Pinzón
Sobre aproximaciones de irracionales por números racionales 82
− Raibel de Jesus Arias Cantillo
Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones diferenciales difusas de orden fraccionario 84
−Gilberto Arenas Dı́az, Duvan A. Contreras Páez, Elder J. Villamizar Roa
Análisis teórico de la ecuación KdV 88
con coeficientes dependientes del tiempo
− José Camilo Rueda Niño
Existence and uniqueness of solution for a family of 90
nonlinear degenerate mixed parabolic equations
− Ramiro Acevedo, Christian Gómez, Juan David Sambonı́
Un problema de continuación única para las soluciones 92
de una ecuación de Shrödinger no lineal
−Héctor José Cabarcas Urriola
Multigrid for the nonlinear power flow equations 94
− Enrique Pereira Batista
Funciones elı́pticas de Jacobi y de Weierstrass en EDP 96
− Luis Andrés Rosso Cerón
Efecto del operador fraccionario de Caputo-Fabrizio 98
para la modelación de flujo en medios porosos
− Luis X. Vivas-Cruz
Aplicaciones modernas del cálculo de variaciones 100
y del control óptimo
− Tovias Enrique Castro Polo
Minicurso
Una breve introducción a los modelos de ondas de choque 103
−Marlon Michael López Flores, Edson Landim de Almeida
Algoritmo de descenso de gradiente: una inmersión profunda 104
−David Sierra Porta
A bayesian statistical analysis of the demographics of Puerto Rico: 105
what we can expect in the next years?
−Angélica M. Rosario Santos
Matemática aplicada
Memorias | Conferencias
La importancia de la modelación matemática
en el desarrollo tecnológico
Autor: Marlon Michael López Flores
Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA
E-mail: mmlf@impa.br
Resumen: El propósito de la modelación matemática es aumentar nuestra comprensión del mundo y ayu-
darnos a dominar los desafı́os de nuestra cultura tecnológica moderna. A menudo nos interesa diseñar
dispositivos, procesos y sistemas. Una parte crucial del proceso de modelación es la evaluación de si un
modelo matemático determinado describe o no con precisión un sistema. Un modelo matemático general-
mente describe un sistema mediante un conjunto de variables y un conjunto de ecuaciones que establecen
relaciones entre las variables. La validez de un modelo radica no solo en su ajuste a las observaciones
empı́ricas, sino también en su capacidad de extrapolar a situaciones o datos más allá de los descritos origi-
nalmente en el modelo. El análisis teórico y numérico de estas formulaciones matemáticas a menudo pro-
porciona información, respuestas y orientación útiles para la situación original que queremos representar.
En esta presentación daremos algunos ejemplos de modelos matemáticos aplicados en ciencia y tecnologı́a.
Además, discutiremos el proceso general de modelación matemática. El objetivo principal aquı́ es alentar
a las generaciones más jóvenes de cientı́ficos e ingenieros a explorar diferentes metodologı́as y áreas de
modelación matemática.
12
IV Encuentro Matemático del Caribe
Impacto COVID 19 sobre el mercado financiero
de Latinoamerica: una aproximación desde
entropı́a de redes de permutaciones ordinales
Autor: Andy Domı́nguez
Universidad Tecnológica de Bolı́var
E-mail: adominguez@utb.edu.co
Resumen: La pandemia COVID 19 ha logrado impactar notablemente muchos aspectos de la sociedad,
como también sensiblemente a diversos sectores económicos. Los mercados financieros no han sido ajeno
a ello. La volatilidad y dinámica del precio de los activos ha sido recientemente interés de estudio durante
el periodo COVID 19. En este trabajo exploramos una aplicación para evaluar el impacto de la pandemia
sobre el Mercado Integrado Lationamericano (MILA) haciendo uso de una aproximación de redes comple-
jas. Especificamente caracterizamos como un grafo los patrones de permutaciones de las series financieras
de mayor capitalización que inciden a explicar la dinámica del MILA. Los primeros resultados indican in-
teresantes rasgos diferencias de la red de patrones de permutación antes y durante la crisis de la pandemia.
Estos hallazgos podrı́an sugerir nuevas alternativas de valorar el riesgo sistémico financiero, ası́ como pro-
veer nuevos elementos en el diseño de portafolios de inversión en relación al MILA.
Palabras clave: Mercados financieros, MILA, Redes Complejas, Entropı́a de redes
Referencias
[1] C.W. Kulp, J.M. Chobot, H.R. Freitas, G.D. Sprechini. Using ordinal partition transition networks to
analyze ECG data. Chaos, 26 (2016), p. 073114
13
Memorias | Conferencias
Discretización por diferencias finitas en mallas
adaptativas generadas con tabla Hash
Autores: Catalina M. Rúa, Priscila C. Calegari, Álvaro J. P. Franco
Universidad de Nariño, Universidade Federal de Santa Catarina, Araranguá y
Florianópolis
E-mail: catalina.rua@udenar.edu.co, priscila.calegari@ufsc.br y alvaro.junio@ufsc.br
Resumen: En esta charla se presentará una técnica eficiente para la creación de mallas adaptativas cartesia-
nas con refinamientos por bloques usando tablas Hash y se introducirá una interpolación entre vecindad
de células de diferentes refinamientos para generar aproximaciones de EDP con el método de diferencias
finitas manteniendo la estabilidad numérica. Adicionalmente se presentarán resultados numéricos con la
aproximación de la EDP elı́ptica de Poisson bidimensional, verificación de orden de convergencia y compa-
raciones de eficiencia computacional en estas mallas.
Palabras clave: Adaptive mesh refinement, Finite Difference Method, Hash table, Partial Differential equa-
tions
Introducción
La necesidad de solucionar numéricamente modelos matemáticos en Ecuaciones Diferenciales Parciales
ha llevado a la aplicación de métodos numéricos como diferencias, volúmenes o elementos finitos sobre
particiones o mallados del dominio en células. En regiones de interés bien sea por propiedades especı́ficas
del problema en análisis, por discontinuidades o variación de errores numéricos, computacionalmente es
eficiente la generación de refinamientos de forma adaptativa. Las tablas Hash permiten con la aplicación de
una función adecuada, la dispersión de elementos con pocas colisiones y con ello su búsqueda con orden
constante lo cual facilita una estructura de datos para creación de mallas con una relación de vecindad
directa que permite el uso de métodos de diferencias finitas que con una adecuada relación de interpolación
mantienen su esquema de discretización o Stencil.
Es necesario resaltar que algoritmos eficientes para la comunicación de células y la generación de mallas
de forma dinámica para que acompañen el flujo de las aplicaciones, se deben investigar, comparar e imple-
mentar. Entre ellos están el uso de grafos, árboles y tablas de dispersión, ver [1, 2, 3] y [4]. Estas estructuras
de datos combinadas con métodos como el de mı́nimos cuadrados móviles u otros que permitan la comuni-
cación de células de diferentes niveles sin el uso de células fantasmas, posibilitan la realización de una buena
herramienta computacional con la que se podrán simular aplicaciones como por ejemplo las relacionadas a
dinámica de fluidos, ver [5] y [6]. Una exhaustiva verificación teórica y computacional debe ser realizada por
medio de experimentación numérica con técnicas computacionales para el análisis de software y pruebas
numéricas como lo son el orden de convergencia, la estabilidad y consistencia de los métodos empleados,
lo cual será presentado en esta charla con la discretización de la EDP elı́ptica de Poisson bidimensional.
Este trabajo surge como resultado del Proyecto de Investigación Simulación computacional para modelos
matemáticos en mallas adaptativas, financiado por la Vicerrectorı́a de Investigaciones e Interación Social de la
Universidad de Nariño.
Referencias
[1] Calegari, P.; Franco, A., (2021). Geração de malhas com refinamento adaptativo usando tabelas de dispersão.
Proceeding Series of the Brazilian Society of Computational and Applied Mathematics, v. 8, n. 1.
14
IV Encuentro Matemático del Caribe
[2] Collom, G.; Redman, C.; Robey, R., (2018). Fast Mesh-to-Mesh Remaps Using Hash Algorithms. SIAM Jour-
nal on Scientific Computing. 40, 450-476.
[3] Cormen, T.; Leiserson, C.; Rivest, R.; Stein, C., (2009). Introduction to Algoritms. 3a ed. The MIT Press,
Cambridge, Massachuusetts.
[4] Knuth, D. E., (1997). The art of computer programming, 3a. ed. Pearson Education.
[5] Rua, C., (2013). Simulação computacional adaptativa de escoamentos bifásicos viscoelásticos, Universidad de
San Paulo, Brasil, tesis doctorado.
[6] Sousa, F. S.; Lages, C. F.; Ansoni, J. L.; Castelo, A.; Simao, A., (2019). A finite difference method with meshless
interpolation for incompressible flows in non-graded tree-based grids. Journal of Computational physics 396,
848-866.
15
Memorias | Conferencias
Modelo matemático para el control de barrenadores del
género Diatraea en la caña de azúcar mediante la avispa
Cotesia flavipes
Autores: Angie Sandalie Enriquez Jaramillo y Carlos Andres Trujillo Salazar
Universidad del Quindı́o
E-mail: asenriquez@uniquindio.edu.co
Resumen: Los barrenadores del género Diatraea son considerados como los insectos plaga que mas afectan
a la caña de azúcar, agroindustria muy importante en Colombia después del café, debido al alto impacto
que tienen en la producción generando pérdidas tanto en tonelaje de caña por hectárea, como en la calidad
de la misma; Cotesia flavipes es una avispa que controla a esta plaga gracias a su tamaño, rapidez y eficacia.
En esta investigación, se plantea un modelo matemático basado en ecuaciones diferenciales que describe la
interacción entre la avispa Cotesia flavipes y los barrenadores del género Diatraea, se analiza su estabilidad
para determinar el efecto que tiene esta avispa cuando se la utiliza como controlador biológico de los barre-
nadores en la caña de azúcar y además se realizan las simulaciones numéricas. El objetivo de esta charla es
presentar los avances y algunos resultados sobre esa investigación.
Palabras clave: modelación matemática, avispa, Cotesia flavipes, barrenador, ecuaciones diferenciales
Introducción
El cultivo y producción de la caña de azúcar, es una agroindustria muy importante en Colombia después
del café, puesto que de ella se derivan diferentes productos, como el azúcar (Saccharum officinarum) y los
biocombustibles: alcohol carburante, etanol, biodiesel, cogeneración de energı́a entre otros, además genera
ingresos y mas de 2700 empleos por ejemplo en [1] afirma que en 2020 se produjeron 24,3 millones de
toneladas de caña; 2,3 millones de toneladas de azúcar; su zona de cultivo e industrialización en Colombia
se ubican en los departamentos de Valle del Cauca, Cauca, Risaralda, Caldas y Quindı́o [5].
Infortunadamente, esta agroindustrias es afectada por enemigos naturales llamados plagas; en la caña,
las plagas se catalogan debido al daño que producen, por ejemplo se encuentran los barrenadores del tallo y
la semilla especialmente del género Diatraea; estos barrenadores perforan los nudos de los tallos de la caña
y una vez adentro, depositan sus huevos, de los cuales emergen las larvas, que a su vez se alimentan de
la planta impidiendo el desarrollo natural de la caña, disminuyendo la cantidad y pureza del jugo que se
extrae de esta y reduciendo el contenido de la Sacarosa [6, 1, 4].
A lo largo de los años, ha resultado pertinente realizar investigaciones que ayuden a mitigar estas pla-
gas, estudiando su comportamiento, aspectos biológicos entre otros; en ellas se han encontrado diferentes
controles tanto biológicos como culturales, fı́sicos o quı́micos. En cuanto a los biológicos, se encuentra Cote-
sia flavipes, que es una avispa de 4 mm de tamaño de tipo parasitoide que logra controlar a esta plaga y ha
sido efectiva gracias a su tamaño y rapidez con que logra matarlos; además es atraı́da por el olor del excre-
mento de las larvas del barrenador y no presenta ninguna preferencia por alguna especie de barrenadores
[2, 7, 8, 3].
16
IV Encuentro Matemático del Caribe
Referencias
[1] (2020) Varios Autores, Sector agroindustrial de la caña, https://www.asocana.org/publico/info.aspx?Cid=215.
[2] (2019) Narrea M. Astola S, Biologı́a y comportamiento de cotesia avipes cameron (braconidae) parasi-
toide de diatraea saccharalis fabricius (crambidae), Ecologı́a Aplicada, 77-83.
[3] (2018) Osorio P., Preferencia de cotesia flavipes (hymenoptera: Braconidae) sobre barrenadores diatraea
spp. (lepidoptera: Crambidae) de caña para panela, p. 1-59.
[4] (2015) SAGARPA, Ficha técnica barrenador de la caña de azúcar.
[5] (2013) Bustillo A., Insectos plaga y organismos benéficos del cultivo de la caña de azúcar en Colombia,
Cenicaña
[6] (2011) Bustillo A., Parasitoides, predadores y entomopatógenos que afectan las plagas de la caña de
azúcar en Colombia, Cenicaña, 1-25.
[7] (2010) Hernandez D., Estudio de algunos aspectos biológicos de Cotesia flavipes Cameron (Hymenop-
tera : Braconidae) parasitoide de Diatraea saccharalis Fabricius (Lepidoptera : Crambidae). Ontomotro-
pica, 69-81
[8] (2003) Lozano J., Manejo integrado del complejo barrenadores de la caña panelera en el piedemonte.
17
Memorias | Conferencias
Mathematical model of HIV/AIDS considering sexual
preferences under antiretroviral therapy,
a case study in San Juan de Pasto, Colombia
Author: Cristian Camilo Espitia Morillo
Universidad de los Llanos
E-mail: cristian.espitia@unillanos.edu.co
Abstract: This presentation is an exposition of the research [1] published in Journal Computational Bio-
logy by the author. The abstract is as follows: While several studies on human immunodeficiency virus
(HIV)/acquired immunodeficiency syndrome (AIDS) in the homosexual and heterosexual population have
demonstrated substantial advantages in controlling HIV transmission in these groups, the overall bene-
fits of the models with a bisexual population and initiation of antiretroviral therapy have not had enough
attention in dynamic modeling. Thus, we used a mathematical model based on studying the impacts of
bisexual behavior in a global community developed in the PhD thesis work in [2]. The model is governed
by a nonlinear ordinary differential equation system, the parameters of which are calibrated with data from
the cumulative cases of HIV infection and AIDS reported in San Juan de Pasto in 2019 adapted from [3]. Our
model estimations show which parameters are the most influential and how to modulate them to decrease
the HIV infection.
Keywords: Mathematical Model, Antirretroviral Therapy. Human Immunodeficiency Virus, System of Or-
dinary Differential Equations.
Introduction
A compartmental model of HIV/AIDS is represented by a system of ordinary differential equations
(ODE) formed by observing the flow of individuals from one compartment to the others. As an example, the
target population is divided into 8 compartments, where the number of individuals changes with respect to
time; the susceptible class Sh,w,m(t) comprises individuals homosexual men, women and heterosexual men
respectively, who were not exposed to infection, the infected class Ih,w,m(t) consists of infected individuals
homosexual men, women and heterosexual men respectively, who infect others and the class of individuals
living with AIDS A(t) involves individuals who have already developed the syndrome as a result of HIV
infection. The infection occurs due to the interaction of susceptible individuals with infected ones, and
depends on the initial hypotheses of the model.
The model assumed that the only way to transmit the HIV virus is through sexual relations between
heterosexuals, homosexuals and bisexual individuals; moreover, the effect of ART among infected people is
studied making use of a deterministic mathematical model of nonlinear ordinary differential equations.
Parameters in the model are Ψ represent Constant Recruitment, θ represent Men Proportion γ represent
Heterosexual Proportion, p represent Proportion of Initially, µ represent Natural Mortality Rate, d represent
Induced Disease Mortality, δ represent AIDS Development Rate, α represent Departure Rate of infected,
cs,h,hw,hm represent Sexual Partners Rate and βs,h,hw,hm represent Sexual Transmission Probability.
References
[1] C. Espitia, M.Botina, M. Solarte, I. Hernandez, R. Riascos, J. Meyer. “Mathematical model of HIV/AIDS
considering sexual preferences under antiretroviral therapy, a case study in San Juan de Pasto, Colom-
bia. Journal Computational Biology 29.5 (2022) 483 – 493.
18
IV Encuentro Matemático del Caribe
Figura 1: Diagram and ODE System for Mathematical Model.
[2] C. Espitia 2021. (in press). Mathematical Modeling of HIV/AIDS Spread in Human Population [Unpub-
lished doctoral dissertation]. University of Campinas. Brazil.
[3] IDSN 2019. Instituto Departamental de Salud de Nariño, fuente SIVIGILA. Available at:
https://n9.cl/g6at5. Accessed March 8, 2021.
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Memorias | Conferencias
Caracterización del riesgo cardiovascular en una
institución de salud de primer nivel en Armenia
Autores: Sol de Amor Vasquez Quintero, Gladys Elena Salcedo Echeverry,
Hernan Darı́o Toro Zapata
Universidad del Quindı́o
E-mail: solvasquez@uniquindio.edu.co, gsalcedo@uniquindio.edu.co,
hdtoro@uniquindio.edu.co
Resumen: Se pretende planear una investigacion formal, donde se analice y caracterice el riesgo cardiovas-
cular en una institución de salud de primer nivel en Armenia mediante la realización de estudios explorato-
rios de análisis de componentes principales y análisis de correspondencias, y la formulación de un modelo
de regresión lineal.
Palabras clave: Enfermedades cardiovasculares, riesgo cardiovascular, factores de riesgo cardivascular,
prevalencia, análisis de correspondencias, análisis de componentes principales, modelo de regresión lineal.
Introducción
Las enfermedades cardiovasculares (ECV) son trastornos del corazón y de los vasos sanguı́neos; se posi-
cionan como la primera causa de muerte en todo el mundo [1], es ası́ como en el 2019, las muertes fueron en
un 40% causadas por ECV a nivel mundial [2]. Las ECV representan un desafı́o para la comunidad cientı́fica
en el presente siglo XXI, esto debido a que se pronostica que para el año 2030 habrá aproximadamente 25
millones de muertes por esta causa en el mundo. El riesgo cardiovascular se define como la probabilidad
que tiene una persona de sufrir alguna de las ECV en un periodo de tiempo, lo cual está directamente
relacionado con el número de factores de riesgo que la persona pueda presentar; el riesgo cardiovascular
también incluye la posibilidad de padecer enfermedad cerebrovascular y arterial periferica [3]. Los factores
de riesgo son hechos que aumentan la probabilidad de que una persona presente una o varias ECV; pueden
ser de tipo biológico o de tipo adquirido [4].
En Colombia, la enfermedad coronaria y la enfermedad cardı́aca isquemica predomina en los hombres;
por el contrario, en las mujeres predominan las enfermedades relacionadas con la hipertensión arterial,
como la enfermedad cerebrovascular y la insuficiencia cardı́aca [5]. El grupo de edad con mayor proba-
bilidad de padecer ECV son los adultos mayores de 65 años de edad [4]. Todo lo anterior abre paso a la
intencion de analizar y caracterizar el riesgo cardiovascular en una institución de salud de primer nivel en
Armenia, durante un periodo de 6 años, estudiando la prevalencia de las ECV y considerando variables
demográficas, clı́nicas, poblacionales, espaciales, entre otras. La pregunta de investigación que se quiere
resolver en esta investigación es ¿cómo se caracteriza el riesgo cardiovascular en una institución de salud
de primer nivel en Armenia, conociendo la prevalencia de las ECV y considerando variables demográficas,
clı́nicas, poblacionales, espaciales, entre otras?
Finalmente, los objetivos a lograr para responder la pregunta son: realizar el preprocesamiento de los
datos; estudiar los datos (estudios exploratorios) mediante las técnicas estadı́sticas de análisis de correspon-
dencias múltiples, para las variables de tipo cualitativo, y análisis de componentes principales, para las
variables de tipo cuantitativo; construir un modelo de regresión lineal con el fin de analizar el riesgo car-
diovascular en una institución de salud de primer nivel en Armenia; calcular la prevalencia de las ECV y
del riesgo cardiovascular en una institución de salud de primer nivel en Armenia durante un periodo de 6
años.
20
IV Encuentro Matemático del Caribe
Referencias
[1] Heads of State commit to Noncommunicable Disease Global Compact to save 50 million li-
ves by 2030. Recuperado de https://www.who.int/news/item/21-09-2022-heads-of-state-commit-to-
noncommunicable-disease-global-compact-to-save-50-million-lives-by-2030
[2] Dı́a Mundial de Corazón: Llamado a la acción sobre las enfermedades car-
diovasculares en las Mujeres en la Región de las Américas Recuperado de
https://www.siacardio.com/consejos/mujersiac/noticias/ dia-mundial-de-corazon-llamado-a-la-
accion-sobre-las-enfermedades-cardiovasculares -en-las-mujeres-en-la-region-de-las-americas
[3] Vega Abascal, Jorge, Mayra Guimara Mosqueda, and Luis Vega Abascal. “Riesgo cardiovascular, una
herramienta util para la prevención de las enfermedades cardiovasculares.” Revista Cubana de Medicina
General Integral 27.1 (2011): 91-97.
[4] Factores de riesgo cardiovascular. Texas Heart Institute. Recuperado de
https://www.texasheart.org/heart-health/heart-information-center/topics/factores-de-riesgo-
cardiovascular/.
[5] Gomez, Luis Alberto. “Las enfermedades cardiovasculares: un problema de salud pública y un reto
global.” Biomédica 31.4 (2011).
21
Memorias | Conferencias
Modelo matemático que describe las interacciones entre
las células del sistema inmune y las células tumorales
Autores: Mayra Alejandra Quiroga Quintero, Paulo César Carmona Tabares
Universidad del Quindı́o
E-mail: maquiroga@uniquindio.edu.co, paulocct@uniquindio.edu.co
Resumen: Para el estudio del cáncer, dos elementos fundamentales a considerar son las células del sistema
inmune y las células tumorales. En este trabajo, desarrollamos algunos modelos matemáticos que describen
la interacción entre las células del sistema inmune (dendrı́ticas, Natural Killers y linfocitos T citotóxicos) y
las células tumorales, basados en el análisis cualitativo y algunas simulaciones de los sistemas no lineales
de ecuaciones diferenciales ordinarias que representan los modelos.
Palabras clave: Cáncer, sistema inmune, tumores, ecuaciones diferenciales ordinarias.
Introducción
El cáncer es un conjunto de enfermedades que se pueden formar a partir de tres motivos genéticos: el
primero por errores que ocurren en la división celular, el segundo por daños en el ácido desoxirribonucleico
(ADN) ocasionado por sustancias perjudiciales que están en el medio ambiente y el tercero por herencia
familiar. A nivel celular esto ocasiona que las células en condiciones normales tengan un cambio, creando ası́
un descontrol que genera nuevas células que llamaremos tumorales, este proceso activa el sistema inmune
e inicia una respuesta inmunitaria, donde las células del sistema inmune (efectoras) ayudan a combatir las
células tumorales [1].
Figura 2: Interacciones básicas entre células efectoras y células tumorales [2]
Un modelo matemático básico que se creó para describir la interacción entre las células efectoras y las
células tumorales fue descrito por Kuznetsov en [2], considerando dos concentraciones, E para las células
efectoras y T para las células tumorales. En la Figura 2 se describe la interacción entre éstas. En este estudio
se concluye que hay una correspondencia entre las observaciones realizadas en la experimentación in vivo
con el modelo [2]. Sin embargo, este modelo no permite diferenciar entre los diferentes aportes que hacen
las distintas células efectoras (dendrı́ticas, Natural Killers y linfocitos T citotóxicos).
Con el propósito de identificar los diferentes aportes de las distintas células efectoras, se consideran
especı́ficamente, las células dendrı́ticas (D) que ayudan a presentar antı́genos, las células Natural Killers
(N ) que ayudan a eliminar células tumorales (T ) y las células citotóxicas CD8+ (L) pertenecientes a los
linfocitos T que tienen la capacidad de destruir células infectadas. En estas condiciones Unni & Seshaiyer
en [3], presentaron un modelo matemático basado en ecuaciones diferenciales ordinarias que considera
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IV Encuentro Matemático del Caribe
Figura 3: Interacciones entre células dendrı́ticas, Natural Killers, CD8+ y tumorales. Adap-
tación de diagrama en [3]
explı́citamente los distintos tipos de células efectoras mencionadas anteriormente como se puede observar
en la Figura 3.
En este trabajo se estudia un modelo que considera los supuestos de Unni & Seshaiyer en [3] y adicio-
nalmente se incluye dentro del modelo el tratamiento por quimioterapia.
Referencias
[1] Instituto Nacional del Cáncer. ¿Qué es el cáncer?. Recuperado de
https://www.cancer.gov/espanol/cancer/naturaleza/que-es.
[2] Kuznetsov, Vladimir A., et al. “Nonlinear dynamics of immunogenic tumors: parameter estimation and
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[3] Unni Pranav and Padmanabhan Seshaiyer. “Mathematical modeling, analysis, and simulation of tumor
dynamics with drug interventions.” Computational and mathematical methods in medicine 2019 (2019).
23
Memorias | Conferencias
Modelo para el análisis de una vacunación
con protección y sin protección contra
diferentes variantes de SARS-CoV-2
Autores: Oswaldo A. Vargas V., Cesar A. Acosta M., Oscar A. Manrique A.
Universidad del Quindı́o
E-mail: oavargas@uniquindio.edu.co, cminoli@uniquindio.edu.co,
oamanrique@uniquindio.edu.co
Resumen: El COVID-19 es una enfermedad producida por el virus SARS-CoV-2 que se transmite de per-
sona a persona y ha generado una crisis de salud publica a nivel mundial, al punto de ser declarada como
pandemia y conllevar a varios paı́ses a decretar un confinamiento. En la presente charla, se presenta un
modelo matemático con base en ecuaciones diferenciales no lineales, que interpreta la trasmisión de una
nueva variante del COVID-19 en una población vacunada con el fin de analizar teóricamente el efecto de la
propagación de la variante, considerando que no se ve afectada por los efectos de la vacunación, además, se
determina el número básico de reproducción y se muestran algunas simulaciones del modelo.
Palabras clave: COVID-19, modelo matemático, retardo, reinfección, variante.
Introducción
En el mes de diciembre del ano 2019, aparece un brote de una enfermedad que serı́a de gran interés
en China y a nivel mundial, esta nueva enfermedad se presenta inicialmente como un brote de neumonia
de causa desconocida, la cual conlleva a un gran numero de individuos hospitalizados. A inicios del mes
de enero del 2020 las autoridades sanitarias y la comunidad cientı́fica advierten a la población sobre del
impacto que tiene este nuevo virus en las personas e inmediatamente se aisla (genoma) para su respectivo
estudio, no obstante a finales del mes de enero del 2020 las autoridades sanitarias informan de la rápida
expansión y propagación del virus, alcanzando 23 provincias en China [1, 2].
La enfermedad de Coronavirus 2019 se origina en la antigua ciudad de Wuhan, China, la cual cuen-
ta con alrededor de 11 millones de habitantes en la provincia de Hubei, el surgimiento del virus se da en
un mercado de marı́scos, donde se encontraban animales vivos y no procesados para su respectiva comer-
cialzación; la culpable es una cepa llamada SARS-COV-2 causante de la enfermedad COVID-19 y desde su
aparición, hasta finales de enero ya tenia contagiado a mas de diez mil personas en China y más de 90 casos
reportados en los siguientes paı́ses: Taiwan, Tailandia, Vietnam, Malasia, Nepal, Sri Lanka, Camboya, Japon,
Singapur, la República de Corea, Emiratos Árabes Unidos, Estados Unidos, Filipinas, India, Irán, Australia,
Canada, Finlandia, Francia y Alemania [3, 4], y en el 1 mes de marzo del 2020 la Organización Mundial de
Salud (OMS) declara a esta enfermedad como una pandemia [1, 6, 5].
La forma de transmisión del virus SARS-CoV-2 es a través del contacto cercano de persona a persona
y ocurre a traves de gotitas de lı́quido provenientes de la tos y estornudos, este tipo de transmisión es de
manera directa y se da comunmente en los hogares, las reuniones familiares o sociales y lugares cerrados
donde hay poca ventilacion y hay diferentes grupos de personas, también de manera indirecta la transmi-
sión se origina cuando las gotitas caen a una superficie inerte y se tiene contacto con ellas (fomites), sin lugar
a dudas estas dos formas de transmisión son un factor de alto riesgo, sin embargo hay una transmisión si-
lenciosa la cual se da por medio del contacto con personas asintomáticas que portan el virus y no poseen
sı́ntomas, en este sentido el distanciamiento social y el uso de tapabocas es de suma importancia ya que la
transmisión ocurre a una distancia menor a 2 metros [7, 8].
24
IV Encuentro Matemático del Caribe
De acuerdo con La Organización Mundial de la Salud (OMS), el mundo ha presenciado diferentes tipos
de brotes de enfermedades y epidemias producidas por diferentes agentes infecciosos, no obstante, la apa-
rición de enfermedades relacionadas con los coronavirus (SARS y MERS) han sido un desafı́o mundial para
los sistemas de salud pública [1].
La evolución de los sintomas de la enfermedad Covid-19 varı́a segun la persona, ya que depende de
los problemas de salud adicionales que tiene el individuo infectado, los cuales pueden conllevar a la enfer-
medad cronica y la muerte, no obstante los sı́ntomas más comunes son: fiebre, tos, cansancio, perdida del
gusto o del olfato, dificultad para respirar, dolor en el pecho, entre otros, no obstante, en Wuhan se estimó
en un principio que el tiempo de incubación era de 2 a 5 dı́as, mientras que la OMS asume que el periodo
de incubación de la enfermedad COVID-19 es de 1 a 14 dı́as y el Centro Europeo para la Prevención y el
Control de las Enfermedades (ECDC) contempla que el tiempo medio de incubación es de 1 a 5 dı́as [9].
Las medidas de control, prevención y reducción de la enfermedad Covid 2019 es responsabilidad de ca-
da individuo, sin embargo, las entidades de salud presentan las siguientes medidas de control: la aplicación
de vacunas autorizadas por la OMS Pfizer-BioNTech, AstraZeneca, Janssen, Moderna, Sinopharm/BIBP y
Sinovac, seguido del lavado de manos, el uso preventivo del tapabocas, al toser o estornudar cubrirse con
el codo o un panuelo, mantener distanciamiento social y por último, si tiene fiebre, tos y dificultad para
respirar buscar ayuda médica inmediata [11, 10].
Los casos de reinfección actúan como alerta y fortalecen la necesidad de mantener las medidas de pre-
vención y control que se tienen respecto a la pandemia, según la Organización Panamericana de la Salud y
la OMS se han confirmado varios casos de reinfección en el mundo, sin embargo no existe evidencia sufi-
ciente sobre las personas que se han recuperado de la infección por SARS-CoV-2 que generen anticuerpos y
las protejan de una nueva reinfección; cuando un individuo es infectado y se recupera, pero al cabo de un
tiempo vuelve a infectarse, se denomina reinfección; en los casos particulares de reinfección o infección es
importante el distanciamiento social y las medidas de prevención, no obstante en la actualidad el proceso
de vacunación, tiende a evitar nuevos contagios y reducir la posibilidad de circulación de la enfermedad
COVID-19 [1, 11, 12].
El desarrollo de las variantes del virus SARS-CoV-2 es provocado por diferentes mutaciones y se con-
vierte en un evento habitual y natural en el transcurso del proceso de transformacion y evolución de los
virus; los cambios en la composición del virus a través de las mutaciones se definen a traves de grupos
genéticos, los cuales a su vez, se conocen como linajes y se distribuyen por todo el mundo causando emer-
gencias de salud pública, además cuando las mutaciones generan diferencias significativas dentro de cada
grupo genético se denominan variantes y suelen aparecer cuando el nivel de transmisión y contagio del
virus es alto [12].
Las variantes del SARS-CoV-2 estan relacionadas con las mutaciones de la proteina S (Spike), estas va-
riantes han causado alerta y preocupacion con respecto a la eficacia que tienen las vacunas que se estan
aplicando actualmente; las variantes Alpha, Betha, Gamma, Delta, Mu y Omicron, implican una mayor
transmision del virus y un aumento en la incidencia de la enfermedad, lo cual conlleva a mas hospitaliza-
ciones, admisiones en UCI, muertes y preocupación en el sistema sanitario [1, 7, 13, 14].
Distintos autores plantean la importancia que tienen los modelos matematicos para estudiar enferme-
dades infecciosas, ademas del impacto que tienen las simulaciones para investigar diferentes escenarios
relacionados con determinadas epidemias, en el estudio que realizan Gonzalez, et al., (2021) proporcionan
un modelo para ver el impacto que tiene una variante de SARS-COV-2 más transmisible, la cual pudiera
ocasionar problemas en el sistema de salud, la incidencia, la hospitalización y las muertes; los autores estu-
dian diferentes escenarios en cuanto a la transmisibilidad con el fin de proporcionar un apoyo cientı́fico para
las polı́ticas de salud pública y concientizar sobre posibles situaciones futuras relacionadas con la pandemia
de COVID-19 [15].
Además, Muhammad, et al. estudian el análisis teórico matemático del modelo de la enfermedad COVID-
19 con efecto de retardo temporal y manifiestan que los factores de retraso más importantes son: el distan-
ciamiento social, la cuarentena, las restricciones de viaje, la extensión de vacaciones, la hospitalización y el
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Memorias | Conferencias
aislamiento los cuales se utilizan como herramientas importantes para controlar la pandemia producida por
la enfermedad; los investigadores analizan el número básico de reproducción respecto al comportamiento
y la naturaleza que tiene la enfermedad a través del modelo retardado [16].
Referencias
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ted variants of SARS-CoV2 [Alpha, Beta, Gamma, Delta, and Lambda] on the efficacy of subunit recom-
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[10] Organización Panamericana de la Salud/Organización Mundial de la Salud. Variantes de SARS-CoV-
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[11] Organización de Naciones Unidas. (1 de septiembre de 2021). Colombia: La OMS
vigila de cerca una nueva variante del coronavirus, llamada “Mu”. Obtenido de
https://news.un.org/es/story/2021/09/1496152
[12] Kantor, Isabel N., Isabel A. Luthy, and Viviana Ritacco. “Las variantes de SARS-CoV-2 y la llamada
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tomatology 14.4 (2020): 501-507.
[15] Gonzalez-Parra, Gilberto, David Martı́nez-Rodrı́guez, and Rafael J. Villanueva-Mico. “Impact of a new
SARS-CoV-2 variant on the population: A mathematical modeling approach.” Mathematical and Compu-
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model.” Comput. Mater. Continua 64.3 (2020): 1401-1414.
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IV Encuentro Matemático del Caribe
Diagramas causales para el estudio
del rendimiento académico
Autores: Maria Teresa Sanz y Emilia López-Iñesta
Universitat de València, España
E-mail: m.teresa.sanz@uv.es, emilia.lopez@uv.es
Resumen: Muchas de las investigaciones realizadas sobre el rendimiento escolar en diferentes niveles edu-
cativos han tenido como finalidad conocer cuáles son los factores que inciden y condicionan el rendimiento
académico del alumnado [1]. A lo largo del tiempo, se ha consensuado que el rendimiento académico del
estudiantado se puede ver afectado por distintos factores, que van desde lo personal hasta lo sociocultural.
Según [2] existen cuatro bloques de variables socioeducativas entendidas como factores que inciden en el
rendimiento escolar: a) factores organizativos a nivel de centro, b) factores organizativos a nivel de aula, c)
factores relativos al docente, y d) factores relacionados con el contexto familiar
La predicción del rendimiento académico es una de las herramientas que permite delimitar los factores
más influyentes para entender mejor el problema y poder abordarlo. Para las instituciones académicas, la
calidad en la educación y tener alumnado con buenos resultados académicos son objetivos prioritarios.
Por ello existen muchas investigaciones que estudian la predicción del rendimiento académico, a través de
distintas técnicas como la inteligencia artificial ([3, 4, 5, 6]), la dinámica de sistemas ([7, 8]) o los modelos de
regresión ([9, 10]).
En los dos últimos años han proliferado los estudios sobre los diferentes factores que pueden afectar al
rendimiento del alumnado relacionados con el impacto de la COVID-19. Ası́, el presente trabajo plantea un
estudio en el que se tiene como objetivo principal el análisis de la incidencia de diferentes factores externos
al ámbito escolar (tecnologı́a, economı́a y caracterı́sticas del alumnado) sobre el rendimiento académico de
estudiantado universitario durante el confinamiento del curso 2019/2020 mediante la aplicación de métodos
propios del modelado a través de regresión
En este trabajo, se construye un diagrama causal que permite cuantificar la relación existente entre el
rendimiento académico del estudiantado, el acceso tecnológico y los factores personales y/o económicos.
Estas relaciones permiten determinar, a partir de un modelo de regresión, la predicción del rendimiento,
siendo determinante en este trabajo para obtener mayores resultados académicos, estar en situación perso-
nal laboral donde solo se estudia y un acceso a internet con banda ADSL o teléfono móvil.
El análisis del diagrama causal permite comprobar que la situación personal laboral del alumnado es
la variable de primer nivel que más incide sobre los resultados académicos, obteniendo las mejores califi-
caciones el alumnado que solo estudiaba, con una diferencia de casi dos puntos con aquellos que también
trabajaban o que habı́an perdido el trabajo a causa del COVID-19. La variable de segundo nivel asociada
con la situación personal laboral es la edad, siendo los más jóvenes aquellos que únicamente estudian.
La edad también incide sobre tres variables consideradas de primer nivel, pero que tienen menor efecto
sobre el rendimiento académico. En primer lugar, el sustento familiar, siendo los más jóvenes los estudiantes
que marcan como opción que el sustento familiar corre a cargo de su padre y/o madre, y con diferencias
estadı́sticamente significativas con aquellos cuya opción es que toda la familia se ha quedado en paro por
el COVID-19 o que son ellos mismos quiénes sustentan al núcleo familiar. En segundo lugar, el acceso tec-
nológico, definido a través de la compañı́a telefónica y el tipo de acceso a internet, manifiesta una asociación
de nivel medio con los resultados académicos, pero no marca diferencias estadı́sticamente significativas en-
tre las diferentes categorı́as. Finalmente, y como variable de segundo nivel, se sitúa el lugar de residencia
donde el alumnado ha pasado el estado de alarma relacionado con el tipo de acceso a internet.
Futuras lı́neas de investigación podrı́an ampliar el alcance del estudio y abordar, desde un análisis más
amplio de factores cognitivos del estudiante, ası́ como desde la perspectiva del profesorado, el modelo de
27
Memorias | Conferencias
enseñanza a distancia que ha sido implementado tras la COVID-19. Esto permitirı́a identificar las dificulta-
des y las fortalezas y continuar evidenciando empı́ricamente la educación impuesta.
Palabras clave: dinámica de sistemas; diagramas causales; enseñanza superior; tecnologı́a; COVID-19.
Referencias
[1] Quintero, Marı́a Teresa Quintero, and Germán Manuel Orozco Vallejo. “Desempeño académico: una
opción para la cualificación de las instituciones educativas.” Plumilla educativa 12.2 (2013): 93-115.
https://doi.org/10.30554/plumillaedu.12.375.2013
[2] Garcı́a-Martı́n, S., and I. Cantón. “Factores que inciden en el rendimiento académico. El camino hacia el
éxito escolar de todos.” (2016). http://rua.ua.es/dspace/handle/10045/64221
[3] Hejazi, Elaheh, et al. ”Prediction of academic performance: the role of perception of the class structure,
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[4] Helal, Sumyea, et al. ”Predicting academic performance by considering student
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[5] Fonteyne, Lot, Wouter Duyck, and Filip De Fruyt. ”Program-specific prediction of academic achieve-
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[6] Paunonen, Sampo V., and Michael C. Ashton. .On the prediction of academic performance with persona-
lity traits: A replication study.”Journal of Research in Personality 47.6 (2013): 778-781. https://doi.org/
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[7] Sanz, Marı́a T., et al. “Uso de la comprensión lectora para la construcción de un modelo predictivo del
éxito de estudiantes de 4o de Primaria cuando resuelven problemas verbales en un sistema inteligente
[Using reading comprehension to build a predictive model for the fourth-grade grade students’ achieve-
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//www.educacionyfp.gob.es/dam/jcr:24b09336-644b-4c2e-ab16-c6e05eda04f4/02sanzesp-ingl.pdf
[8] De Vinatea Ramı́rez, José Andrés. ”Modelo de dinámica de sistemas para predecir el efecto de las tu-
torı́as en la población de alumnos en riesgo de deserción académica de la Facultad de Ingenierı́a Indus-
trial y de Sistemas de la Universidad Nacional de Ingenierı́a.”(2019). http://repositorio.unjbg.edu.pe/
handle/UNJBG/3715
[9] Tanujaya, Benidiktus, Jeinne Mumu, and Gaguk Margono. ”The Relationship between Higher Order
Thinking Skills and Academic Performance of Student in Mathematics Instruction.Ïnternational Educa-
tion Studies 10.11 (2017): 78-85. https://doi.org/10.5539/ies.v10n11p78
[10] Sanz, Maria T., et al. ”Measuring arithmetic word problem complexity through reading comprehension
and learning analytics.”Mathematics 8.9 (2020): 1556. https://doi.org/10.3390/math8091556
28
IV Encuentro Matemático del Caribe
Sobre la teorı́a musical y sus aplicaciones matemáticas
Autores: Daniel Ricardo Vásquez Calderón, Laura Catalina Alzate Ortı́z,
Nidia Yadira Caicedo Bravo, Leonardo Duván Restrepo Alape
Universidad del Tolima, Universidad del Quindı́o
E-mail: drvasquezc@ut.edu.co, lcalzateor@ut.edu.co, nycaicedob@ut.edu.co,
ldrestrepoa@ut.edu.co
Resumen: En este comunicado se presentan algunos estudios que relacionan la música y la matemática. El
primero de ellos se refiere a los hallazgos de la Escuela Pitagórica que explora la armonı́a musical a partir
de tres proporciones clave:
• Media aritmética: Representada mediante la fórmula b = a+c2 , donde a y c son octavas.
• Media armónica: Representada mediante la fórmula b = 2∗a∗ca+c , donde a y c son octavas.
• Media geométrica: Representada mediante la fórmula a = bb c donde a y c son octavas.
Del mismo modo se presentan las aplicaciones de otras áreas de la matemática en la teorı́a musical, como
las aplicaciones de logarı́tmos para construir una definición de octava musical, las aplicaciones de teorı́a de
grupos y geometrı́as para representar los acordes musicales y por último, se presentan algunas aplicaciones
en programación para lenguaje Python.
Palabras clave: Logaritmo, música, permutación, proporciones.
Introducción
ARTE Y CIENCIA. Dos aristas de la cultura universal, dos conceptos de belleza, dos pilares del saber.
Para algunos pueden parecer antónimos, y para otros parecen caminos con vastas coincidencias y puntos
de convergencia en común. El objetivo es estudiar a las matemáticas como arte y a la música como ciencia
con el fin de encontrar en la teorı́a musical estructuras algebraicas y utilizar la teorı́a de grupos para definir
esta relación. En el trabajo presentado se hace énfasis en la teorı́a de grupos a partir de la acción de sus
elementos (rotaciones y reflexiones) y ası́ encontrar la forma de relacionar acordes musicales con el grupo
diédrico D12.
Referencias
[1] Fraleigh, John B. ALGEBRA ABSTRACTA: PRIMER CURSO: JHON B. FRALEIGH. No. QA162
F7218.1987.
[2] Gallian, Joseph A. Contemporary abstract algebra. Chapman and Hall/CRC, 2021.
[3] Hoyos, Diego L. “La matemática de la música.” Matemáticas: Enseñanza Universitaria 20.1 (2012): 29-48.
[4] Klima, Richard, Neil Sigmon, and Ernerst Stitzinger. Applied Abstract Algebra with MapleTM and
MATLAB©R : A Maple and MATLAB Approach. Vol. 34. CRC Press, 2015.
[5] Tomasini, Marı́a Cecilia. “El fundamento matemático de la escala musical y sus raı́ces pitagóricas.” C&T
Universidad de Palermo (2007): 15-27.
29
Memorias | Conferencias
Natural factor based solvers
Authors: Omar Andrés Cuervo, Juan Galvis, Markus Sarkis
Universidad Nacional de Colombia, Institute Worcester USA
E-mail: oacuervof@unal.edu.co, jcgalvisa@unal.edu.co, msarkis@wpi.edu
Abstract: We consider parametric families of partial diferential equations–PDEs where the parameter κ mo-
difies only the (1,1) block of a saddle point matrix product of a discretization below. The main goal is to
develop an algorithm that removes some of the dependence of iterative solvers on the parameter κ. The
algorithm we propose requires only one matrix factorization which does not depend on κ, therefore, allows
to reuse it for solving very fast a large number of discrete PDEs for diferent κ and forcing terms. The de-
sign of the proposed algorithm is motivated by previous works on natural factor formulation of the stifness
matrices and their stable numerical solvers. As an application, in two dimensions, we consider an iterative
preconditioned solver based on the null space of Crouzeix’ Raviart discrete gradient represented as the dis-crete curl of P1 conforming finite element functions. For the numerical examples, we consider the case of
random coeficient pressure equation where the permeability is modeled by an stochastic process. We note
that contrarily from recycling Krylov subspace techniques, the proposed algorithm does not require fixed
forcing terms.
Keywords: Crouzeix-Raviart nonconforming finite elements; saddle point system; mixed finite elements.
Introduction
The general form of a saddle poin[t system of line]a[r equ]atio[ns w]e consider is
D(κ)−1 G q r
T = , (1)G 0 u b
where the matrix D is symmetric positive definite. This form is standard in the formulation of mixed finite
elements. What is not very well’known, as pointed out by Argyris and Bronlund, is that classical conformingand nonconforming inite element methods – FEMs can also be written in the form (1) with r = 0. We show
that the stifness matrix, associated to the Crouzeix’Raviart FEM element discretization for the PDE withisotropic coeficients κ(x), has the the natural factor of the form ACR = GTCRD(κ)GCR, where GCR is the
discrete gradient (not afected by the parameter κ) and D(κ) is a diagonal matrix with entries depending
of the integration of κ in each element, hence, it is easy to update the natural factor if κ is modified. Due
to the superior numerical stability with respect to roundoff errors when operating with GT , D(κ) and G
rather than the assembled stifness matrix. The methods start by representing q on the range of the matrix
[GZ] where Z is such that Q = [GZ] is a square invertible matrix; two common choices of Z are ZTG =
0 or ZTD−1G = 0. These works generate very stable algorithms for ill-conditioned κ, however, they do
not remove the dependence on D of the factorizations, hence, they do not it our goal of reusing the same
factorization for different values of κ. Then we consider the coupled system
(graduCR + curlwP , κ(gradv1 CR + curlvP ))1 L2(Ω)
as a preconditioner for the uncoupled system
(graduCR, κgradvCR)κ + (curlwP1 , κcurlvP 21)L (Ω).
30
IV Encuentro Matemático del Caribe
References
[1] Argyris, JiH, and O. E. Brønlund. ”The natural factor formulation of the stiffness for the matrix displace-
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[3] Rees, Tyrone, and Jennifer Scott. “A comparative study of null-space factorizations for sparse symmetric
saddle point systems.” Numerical Linear Algebra with Applications 25.1 (2018): e2103.
[4] Vavasis, Stephen A. “Stable numerical algorithms for equilibrium systems.” SIAM Journal on Matrix
Analysis and Applications 15.4 (1994): 1108-1131.
[5] Vavasis, Stephen A. “Stable finite elements for problems with wild coefficients.” SIAM journal on numer-
ical analysis 33.3 (1996): 890-916.
31
Memorias | Conferencias
Dinámica de un modelo de depredación del tipo Leslie
Autores: Paulo Cesar Tintinago Ruiz, Leonardo Duvan Restrepo Alape
Universidad del Quindı́o, Universidad del Tolima
E-mail: pctintinago@uniquindio.edu.co, ldrestrepoa@ut.edu.co
Resumen: En esta charla presentaremos las principales propiedades matématicas del estudio de un modelo
de depredación del tipo Leslie-Gower, descrito por un sistema bidimensional de ecuaciones diferenciales
ordinarias. Se demuestra que las soluciones del sistema son acotadas, mostrando que el modelo está bien
propuesto. Se determinan las condiciones de existencia de los puntos de equilibrio y se estable la naturaleza
de cada uno de ellos. Se demuestra la existencia de una curva heteroclina que une dos puntos de equilibrio.
Mostramos la existencia de una curva sepatriz que divide el comportamiento de las trayectorias, esto
implica que dos trayectorias cercanas pueden tener diferentes ω−limites, haciendo que el sistema sea alta-
mente sensible a las condiciones iniciales.
Se determina la existecia de dos ciclos limite originados por bifurcación de Hopf, que rodean un punto
de equilibrio positivo estable, y se realizan algunas simulaciones mostrando las diferentes situaciones.
Palabras clave: Modelo depredador-presa, respuesta funcional, bifurcación, estabilidad, curva separatriz.
Introducción
Los modelos depredador-presa del tipo Leslie-Gower (ver [5] y [6]) se caracterizan fundamentalmente
porque la ecuación diferencial que describe el crecimiento de los depredadores es del tipo logı́stico (ver [7]] y
[10]). En estos modelos se asume que la capacidad de soporte del medio ambiente es variable y proporcional
a la cantidad de presas disponibles y la respuesta funcional es lineal (ver [1] y [2]).
En este trabajo se incorporan dos modificaciones: i) la función de crecimiento de los depredadores es
de tipo logı́stico (ver [3]), y ii) la respuesta funcional es no monotónica o Holling tipo IV (ver [9]). Esta
función se utiliza para modelar un comportamiento antidepredatorio, denominado formación de grupos de
defensa (ver [8]).
El modelo es descrito por un sistema autonomo bidimensional de ecuaciones diferenciales no lineales
autónomo del tipo Kolmogorov (ver [4]) d{ado por: ( ( ) )
dx = r( 1− x) − qydt K x3 xXµ(x, y) : +a (1)dy
dt = s 1−
y
nx y,
donde x = x (t) e , y = y (t) representan los tamaños poblacionales de presas y depredadores, respec-
tivamente para t ≥ 0. Los parámetros son todos positivos, esto es µ = (r,K, q, s, n, a) ∈ R6+ , y tienen
diferentes significados ecologicos. En este modelo los depredadores no tienen un tipo de presa preferida
(ver [3]); esto implica que los depredadores son generalistas.
Los cálculos son realizados en un sistema polinomial topológicamente equivalente al sistema (1) (ver [2]
y [3]), el cual es obtenido mediante un cambio de variables y un reescalamiento del tiempo.
32
IV Encuentro Matemático del Caribe
Referencias
[1] B. González-Yaez, E. González-Olivares and J. Mena-Lorca, Multistability on a Leslie-Gower type
predator-prey model with non-monotonic functional response, in R. Mondaini and R. Dilao (Eds), BIO-
MAT 2006 International Symposium on Mathematical and Computational Biology (2007) 359-384.
[2] González-Olivares, Eduardo, Paulo C. Tintinago-Ruiz, and Alejandro Rojas-Palma. “A Leslie-Gower-
type predator-prey model with sigmoid functional response.” International Journal of Computer Mathema-
tics 92.9 (2015): 1895-1909.
[3] E. González-Olivares, C. Arancibia-Ibarra, A. Rojas-Palma and B. González-Yaez, Bifurcations and mul-
tistability on the May-Holling-Tanner predation model considering alternative food for the predators,
Mathematical Biosciences and Engineering 16(5) (2019) 4274-4298.
[4] Freedman, Herbert I. Deterministic mathematical models in population ecology. Vol. 57. Marcel Dekker In-
corporated, 1980.
[5] P. H. Leslie, Some further notes on the use of matrices in population mathematics, Biometrika 35 (1948)
213-245.
[6] P. H. Leslie and J. C. Gower, The properties of a stochastic model for the predator-prey type of interaction
between two species, Biometrika 47 (1960) 219-234.
[7] R. M. May, Stability and complexity in model ecosystems (2nd edition), Princeton University Press, 2001.
[8] S. Ruan and D. Xiao, Global analysis in a predator-prey system with nonmonotonic functional response,
SIAM Journal of Applied Mathematics, Vol. 61, No 4 pp. 1445-1472, 2001.
[9] Taylor RJ. Predation, Chapman and Hall, 1984.
[10] Turchin, P. “Complex Population Dynamics: A Theoretical/Empirical Synthesis. Princeton (NJ): Princ.
Univ. Prees, 2003. 456 p.” Monographs in Population Biology.
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Memorias | Conferencias
Gradient boosting classifier: un modelo tentativo
para entender el consumo de sustancias psicoactivas
en un ámbito universitario
Autor: Johanna Lizeth Bustos Gonzalez
Universidad del Tolima
E-mail: jlbustosg@ut.edu.co
Resumen: Colombia guarda un precedente histórico que le ha permitido abordar el tema de drogas ba-
jo enfoques académicos, polı́ticos y de seguridad nacional, por lo que es importante entender las causas
que incitan a un consumo de sustancia psicoactivas (SPA) recurrente en el entorno universitario y de esta
manera generar escenarios de reflexión de polı́ticas de prevención y mitigación. Es por ello que en el pre-
sente estudio se busca identificar los factores individuales y del entorno que pueden pronosticar si es o no
consumidor recurrente de SPA y de estos cuáles tienen mayor incidencia con el apoyo de modelos de apren-
dizaje automático supervisado. Se realizaron 717 encuestas a estudiantes de la una institución de educación
pública. Se obtuvo una exactitud y precisión del 67 % usando un modelo Gradient Boosting Classifier, cuyas
variables de mayor incidencia son: Percepción de acuerdo con el Consumo De Alcohol, Desempeño Sexual,
y El Efecto Que Producen De Acuerdo A La Dosis, Calidad y Organismo De Cada Persona.
Palabras claves: Palabras claves: Modelo de aprendizaje; Sustancias psicoactivas; Universitest; Consumidor
recurrente de sustancias psicoativas.
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IV Encuentro Matemático del Caribe
Análisis de la dinámica de un modelo tritrófico tipo Leslie
Autores: Fidadelfo Mondragón Sánchez, Miguel Angel De la Rosa Castillo,
Gamaliel Blé González
Universidad Juárez Autónoma de Tabasco
E-mails: fida1844@hotmail.com, madelarosaca@conacyt.mx, gble@ujat.mx
Resumen: Se estudia la dinámica de un sistema de ecuaciones diferenciales que modela la interacción entre
una presa, un depredador y un superdepredador. Se supone una respuesta funcional general y se analiza los
diferentes conjuntos lı́mites que presenta el sistema. En particular, se muestra la presencia de una bifurcación
cero-Hopf y mediante simulaciones numéricas, se calculan algunos conjuntos lı́mite. Además, usando el
máximo exponente de Lyapunov se demuestra la existencia de caos en el sistema.
Palabras clave: Modelo tritrófico, bifurcación cero-Hopf, toros invariantes, caos, máximo exponente de Lya-
punov.
Introducción
Una linea de investigación de la ecologı́a matemática consiste en determinar la coexistencia de especies,
que interactúan entre si, usando modelos matemáticos basados en sistemas de ecuaciones diferenciales or-
dinarias. Entre los sistemas que han modelado una interacción depredador-presa se tienen los de tipo Leslie
[7, 9]. En tales sistemas se supone que el depredador es generalista y el beneficio de alimentarse de la presa
se refleja en su capacidad de carga (ver [3, 5, 4, 8] y las referencias allı́ citadas). Asimismo se han analiza-
do sistemas tritróficos tipo Leslie Gower y se han mostrado numéricamente comportamientos caóticos, ver
[10], [1].
Una alternativa para determinar la presencia de caos en sistemas de ecuaciones diferenciales es el análi-
sis de bifurcaciones de tipo global, tal es el caso de la bifurcación cero-Hopf, para la cual el valor de bi-
furcación en el espacio de parámetros está en la intersección de dos ramas, una donde ocurre bifurcación
silla-nodo y otra donde aparece bifurcación de Hopf, por lo que esta bifurcación permite encontrar conjun-
tos lı́mites estables invariantes más complicados que los puntos de equilibrio o los ciclos lı́mite. De hecho,
se puede detectar toros invariantes o atractores caóticos [6, 2, 11].
En este trabajo se analiza la dinámica de un sistema diferencial que modela la interacción entre una
presa (P), un depredador (MP) y un superdepredador (SP). Explı́citamente se estudia el siguiente sistema:
ẋ =h1(x()− yf1(x),y )
ẏ =ys1(1− − zg1(y),α1x+ β1) (2)z
ż =zs2 1− ,
α2y + β2
donde x, y y z, representan la densidad de población de la especie presa, la especie depredadora y la especie
superdepredadora, respectivamente. La tasa de crecimiento de la población P es de la forma h1(x) = xh(x)
y las respuestas funcionales generales de la interacción MP-P y SP-MP, son f1(x) = xf(x) y g1(y) = yg(y),
respectivamente; donde f, g y h son funciones positivas de clase C3(R+). Los parámetros adimensionales s1
y s2 son las tasas de crecimiento intrı́nsecas del MP y SP, respectivamente. El parámetro β1 es la capacidad
de carga del MP en ausencia de la población presa y β2 es la capacidad de carga del SP en ausencia de la
población MP. Por otra parte, los parámetros α1 y α2 miden el aprovechamiento derivado de la depredación.
35
Memorias | Conferencias
Referencias
[1] Agrawal, Rashmi, et al. “Complex dynamics of sexually reproductive generalist predator and gestation
delay in a food chain model: double Hopf-bifurcation to chaos.” Journal of Applied Mathematics and
Computing 55.1 (2017): 513-547.
[2] Guckenheimer, John, and Yuri A. Kuznetsov. “Fold-hopf bifurcation.” Scholarpedia 2.10 (2007): 1855.
[3] Hsu, Sze-Bi, and Tzy-Wei Huang. “Global stability for a class of predator-prey systems.” SIAM Journal
on Applied Mathematics 55.3 (1995): 763-783.
[4] Huang, Jicai, Shigui Ruan, and Jing Song. “Bifurcations in a predator–prey system of Leslie type with
generalized Holling type III functional response.” Journal of Differential Equations 257.6 (2014): 1721-
1752.
[5] Huang, Ji-cai, and Dong-mei Xiao. “Analyses of bifurcations and stability in a predator-prey system
with Holling type-IV functional response.” Acta Mathematicae Applicatae Sinica 20.1 (2004): 167-178.
[6] Kuznetsov, Yuri A., Iu A. Kuznetsov, and Y. Kuznetsov. Elements of applied bifurcation theory. Vol. 112.
New York: Springer, 1998.
[7] Kot, Mark. Elements of mathematical ecology. Cambridge University Press, 2001.
[8] Li, Yilong, and Dongmei Xiao. “Bifurcations of a predator–prey system of Holling and Leslie types.”
Chaos, Solitons and Fractals 34.2 (2007): 606-620.
[9] Murray, James D. “Mathematical biology: I. An introduction. Interdisciplinary applied mathematics.”
Mathematical Biology, Springer 17 (2002).
[10] Priyadarshi, Anupam, and Sunita Gakkhar. “Dynamics of Leslie–Gower type generalist predator in a
tri-trophic food web system.” Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation 18.11
(2013): 3202-3218.
[11] Stephen Wiggins, Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos. Vol. 2. No. 3. New
York: Springer, 2003.
36
IV Encuentro Matemático del Caribe
Comportamiento de la correlación integral
en series de tiempo estacionarias
Autor: John E. Gómez
Universidad Federico Santa Marı́a
E-mail: eagomezdaza@gmail.com
Resumen: La correlación integral (CI) de una serie de tiempo es un coeficiente normalizado que representa
el número de pares cercanos entre dos puntos diferentes de una serie de tiempo y permite estimar la di-
mensión de un atractor en un régimen caótico. Calculando la dimensión de un atractor, es posible distinguir
entre un comportamiento determinista y uno estocástico. En esta presentación estableceremos una ley de
potencias para el comportamiento esperado de la CI, para series de tiempo Gaussianas estacionarias, cuya
función de correlación satisface ρ(h) = O(h−α) para α > 2. Ejemplos de series de tiempo lineales ilustran el
resultado.
Keywords: Correlación integral, series de tiempo estacionarias, procesos Gaussianos, ley de potencias.
Introducción
Desde el punto de vista estadı́stico, la CI es uno de los métodos mas utilizados para estimar la dimen-
sión fractal de los atractores caóticos debido a su buen rendimiento al calcular este valor a partir de datos
experimentales. Wolff [1] fue un pionero en el estudio de la CI para series temporales, propuesta por pri-
mera vez por Grassberger y Procaccia [2]. Wolff analizó el comportamiento caótico de las series temporales
autorregresivas y de media móvil y demostró que el atractor generado por este tipo de procesos estocásticos
sigue una ley de potencia. Esto caracteriza el comportamiento de los procesos que imponen una estructura
al ruido con respecto al comportamiento de los procesos de ruido puro. En esta ponencia vamos a definir
la CI para las secuencias de tiempo, a continuación, establecemos una ley de potencia para el lı́mite del
valor esperado de la CI para una serie de tiempo gaussiana con una función de correlación que satisface
ρ(h) = O(h−α) para α > 2 y proporcionamos ejemplos para ilustrar que las condiciones de nuestro resulta-
do principal no son demasiado restrictivas.
References
[1] Wolff, Rodney CL. “A note on the behaviour of the correlation integral in the presence of a time series.”
Biometrika 77.4 (1990): 689-697.
[2] Grassberger, Peter, and Itamar Procaccia. “Characterization of strange attractors.” Physical review letters
50.5 (1983): 346.
37
Memorias | Conferencias
Soluciones exactas en modelos farmacocinéticos
fraccionarios de tipo mammilia
Autor: Vı́ctor Fabián Morales Delgado
Universidad Autónoma de Guerrero
E-mail: fabianmate1@gmail.com
Resumen: Varios estudios han demostrado que ciertos fármacos se rigen por cinéticas anómalas que difı́cilmente
pueden ser representadas por modelos clásicos. En visto de eso, en está charla, hablaremos de modelos far-
macocninéticos de orden fraccionario de tipo mammilia, ya que han resultado ser más adecuados para
representar el curso temporal de estos fármacos en el organismo. Presentamos soluciones exactas escritas
en términos de la funición de Mittag-Leffler multivaluda. Finalmente mostramos algunas simulaciones que
corroboran nuestros resultados.
Palabras clave: Cálculo fraccionario, Función Mitta-Leffler Trivalente, farmacocinética fraccionaria.
Introducción
La farmacocinética (PK) es la ciencia que se ocupa del estudio de la cinética de la absorción, distribución
y eliminación (excreción y metabolismo) de los fármacos. En otras palabras, describe el curso temporal
de una determinada droga dentro del cuerpo humano. Además, es fundamental para el desarrollo de
regı́menes de dosificación, para predecir el comportamiento de nuevos fármacos ası́ como para evaluar
los efectos terapéuticos. El estudio de la farmacocinética incluye enfoques experimentales y teóricos. Los
enfoques experimentales implican el desarrollo de técnicas de muestreo, métodos analı́ticos y procesos de
recopilación y procesamiento de datos. Los enfoques teóricos se refieren al desarrollo de modelos farma-
cocinéticos que predicen la distribución del fármaco.
Los términos de adsorción y distribución tienen un significado importante. La absorción está rela-
cionada con el movimiento del fármaco hacia el torrente sanguı́neo. Su tasa depende de las caracterı́sticas
fı́sicas del fármaco y de la fórmula quı́mica del fármaco. Mientras que la distribución se define como el
proceso en el que un fármaco sale del torrente sanguı́neo y entra en los órganos y tejidos vecinos. Además,
se ha demostrado que varios tipos de fármacos siguen un proceso cinético después de entrar en el cuerpo
humano, lo que se describe mejor mediante Ecuaciones Diferenciales Fraccionales. El cálculo fraccional y
sus aplicaciones es un sector de investigación activa en desarrollo. La farmacocinética, en particular, es una
herramienta prometedora y la literatura correspondiente está creciendo cada vez más.
Las ecuaciones diferenciales, que contienen derivadas fraccionarias, pueden describir cinéticas anómalas
sin la introducción de coeficientes dependientes del tiempo a diferencia de la cinética fractal. Existen varios
fármacos cuya cinética se desvı́a de un proceso de primer orden y se describen mejor utilizando la ley de
potencia. Esto se atribuye, por supuesto, a la lenta propagación del fármaco a los tejidos más profundos. Un
fármaco bien conocido que sigue la cinética de la ley de potencias es la amiodarona, el cual es un fármaco
antiarrı́tmico que se utiliza para tratar los trastornos del ritmo cardı́aco y se puede administrar por vı́a oral
o intravenosa. La amiodarona se desvı́a de la cinética clásica, como lo demuestran [1], donde después de
multiples dosis no se alcanza un estado estacinario mediante modelos farmacocinéticos clásicos.
Referencias
[1] Weiss, Michael. ”The anomalous pharmacokinetics of amiodarone explained by nonexponential tissue
trapping.”Journal of pharmacokinetics and biopharmaceutics 27.4 (1999): 383-396.
38
IV Encuentro Matemático del Caribe
[2] West, Bruce J., and William Deering. ”Fractal physiology for physicists: Lévy statistics.”Physics Reports
246.1-2 (1994): 1-100.
[3] Ionescu, C., et al. “The role of fractional calculus in modeling biological phenomena: A review.” Com-
munications in Nonlinear Science and Numerical Simulation 51 (2017): 141-159.
39
Sistemas Dinámicos
IV Encuentro Matemático del Caribe
Finding finite order periodic orbits for a
homeomorphism on two-dimensional torus
Author: Germán Fabian Escobar Fiesco
Universidad Surcolombiana
E-mail: german.escobar@usco.edu.co
Abstract: In this work, we describe finite order periodic orbits for a torus homeomorphism isotopic to the
identity. Given any rational rotation vector in the interior of rotation set, we define necessary conditions
to list the periodic orbits that realize such vector, and from the symbolic representation we separate those
of finite order. This study is motivated in recognize the finite order isotopy class relative to periodic orbits
using simple closed curves along such orbits. Our approach start showing that any torus homeomorphism
isotopic to the identity, the finite order isotopy class relative to a periodic orbit has a representative which
its lift at the universal cover acts as a translation by the rotation vector that realize the orbit.
Keywords: rotation vectors, finite order isotopy class, finite order periodic orbits.
Introduction
Theorem: Let f : T2 −→ T2 be a homeomorphism isotopic to identity, and let P be a period-n periodic orbit
with rotation vector v = kn (m1,m2). The orbit P is a finite order periodic orbit if and only if there exists a
simple closed curve γ : S1 −→ T2 with P ⊂ γ, such that
1. Hom(γ) = (m1,m2).
2. f(γ) ' γ(rel. P ).
Figura 4: (a) Thick graph embedded in the torus (b) Thick graph map.
Definition: Let (T2,X) be a thick graph, where X is a fibered subsurface modelled by a 4-junction V, and two
fibered strips a, b (see Figure 4(a)). Let us define the homeomorphism f : (T2,X) −→ (T2,X) described in
Figure 4(b), such that f induces the graph endomorphism F : X −→ X , whereX = S1∧S1 (i.e., π◦f |X= F ◦π
with π : X −→ X).
41
Memorias | Conferencias
References
[1] K. Parwani, Monotone periodic orbits for torus homeomorphisms, Proc. Am. Math. Soc. 133, No. 6
(2004), 1677-1683. (electronic)
[2] P. Boyland, A. de Carvalho and T. Hall, New rotation sets in a a family of torus homeomorphisms,
Invent Math, 204 (2016), 895-937.
[3] P. Boyland, Rotation sets and monotone orbits for annular homeomorphisms, Comm. Math. Helv., 67
(1992), 203-213.
[4] P. Boyland, Topological methods in surface dynamics, Topology and its Applications, 58 (1994), 223-298.
[5] P. Holmes, Knotted periodic orbits in suspensions of annulus maps, R. Soc. London. A411(1987), 351-
378.
[6] J. Guaschi, J. Lliebre, and R. Mackay, A classification of braid types for periodics orbits of diffeomor-
phisms of surfaces of genus one with topological entropy zero, Pub. Matemàtiques. 35 (1991), 543-558.
[7] M. Misiurewicz, K Ziemian, Rotation sets for maps of tori, J. London Math. Soc. 40 (1989), 490-506.
42
IV Encuentro Matemático del Caribe
Sobre endomorfismos intrı́nsecamente ergódicos
Autor: Carlos Fabian Álvarez Escorcia
Universidad del Sinú, seccional Cartagena
E-mail: carlosfalvarez@unisinu.edu.co
Resumen: En esta charla vamos a estudiar sistemas dinámicos no invertibles que presentan un compor-
tamiento hiperbólico parcial. Abordaremos el problema de la unicidad de la medida de máxima entropı́a
para una clase de endomorfismos parcialmente hiperbólicos. En 2012, R. Ures [8] mostró que difeomorfis-
mos parcialmente hiperbólicos tienen una única medida de máxima entropı́a (caso invertible). Este es un
trabajo en conjunto con Marisa R. Cantarino
Palabras clave: Endomorfismo parcialmente hiperbólico, medida de máxima entropı́a
Introducción
Se dice que un sistema es intrı́nsecamente ergódico si este admite una única medida que maximiza la
entropı́a métrica. Estos sistemas fueron estudiados por primera vez en [9], luego R. Bowen mostró que
sistemas hiperbólicos (Anosov) admiten una única medida de máxima entropı́a [2]. Mostrar la existencia,
unicidad o finitud del numero de medidas de máxima entropı́a en dinámica parcialmente hiperbólica es
un problema desafiante en sistemas dinámicos. Existen contextos de la dinámica parcialmente hiperbólica
donde han sido exploradas las medidas de máxima entropı́a [1, 3, 6, 7, 8]. Existen ejemplos de endomor-
fismos parcialmente hiperbólicos que no son intrı́nsecamente ergódicos y cuya linealización es un mapa en
expansión [4, 5], pero la ergodicidad intrı́nseca de los endomorfismos parcialmente hiperbólicos con lineal-
ización hiperbólica que presenta direcciones de contracción aún no se exploró, hasta donde sabemos.
Referencias
[1] Carlos F. Alvarez. Hyperbolicity of maximal entropy measures for certain maps isotopic to Anosov.
arXiv, preprint arXiv:2011.06649, 2020.
[2] Rufus Bowen. Some systems with unique equilibrium states. Math. Systems Theory, 8(3): 193–202,
1974/75.
[3] Jérome Buzzi, Todd Fisher, Martı́n Sambarino, and Carlos H. Vasquez. Maximal entropy measures for
certain partially hyperbolic, derived from Anosov systems. Ergodic Theory Dynam. Systems, 32(1):
63–79, 2012.
[4] Ittai Kan. Open sets of diffeomorphisms having two attractors, each with an everywhere dense basin.
Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 31(1): 68–74, 1994.
[5] Barbara Núñez Madariaga, Sebastián A. Ramı́rez, and Carlos H. Vasquez. Measures maximizing the
entropy for Kan endomorphisms. Nonlinearity, 34(10):7255–7302, 2021.
[6] Joas Elias Rocha and Ali Tahzibi. On the number of ergodic measures of maximal entropy for partially
hyperbolic diffeomorphisms with compact center leaves. Math. Z., 301(1): 471–484, 2022.
[7] Federico Rodrı́guez Hertz, Marı́a A. Rodrı́guez Hertz, Ali Tahzibi, and Raul Ures. Maximizing measures
for partially hyperbolic systems with compact center leaves. Ergodic Theory Dynam. Systems, 32(2):
825–839, 2012.
43
Memorias | Conferencias
[8] Raul Ures, Intrinsic ergodicity of partially hyperbolic diffeomorphisms with a hyperbolic linear part.
Proceedings of the American Mathematical Society, 140(6): 1973–1985, 2012.
[9] Benjamin Weiss. Intrinsically ergodic systems. Bull. Amer. Math. Soc., 76: 1266–1269, 1970.
44
IV Encuentro Matemático del Caribe
Dimensión métrica media: propiedades,
conjeturas y aplicaciones
Autor: Jeovanny de Jesus Muentes Acevedo
Universidad Tecnológica de Bolı́var
E-mail: jmuentes@utb.edu.co
Resumen: A finales de los 90, M. Gromov introdujo la noción de dimensión topológica media para funciones
continuas en espacios topológicos compactos (ver [4]), el cual es un invariante por conjugaciones topológicas
entre funciones continuas y refina la noción de entropı́a topológica para el caso en el que esta última sea
infinita. Sin embargo, la dimensión topológica media es difı́cil de calcular.
En el 2000, E. Lindenstrauss y B. Weiss introdujeron la noción de dimensión métrica media para fun-
ciones continuas en espacios métricos compactos (ver [5]), la cual es una cota superior para la dimensión
topológica media. Durante los últimos años, la dimensión métrica media ha sido ampliamente estudiada,
como podemos apreciar en la literatura.
En esta ponencia, además de presentar ejemplos y aplicaciones de la dimensión métrica media, aborda-
remos los siguientes resultados (ver [2] y [3] para más detalles):
Si φ : N → N es una función continua en una variedad riemanniana compacta N , de dimensión n,
con métrica d, la dimensión métrica media inferior y superior de φ son denotadas respectivamente por
mdimM(N, d, φ) y mdimM(N, d, φ). Para cualquier a ∈ [0, n], sean
Ca(N) = {φ ∈ C0(N) : mdimM(N, d, φ) = mdimM(N, d, φ) = a}
Ha(N) = {φ ∈ Hom(N) : mdimM(N, d, φ) = mdimM(N, d, φ) = a}
Cn(N) = {φ ∈ C0(X) : mdimM(N, d, φ) = n}
Hn(N) = {φ ∈ Hom(N) : mdimM(N, d, φ) = n}.
Para cualquier función continua φ : N → N siempre se tiene que
0 ≤ mdimM(N, d, φ) ≤ mdimM(N, d, φ) ≤ n.
Teorema: Se tiene que:
• Para cada a ∈ [0, 1], Ca([0, 1]) es denso en C0([0, 1]).
• Para cada a ∈ [0, n], Ca(N) es denso en C0(N).
• Para cada a ∈ [0, n], Ha(N) es denso en Hom(N).
• Cn(N) es residual en C0(N).
• Hn(N) es residual en Hom(N).
Por otro lado, estudiando la existencia de funciones α-Hölder continuas con dimensión métrica media
positiva, se derivaron las siguientes conjeturas, las cuales serán abordadas más explı́citamente durante la
ponencia y que, de ser ciertas, presentan relaciones sorprendentes entre el exponente de Hölder y la dimen-
sión métrica media (ver [1] para más detalles):
Conjetura A: Si φ : [0, 1]→ [0, 1] es una función α-Hölder continua, entonces
mdimM([0, 1], | · |, φ) ≤ 1− α.
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Memorias | Conferencias
Conjetura B: No hay ninguna función α-Hölder φ : [0, 1]→ [0, 1], con α > 0 y
mdimM([0, 1], | · |, φ) = 1.
Conjetura C: Si φ : [0, 1]→ [0, 1] es una función α-Hölder para cualquier α ∈ (0, 1), entonces
mdimM([0, 1], | · |, φ) = 0.
Referencias
[1] Acevedo, Jeovanny M., Sergio Romaña, y Raibel Arias. “Holder continuous maps with positive metric
mean dimension.” (2022). Aceptado para publicación en la Revista Colombiana de Matemáticas.
[2] Acevedo, Jeovanny Muentes. “Genericity of continuous maps with positive metric mean dimension.”
Results in Mathematics 77.1 (2022): 1-30.
[3] Carvalho, Maria, Fagner B. Rodrigues, and Paulo Varandas. “Generic homeomorphisms have full metric
mean dimension.” Ergodic Theory and Dynamical Systems 42.1 (2022): 40-64.
[4] Gromov, Misha. “Topological invariants of dynamical systems and spaces of holomorphic maps: I.”
Mathematical Physics, Analysis and Geometry 2.4 (1999): 323-415.
[5] Lindenstrauss, Elon, and Benjamin Weiss. “Mean topological dimension.” Israel Journal of Mathematics
115.1 (2000): 1-24.
46
IV Encuentro Matemático del Caribe
Existencia de medidas invariantes
en espacios métricos compactos
Autores: Brian Esteban Rojas Becerra, Liliana Katherine Esquivel Mora
Universidad de Pamplona
E-mail: brian.rojas@unipamplona.edu.co
Resumen: En este trabajo se presentará un resultado que garantiza la existencia de medidas invariantes para
una amplia clase de funciones.
Palabras clave: medida invariante, espacio medible, topologı́a
Introducción
Sea (M,B) un espacio medible, se dice que una medida µ es invariante bajo una transformación medible
f : M → M si µ(E) = µ(f−1(E)) para todo E ⊂ M es de notar que muchos fenómenos de la naturaleza
pueden ser modelados por sistemas dinámicos que dejan invariantes alguna medida que está relacionada
directamente con el problema estudiado, además de esto, desde el punto de vista matemático la estructura
matemática (M,B, µ) que es invariante bajo f presentan propiedades bastante interesantes.
Pero, antes de ahondar en dichas propiedades, es natural cuestionarse sobre la existencia de tal estruc-
tura matemática.
Se inicia la definición y se observan algunas propiedades de la topologı́a, con esta información se mues-
tra la existencia de medidas invariantes en un espacio métrico compacto.
Referencias
[1] Oliveira, Krerley, and Marcelo Viana. “Fundamentos da teoria ergódica.” IMPA, Brazil (2014): 3-12.
47
Memorias | Conferencias
Simetrı́as de campos vectoriales
Autor: Gaspar León Gil
Instituto Tecnológico Superior de Tacámbaro
E-mail: gaspar.lg@tacambaro.tecnm.mx
Resumen: En esta charla se presenta la relación entre las simetrı́as de un campo vectorial C∞(X) y sus
factores integrantes.
Referencias
[1] León-Gil, G. “Muciño-Raymundo, J. Integrability and adapted complex structures to smooth vector
fields on the plane.” Lob. J. of Math., 43. (2022).
[2] Muciño-Raymundo, J. “Complex structures adapted to smooth vector fields.” Math. Ann., 322. (2003).
[3] Weiner, J. “First integrals for a direction field on a simply connected plane domain.” Pacif. J. Math., 132.
(1988).
48
Topología
Memorias | Conferencias
Condiciones de tipo compacidad para que un
semigrupo topológico sea un grupo
Julio César Hernández Arzusa
Universidad de Cartagena
E-mail: jhernandeza2@unicartagena.edu.co
Resumen: En esta charla presentamos una serie de resultados, donde damos condiciones de tipo compa-
cidad (compacidad, pseudocompacidad, compacidad secuencial, etc) para que un semigrupo topológico
cancelativo sea un grupo.
Palabras clave: Grupo topológico, semigrupo topológico, pseudocompacidad.
Introducción
Encontrar condiciones bajo las cuales un semigrupo topológico cancelativo y Hausdorff es un grupo,
es un problema muy antiguo, ya existen resultados (entre otros) para semigrupos cancelativos topológicos
Hausdorff y:
• Compactos (ver [3]).
• Secuencialmente compactos (ver [1]).
• Contablemente compactos y 1-contables (ver [1]).
• Pseudocompactos, localmente compactos, conmutaivos y con traslaciones abiertas (ver [2]).
Se presentarán pruebas de estos resultados y se divulgarán algunos problemas que aún están abiertos.
Referencias
[1] Bokalo, Bogdan, and Igor Guran. “Sequentially compact Hausdorff cancellative semigroup is a topolo-
gical group.” Mat. Stud 6 (1996): 39-40.
[2] Hernández, Julio C., and Karl H. Hofmann. “A note on locally compact subsemigroups of compact
groups.” Semigroup Forum. Vol. 103. No. 1. Springer US, 2021.
[3] Numakura, Katsumi. “On bicompact semigroups.” Mathematical Journal of Okayama University 1.1 (1952):
99-108.
50
Análisis
Memorias | Conferencias
Maximal regularity for degenerate multiterm fractional
integro-differential equations and applications
Authors: Rafael Aparicio and Valentin Keyantuo
University of Puerto Rico, Rı́o Piedras Campus
E-mails: rafael.aparicio@upr.edu
Abstract: Many problems in the applied sciences can be formulated as multi-term differential or integro-
differential equations. In this work, we use the now well-developed theory of operator-valued Fourier
multipliers to obtain characterizations for well-posedness of degenerate multi-term degenerate fractional
differential equations with infinite delay in Banach spaces. We adopt the right-sided Liouville fractional de-
rivative on the real axis and the Lebesgue-Bochner spaces Lp(R, X), 1 ≤ p <∞ where X is a given Banach
space. In the situation where X is a UMD space and 1 < p < ∞, concrete conditions are given for well-
posedness based on the concept of R−boundedness for operator families. Applications are given for some
concrete integro-differential equations which appear in several models in the applied sciences, particularly
physics, biological sciences, rheology, and material science.
Keywords: Well-posedness, maximal regularity, operator-valued Fourier multiplier,R−boundedness, Liou-
ville-Weyl fractional derivative, Lebesgue-Bochner spaces.
52
IV Encuentro Matemático del Caribe
Integral inequalities of Simpson-Mercer type
using weighted integrals
Author: Juan E. Nápoles Valdes
Universidad Nacional del Nordeste
E-mail: jnapoles@exa.unne.edu.ar
Abstract: In this work, using weighted integrals, we obtain new integral inequalities of the Simpson-Mercer
type for the class of s-convex functions. Throughout the work it is shown that the results obtained contain
as particular cases, several known from the literature.
Keywords: Inequalities of Simpson-Mercer, weighted integral, s-convex function
Introduction
One of the basic concepts of a number of mathematical disciplines (function theory, optimization theory,
theory of inequalities, etc.) is the concept of convexity. This concept is closely related to the estimation of the
mean value of a function given on an interval.
Today, in the literature there are quite a few different convexity classes of functions that are defined to
refine, extend and improve estimates of the mean value of a function. A rather wide spectrum of convexity
classes and their relations is given in [3].
For convex functions on i(nterval [υ)1, υ2], the fol∫lowing inequality is one of the best known
υ1 + υ2 ≤ 1
υ2 φ(υ1) + φ(υ2)
φ φ(x)dx ≤ (3)
2 υ2 − υ1 υ 21
and it is called the Hermite-Hadamard Inequality ([1, 2]. Both inequalities hold in the reversed direction if
φ is concave.
Next we present the weighted integral operators, which will be the basis of our work.
Definición: Let φ ∈ L ([υ1, υ2]) and let w be a continuous and positive function, w : [0, 1] → [0,+∞), with
first order derivatives piecewise continuous on I . Then the weighted fractional integrals are defined by
(right and left respectively): ∫ r ( )
w σ − υ1J +φ(r) = w′ φ(σ)dσυ1 υ r − υ1 1
and ∫ υ ( )2 υ2 − σ
Jw−φ(r) = w′ φ(σ)dσ,υ2 r υ2 − r
with υ1 < r ≤ υ2.
The main purpose of this work is to obtain new variants of the classical Hermite-Hadamard Inequality,
in the context of the weighted integrals of the above definition. We will show that our results complement
or generalize several of those known from the literature.
53
Memorias | Conferencias
Referencias
[1] J. Nápoles, B. Bayraktar, S. Butt. “New integral inequalities of Hermite-Hadamard type in a generalized
context.” Punjab University Journal Of Mathematics, 53(11), (2021).
[2] J. Nápoles, B. Bayraktar. “On The Generalized Inequalities Of The Hermite - Hadamard Type.” FILO-
MAT, 35(14), (2021).
[3] J. E. Nápoles, F. Rabossi, A. D. Samaniego. “Convex functions: Ariadne’s thread or Charlote’s spider-
web?. Advanced Mathematical Models & Applications Vol.5, No.2, 2020.
54
IV Encuentro Matemático del Caribe
El espacio Pw∗K(nX∗, Y )
Autor: Michael Alexánder Rincón Villamizar
Universidad Industrial de Santander
E-mail: marinvil@uis.edu.co
Resumen: Pw∗ nK( X∗, Y ) denota el espacio de Banach de los polinomios n-homogéneos de X∗ a Y que
son compactos y w∗ −w−continuos. Mostraremos que Pw∗K(nX∗, Y ) tiene un subespacio topológicamente
isomorfo a `∞ si, y solo si, X o Y contienen un subespacio topológicamente isomorfo a `∞.
Palabras & frases claves: Polinomios n-homogéneos, copias de `∞.
Introducción
Si X y Y son espacios de Banach spaces y n ∈ N, entonces
1. L ( ns X,Y ) es el espacio de Banach de todos los operadores n-lineales, continuos y simétricos de-
× × ·nfinidos de X X · · ×X := Xn a Y junto con la norma del supremo. Si n = 1, escribimos
L( 1X,Y ) := L(X,Y ).
2. Lw∗s( nX∗, Y ) es el subespacio de Ls( nX∗, Y ) que consta de todos los operadores n-lineales y w∗ −
w−continuos. Lw∗(X∗, Y ) denota L ∗( 1X∗w , Y ).
3. P(nX,Y ) denota el espacio de Banach de todos los polinomios n−homogéneos continuous de X en
Y con la norma del supremo
4. P ∗(nw X∗, Y ) es el conjunto de elementos de P( nX∗, Y ) que son w∗ − w−continuous.
5. El subespacio de elementos compactos de L(X,Y ) es denotado por K(X,Y ). También K ∗(X∗w , Y ) es
el subespacio de todos los elementos compactos de L ∗w∗(X ,Y ).
Definición: Decimos que P ∈ P( nX,Y ) es compacto si P (BX) es un subconjunto relativamente compacto
de Y .
Pw∗ n ∗K( X ,Y ) es el subespacio cerrado de todos los elementos compactos de Pw∗( nX∗, Y ). Note que
si n = 1, entonces P ∗ ( nX∗w K , Y ) = Kw∗(X∗, Y ).
En [1] es mostrado que Kw∗(X∗, Y ) contiene un subespacio isomorfo a `∞ si, y solo si, X o Y contienen
un subespacio isomorfo a `∞. El objetivo de la charla es extender el resultado mencionado para el espacio
Pw∗ nK( X∗, Y ).
Referencias
[1] Drewnowski, Lech. Copies of l∞ in an operator space. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 108 (1990), 3,
523-526.
55
Álgebra
IV Encuentro Matemático del Caribe
Teoremas de Factorización de Kronecker para el
álgebra de Malcev excepcional
Autor: Victor Hugo López Solı́s
Universidad Nacional de Barranca
E-mail: vlopez2019@unab.edu.pe
Resumen: Probamos que una álgebra de Malcev M conteniendo el álgebra de Malcev excepcional M de
dimensión 7 es isomorfa a una suma directa (M⊗FA)⊕N , dondeA es una álgebra asociativa y conmutativa.
También, probamos que una superálgebra de Malcev M = M0 ⊕M1 cuya parte par M0 contiene M, es
isomorfa a una suma directa (M⊗F A)⊕N ′, donde A es una superálgebra asociativa y superconmutativa.
Palabras claves: (Super) álgebra de Malcev, álgebra de Malcev no de Lie, módulo de Malcev, Teorema de
Factorización de Kronecker.
Introducción
Una álgebra de Malcev es un espacio vectorial M con una operación binária bilineal (x, y) 7→ xy que
satisface las siguientes identidades:
x2 = 0, J(x, y, xz) = J(x, y, z)x, (4)
donde J(x, y, z) = (xy)z + (yz)x+ (zx)y es el Jacobiano de los elementos x, y, z ∈M.
Todas las álgebras de Lie son claramente álgebras de Malcev porque el Jacobiano de cualesquiera tres
elementos es cero. El espacio tangente T (L) de un bucle analı́tico de Moufang L es otro ejemplo de álgebra
de Malcev. SeaA una álgebra alternativa, si introducimos una nueva multiplicación por medio del conmuta-
dor [x, y] = xy−yx enA, obtenemos una nueva álgebra que será denotada porA(−). Es fácil de verificar que
el álgebraA(−) es una álgebra de Malcev. Todas las álgebras obtenidas de esta forma son llamadas especiales.
Un ejemplo clásico de una álgebra de Malcev no de Lie M está formado por los elementos de traza cero de
los elementos del álgebra de Cayley-Dickson con el corchete de Lie, está nueva álgebra es de dimension 7 y
es uno de los ejemplos más fundamentales.
Wedderburn probó que si una álgebra asociativa unitaria A contiene una subálgebra simple central de
dimensión finita B con el mismo elemento de identidad, entonces A es isomorfo a un producto de Kronec-
ker S ⊗F B, donde S es la subálgebra de los elementos que conmutan con cada b ∈ B. En particular, si A
contiene Mn(F) como subálgebra con el mismo elemento identidad, tenemos A ∼= S ⊗F Mn(F), donde S
es la subálgebra de los elementos que conmutan con cada matriz unitaria eij . Kaplansky en el Teorema 2
de [6] extendió el resultado de Wedderburn para las álgebras alternativas A y el álgebra de Cayley split B.
Jacobson en el Teorema 1 de [4] dio una nueva prueba del resultado de Kaplansky utilizando su clasifica-
ción de bimódulos alternativos completamente reducibles sobre un cuerpo de caracterı́sticas diferentes de
2 y finalmente el autor en [9] demostró que este resultado es válido para cualquier caracterı́stica. Usando
este resultado, Jacobson [4] demostró un teorema de factorización de Kronecker para el álgebra de Jordan
excepcional simple de las matrices de Cayley simétricas de dimensión 27.
En el caso de las superálgebras, M. López-Dı́az y I. Shestakov [8, 7] estudiaron las representaciones
de las superálgebras de Jordan excepcionales y alternativas simples en caracterı́stica 3 y a través de estas
representaciones obtuvieron algunos análogos del teorema de factorización de Kronecker para estas super-
algebras. También, el autor [9] demostró algunos análogos del teorema de factorización de Kronecker para
57
Memorias | Conferencias
las superalgebras alternativas simples centrales M(1|1)(F), O(4|4) y O[u], donde en particular el teorema
de factorización de Kronecker para M(1|1)(F) responde el análogo del problema de Jacobson paras las su-
perálgebras [4], que fue resuelto recientemente por el autor y I. Shestakov [10] en el caso split. Similarmente,
C. Martinez y E. Zelmanov [11] obtuvieron un teorema de factorización de Kronecker para la superálgebra
de Kac excepcional K10 de dimensión 10. También, Y. Popov [12] estudió las representaciones de las super-
algebras de Jordan no conmutativas simples de dimensión finita y demostró algunos análogos del teorema
de factorización de Kronecker para tales superalgebras.
Referencias
[1] Elduque, A., Shestakov, I.P., Irreducible non-Lie modules for Malcev superalgebras, J. Algebra 173 (1995)
622–637
[2] V. T, Filippov, Varieties of Mal’tsev algebras. Algebra and Logic 20 (1981) no 3, 200-210.
[3] V. T. Filippov, Prime Malcev algebras, Mat. Zametki 31 (1982), 669-677; English transl. in Math. Notes
31 (1982).
[4] N. Jacobson, A Kronecker factorization theorem for Cayley algebras and the exceptional simple Jordan
algebra. Amer. J. Math. 76, (1954). 447-452.
[5] N. Jacobson, Structure and Representations of Jordan Algebras, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., Vol.
XXXIX, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1968.
[6] I. Kaplansky, Semi-simple alternative rings, Portugal. Math.10 (1966), 37-50.
[7] López-Dı́az, M. C., Shestakov, Ivan P., Representations of exceptional simple Jordan superalgebras of
characteristic 3. Comm. Algebra 33 (2005), no. 1, 331-337.
[8] López-Dı́az, M. C., Shestakov, Ivan P., Representations of exceptional simple alternative superalgebras
of characteristic 3. Trans. Amer. Math. Soc. 354 (2002), no. 7, 2745-2758.
[9] López-Solı́s, V. H., Kronecker Factorization Theorems for Alternative Superalgebras, J. Algebra 528
(2019) 311-338.
[10] López-Solı́s, V. H., Shestakov, Ivan P., On a problem by Nathan Jacobson, Rev. Mat. Iberoam. 38 (2022),
no. 4, pp. 1219–1238.
[11] Martı́nez, C., Zelmanov, E., A Kronecker factorization theorem for the exceptional Jordan superalgebra.
Journal of Pure and Applied Algebra 177 (2003) no.1, 71-78.
[12] Popov, Y., Representations of simple noncommutative Jordan superalgebras I. J. Algebra 544 (2020):
329-390.
[13] Sagle, Arthur A., Malcev algebras. Trans. Amer. Math. Soc. 101 (1961) no 3, p. 426-458.
[14] Shestakov, I.P., Prime Malcev Superalgebras, Mat. Sb. 182 (1991), 1357–1366.
58
IV Encuentro Matemático del Caribe
A new construction of few-weight codes
via our GU codes
Autor: Eddie Arrieta Arrieta
Inter American University of Puerto Rico, PR, USA.
E-mail: earrieta@bayamon.inter.edu
Abstract: Linear codes with few weights have applications in cryptography, association schemes, designs,
strongly regular graphs, finite group theory, finite geometries, and secret sharing schemes, among other
disciplines. Two-weight linear codes are particularly interesting because they are closely related to objects in
different areas of mathematics such as strongly regular graphs, 3-rank permutation groups, ovals, and arcs.
There exist techniques to construct linear codes with few weights, for example, the systematic exposition
by Calderbank and Kantor in [9]. Ding et al., in [11] and [12] constructed few-weight codes using the trace
function and Tonchev et al., in [10] generalized Ding’s construction. In this talk, we present an elementary
way to get two- and three-weight codes from simplex codes and antipodal linear codes [1]. An interesting
application is the construction of uniformly packed linear codes from two-weight codes and quaternary
quasi-perfect linear codes from three-weight codes.
Keywords: Two- and three-weight codes, simplex code, antipodal linear codes, and optimal additive code
Introduction
Our formulation of linear codes is via the axiomatic approach introduced by Assmus and Mattson in
[3]. In this formulation a linear code C of length n and dimension k over Fq will be viewed as a pair (V,Λ),
where V is a k-dimensional vector space over Fq and Λ = (λ1, · · · , λn) is an n-tuple of (possibly repeated)
linear functionals in the dual space V ∗ of V. The members of Λ are the coordinate functionals of C, and a
vector v ∈ V is encoded as the codeword
c = Λ(v) = (λ1(v), · · · , λn(v)).
One assumes that Λ satisfies the coding axiom, i.e.,
v → c
is one-to-one, that is, λi(v) = 0 for all i, implies v = 0. The weight of the codeword c is
ω(c) = |{i | λi(v) =6 0}|
where v → c, see [15] and [18].
k
The q-ary simplex code of length n = q −1q−1 and dimension k, denoted by Sk(q), is then obtained by
taking Λ to comprise one nonzero element of each one-dimensional subspace of V ∗. One can show that
these q-ary simplex codes have constant weight, minimum distance d = qk−1, and weight distribution
A0 = 1, Ad = q
k − 1.
Let C be a code. There exists an integer r ≥ 1 such that C \{0} = ∪ri=1Cwi , where Cwi = {u ∈ C : ω(u) =
wi}, and we call Awi = |Cwi |.
From [5], [8] and [12] we have the following definition.
Definition: An [n, k, d]q code C such that C \ {0} = ∪ri=1Cw is called an r-weight code. The sequencei
1, Aw , Aw , · · · , Aw is called the weight distribution of C. In addition, if C is a two-weight code such that1 2 r
w1 = d and w2 = n, the code is called antipodal.
59
Memorias | Conferencias
References
[1] Arrieta Arieta, Eddie, and Heeralal, Jandwa. “A new construction of two-, three- and few-weight codes
via our GU codes and their applications.” AAECC(2022). https://doi.org/10.1007/s00200-022-00561-8
[2] Arrieta Arrieta, Eddie, and Janwa, Heeralal. “A Go-Up code construction from linear codes yielding
additive codes for quantum stabilizer codes.” Proceedings of the 52nd Southeastern International Conference
on Combinatorics, Graph Theory, and Computing, PROMS, (2021)
[3] Assmus, Jr.E.F., and Mattson, H. F. “Error-correcting codes: An axiomatic approach.” Information and
Control, 6(4), 315− 330, (1963)
[4] Assmus Jr, E.F., and Mattson Jr, H. F. “New 5-designs.” J. Comb. Theory. 6, 122− 151, (1969)
[5] Bierbrauer, J. “Introduction to coding theory.” CRC Press Taylor Francis Group, 2nd, (2017)
[6] Bierbrauer, J., Bartoli, D., Giorgio, F., Marcugini S., and Pambianco F. ”The nonexistence of an additive
quaternary [15, 5, 9]−code.” Finite Fields and Their Applications, 36, 29− 40, (2015)
[7] Borges, J., Rifa, J., and Zinoviev, V. A. ”On Completely Regular Codes.” Problems of Information Trans-
mission, 55, 1− 45, (2019)
[8] Borges, J., Rifa, J., and Zinoviev, V. A. ”On q-ary linear completely regular codes with ρ = 2 and antipo-
dal dual.” Advances in Mathematics of Communications, 4, 567, (2010)
[9] Calderbank, R., and Kantor, W.M. ”The Geometry of two-weight codes.” Bulletin of the London Math-
ematical Society, 18(2), 97− 122, (1986)
[10] Crnkovic, D., Svob, A., and Tonchev, V. D. ”Cyclotomic trace codes.” Algorithms, 12(8), (2019)
[11] Ding, C., Luo, J., and Niederreiter, H. ”Two-weight codes punctured from irreducible cyclic codes.”
Coding And Cryptology, World Scientific, 119− 124, (2008)
[12] Ding, K., and Ding, C. ”A Class of two-weight and three-weight codes and their applications in secret
sharing.” IEEE Transactions on Information Theory, 61(11), 5835− 5842, (2015)
[13] Janwa, Heeralal. ”Relation among parameters of codes. Ph.D. Thesis”. Syracuse University, United
States, (1966).
[14] Huffman, W. C., and Pless, V. ”Fundamentals of error-correcting codes.” Cambridge university press,
(2010)
[15] Jungnickel, D., and Tonchev, V. D. ”On Bonisolis theorem and the block codes of Steiner triple systems.”
Designs, Codes and Cryptography. 86(3), 449− 462, (2018)
[16] MacWilliams F. J., and Sloane N. J. A. ”The theory of error correcting codes.” Elsevier, (1977)
[17] van Tilborg Henricus C. A.” Uniformly packed codes” (1976).
[18] Ward, H. N. ” An Introduction to divisible codes.” Designs, Codes, and Cryptography, 17(1): 73 − 79,
(1999)
[19] Weiss, E.: ”Addendum: Linear codes of constant weight.” Siam Journal on Applied Mathematics,
1(15), (1966).
[20] Peterson, W. W., and Weldon, E. J. Jr ”Error-correcting codes.” MIT press, (1972)
60
IV Encuentro Matemático del Caribe
New criteria for absolutely irreducible polynomials
defined over finite fields
Autor: Moises Delgado
Universidad de Puerto Rico, Recinto de Cayey
E-mail: moises.delgado@upr.edu
Abstract: A multivariate polynomial defined over a field K is absolutely irreducible if it is irreducible
over the algebraic closure of the field (K). Finding criteria to test absolute irreducibility is fundamental for
applications in pure and applied mathematics as in coding theory and cryptography. There are very few
practical criteria for absolute irreducibility known so far. In this research we introduce novel techniques
based on the 2 higher-degree terms of polynomials and introduce new absolute irreducibility criteria for
multivariate polynomials over finite fields. As a consequence of our techniques, a bound for the number of
absolutely irreducible factors of some multivariate polynomials is presented.
Keywords: Multivariate Polynomial, homogeneous polynomials, irreducibility, absolute irreducibility, square-
free polynomials, degree-gap.
References
[1] Delgado Moises, and Heeralal Janwa. On the conjecture on APN functions and absolute irreducibility
of polynomials. Designs, Codes and Cryptography 82.3 (2017): 617-627.
[2] Delgado, Moises, and Heeralal Janwa. ”Some new results on the conjecture on exceptional APN func-
tions and absolutely irreducible polynomials: the gold case.” Advances in Mathematics of Communica-
tions 11.2 (2017): 389.
[3] Agrinsoni Santiago, Carlos Alberto. Some new absolutely irreducibility testing criteria and their ap-
plications to the proof of a conjecture on exceptional almost perfect nonlinear (E-APN) function. Diss.
2022.
61
Memorias | Conferencias
Álgebras de grupo y teorı́a de códigos
Autores: John H. Castillo, Alexander Holguı́n Villa
Universidad de Nariño, Universidad Industrial de Santander
E-mail: jhcastillo@udenar.edu.co, aholguin@uis.edu.co
Resumen: En esta segunda charla presentamos las nociones básicas de Teorı́a de Códigos y usamos la versión
del Teorema de Wedderburn-Artin en el contexto de los anillos de grupo, conocido como Teorema de
Maschke, para exponer algunos resultados obtenidos por Polcino Milies y colaboradores en [1, 2].
Palabras clave: Álgebras de grupo, idempotentes, ideales minimales, teorı́a de códigos.
Introducción
Un R-módulo M es semisimple, si todo submódulo de él es sum⊕ando directo. Esto es, para todo
submó⊕dulo N de M existe un submódulo W de M tal que M = N W . Ası́ las cosas, el anillo R sedice que es semisimple si RR es semisimple. En otras palabras, R es semisimple si ∀I l R, ∃J l R,
R = I J .
Teorema: Sea R un anillo. Entonces, las siguientes condiciones son equivalentes
1. Todo R-módulo es semisimple.
2. R es un anillo semisimple.
3. R es una suma directa de un número finito de ideales izquierdos minimales.
La caracterización de anillos semisimples se conoce como Teorema de Wedderburn-Artin, [2, Thm.
2.6.18, pág. 104].
Teorema de Wedderburn-Artin: Un anillo R es semisimple, si y solo si, es isomorfo a una suma directa de
álgebras de matrices sobre anillos de división, es decir
⊕r
R ∼= Mni (Di) ,
i=1
donde los Di son anillos de división y los ni son las dimensiones de ciertos R-módulos simples vistos como
Di-módulos.
Además se puede demostrar que en un anillo semisimple R todo ideal izquierdo es generado por un
idempotente. ⊕
Teorema: Sea tR = i=1 Li una descomposición como una suma directa de ideales izquierdos minimales.
Entonces, existe una familia {e1, . . . , et} de elementos de R tal que
1. 0 =6 ei es un idempotente,
2. eiej = 0 para i 6= j,
3. 1 = e1 + · · ·+ et,
4. ei es primitivo.
62
IV Encuentro Matemático del Caribe
Recı́procamente, si existe una familia {⊕e1, . . . , et} satisfaciendo las condiciones 1) − 4) arriba, entonces los
ideales Li = Rei son minimales y
t
R = i=1 Li.
Dado un un anillo R y un grupo G son conocidas las condiciones necesarias y suficientes, claro está
sobre R y G, para que el anillo de grupo RG sea semisimple, [2, Thms. 3.4.7 & 3.4.9, pág. 141-142].
Teorema de Maschke: SeaG un grupo. Entonces el anillo de grupoRG es semisimple si y solo si se cumplen
las siguientes condiciones
i) R es semisimple. ii) G es finito. iii) |G| ∈ U(R).
Un ideal en una álgebra de grupo abeliana finita se denomina código abeliano.∑Un ideal (izquierdo) de
una álgebra de grupo se denomina código de grupo (izquierdo). El peso de α = g∈G αgg ∈ FqG, es el
número de elementos en su soporte
w(α) = |{g ∈ G : αg 6= 0}| = |supp(α)|.
Para un ideal I de FqG, definimos el peso mı́nimo de I como
w(I) = min{w(α) : 0 =6 α ∈ I}.
Un código de grupo se denomina minimal si el ideal correspondiente es minimal. Se puede demostrar
que estudiar códigos de grupo minimales es equivalente a encontrar un sistema completo de idempotentes
ortogonales primitivos.
Referencias
[1] Guerreiro, Marinês. “Group algebras and coding theory.” São Paulo Journal of Mathematical Sciences 10.2
(2016): 346-371.
[2] Polcino Mllies, César. “Group algebras and coding theory: a short survey.” Revista Integración2 37.1
(2019): 153-166.
[3] Polcino Milies, César and Sehgal, Sudarshan K. An introduction to group rings. Vol. 1. Springer Science &
Business Media, 2002.
63
Memorias | Conferencias
Anillos de grupo dúo
Autores: Brayan Stiven Flórez Burbano, Alexander Holguı́n Villa, John H.
Castillo
Universidad Industrial de Santander, Universidad de Nariño
E-mail: brayansfb@hotmail.com, aholguin@uis.edu.co, jhcastillo@udenar.edu.co
Resumen: Los anillos conmutativos son un caso particular de la teorı́a de anillos; estos anillos cuentan con
una amplia investigación y resultados muy importantes, sin embargo, su comportamiento es diferente del
caso general, puesto que existen varios teoremas que son ciertos en el caso conmutativo pero no en general.
En este sentido, cualidades como dúo, reversible, simétrico y SI, son ejemplos de algunas propiedades de la
teorı́a de anillos que generalizan la conmutatividad, es decir, se busca extender ciertos teoremas de anillos
conmutativos a un caso más general.
En esta propuesta se desea mostrar algunos avances del trabajo de investigación titulado “La propiedad
dúo en anillos y anillos de grupo”, especı́ficamente presentar algunos resultados que se han estudiado en el
marco de esta investigación sobre la propiedad dúo en anillos con unidad y en anillos de grupo KG donde
K es un cuerpo y G un grupo y sus posibles conexiones con las propiedades reversible, simétrico y SI.
Palabras clave: Anillos, Grupos, Anillos de de grupo, Dúo, Reversible, Simétrico, SI.
Introducción
Dados un grupo multiplicativo G y un anillo R, al usar conjuntamente las operaciones de estas estruc-
turas se obtiene una nueva denominada anillo de grupo. Más exactamente se tiene.
Definición: Sean R un anillo y G ungrupo multiplicativo (no necesariamente finito). El conjunto∑ 
RG =  agg : ag ∈ R, ag = 0 casi siempre ,
g∈G
de todas las combinaciones lineales formales (finitas) con las operaciones de suma y producto dadas por:
∑ ∑
α+ β = (ag + bg) g y αβ = agbhgh,
∑ ∑ g∈G g,h∈G
donde α = g∈G agg y β = g∈G bgg, se llama el anillo de grupo de G sobre R.
Observación: El anillo RG tiene estructura de R-m∑ódulo definiendo el producto de λ ∈ R por
α = agg ∈ RG
g∈G
de la siguiente forma ∑ ∑
R×RG 3 (λ, α)→7 λ · agg = (λag) g ∈ RG.
g∈G g∈G
Si R es conmutativo, RG es una R-álgebra y se llama la álgebra de grupo de G sobre R.
64
IV Encuentro Matemático del Caribe
A continuación, se presenta la propiedad dúo, la cual es el objetivo principal de estudio en este trabajo.
Definición: Sea R un anillo asociativo. El anillo R es dúo izquierdo (derecho) si cada ideal izquierdo (dere-
cho) es un ideal bilateral. Se dice que R es dúo si es dúo izquierdo y dúo derecho.
Observación: Es claro que todo anillo conmutativo R tiene la propiedad dúo. Con base en esto, el estudio
de la propiedad dúo tiene sentido en anillos no conmutativos, de hecho, esta y otras propiedades anillo-
teóricas se estudian con el fin de extender algunos resultados conocidos para anillos conmutativos a un caso
más general.
En este trabajo se está estudiando las siguientes propiedades y la relación que tienen con la propiedad
dúo en anillos y anillos de grupo, siendo esta última estructura la de mayor interés.
Definición: Sean R un anillo asociativo y α, β ∈ R.
1. R es reversible, si αβ = 0 implica que βα = 0.
2. R es simétrico, si αβγ = 0 implica que αγβ = 0, para todo γ ∈ R.
3. R tiene la propiedad SI, si αβ = 0 implica que αRβ = {0}, es decir, αγβ = 0, para todo γ ∈ R.
Referencias
[1] Bell, Howard E., and Yuanlin Li. “Duo group rings.” Journal of Pure and Applied Algebra 209.3 (2007):
833-838.
[2] Bhattacharya, Phani Bhushan, Surender Kumar Jain, and S. R. Nagpaul. Basic abstract algebra. Cambridge
University Press, 1994.
[3] Gao, Weidong, and Yuanlin Li. “On duo group rings.” Algebra Colloquium. Vol. 18. No. 01. Academy of
Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences, and Suzhou University, 2011.
[4] Gutan, Marin, and Andrzej Kisielewicz. “Reversible group rings.” Journal of algebra 279.1 (2004): 280-291.
[5] Marks, Greg. “Reversible and symmetric rings.” Journal of Pure and Applied Algebra 174.3 (2002): 311-318.
[6] Polcino Milies, César, and Sudarshan K. Sehgal. “An introduction to group rings.” Algebras and Applica-
tions 1 (2002).
65
Memorias | Conferencias
Buenas graduaciones en anillos de matrices
Autor: Héctor Pinedo Tapia
Universidad Industrial de Santander
E-mail: hpinedot@uis.edu.co
Resumen: Dado un anillo de matrices con una buena graduación, presentaremos caracterizaciones sobre
cuando este es fuertemente graduado o un producto cruzado y abordaremos el problema de determinar las
condiciones para que sea épsilon-fuertemente graduado.
Palabras clave: Anillos fuertemente graduados, Anillos épsilon fuertemente graduados, anillos de matrices.
Introducción
Un anillo R es graduado por un g⊕rupo G o G-graduado cuando hay una familia {Rg : g ∈ G} de sub-
grupos abelianos de R tales que R = g∈GRg y para cada g, h ∈ G se verifica que RgRh ⊆ Rgh en el caso
en que la contenencia anterior sea una igualdad decimos que R es fuertemente graduado, además si cada
Rg, g ∈ G contiene un elemento invertible decimos que R es un producto cruzado, es bien sabido que todo
producto cruzado es fuertemente graduado, pero la recı́proca no es necesariamente cierta. En esta charla
trataremos sobre graduaciones en álgebras de matrices Mn(k), donde k es un cuerpo, en particular sobre las
llamadas buenas graduaciones, en estas las matrices elementales ei,j son elementos homogeneos. Sigue de [1]
que una graduación en Mn(K) es buena si y solo si se puede obtener de la siguie⊕nte forma:
Sea k un cuerpo conG-graduación trivial, esto es kg = {0}, para g 6= e y V = g∈G Vg un k-espacio vec-
torial graduado de dimensión n. El isomorfismo Endk(V ) 'Mn(K) induce unaG-graduación enMn(K) co-
mo sigue: Sea (v )ni i=1 una base de V que consiste de elementos homegéneos, digamos ∂(vi) = gi, 1 ≤ i ≤ n,
luego los operadores lineales {Ti,j}1≤i,j≤n, donde Ti,j(vk) = δk,jvi para 1 ≤ k ≤ n y δ la función de Kronec-
ker, forman una base EndK(V ) y el isomorfismo de álgebras EndK(V ) ' Mn(K) se obtiene enviando Ti,j a
ei,j , en particular ei,j es homogéneo con ∂(e −1i,j) = ∂(vi)∂(vj) . Además en [1], se dieron condiciones sufi-
cientes y necesarias para determinar cuando este tipos de matrices son fuertemente graduadas o productos
cruzados.
Por otro lado, en [2] fue recientem⊕ente introducida y estudiada la clase de anillos epsilon-fuertemente
graduados, un anillo G-graduado R = g∈GRg es llamado epsilon-fuertemente graduado, si para g ∈ G
el grupo Rg es un (RgRg−1 , Rg−1Rg)-bimódulo unitario; presentaremos condiciones suficientes y necesarias
para determinar cuando un anillo de matrices con una buena graduación es épsilon fuertemente graduado.
Referencias
[1] S. Dǎscǎlescu, S., Ion, B., Nǎstǎsescu C., and Rios Montes, J. (1999) Group Gradings on FullMatrix Rings.
J. Algebra 220 : 709 728.
[2] Nystedt, P., Öinert, J., Pinedo, H. (2018). Epsilon-strongly graded rings, separability and semisimplicity.
Journal of Algebra 514: 1-24.
66
IV Encuentro Matemático del Caribe
Partial difference sets from uniform standard
cyclotomy on a product of two equal finite fields
Authors: Juan Manuel Montoya, L. Martı́nez
University of Pamplona - Colombia, University of the Basque Country
E-mail: jmontoya002@ikasle.ehu.eus
Abstract: In the article “cyclotomy over products of finite fields and combinatorial applications” G.A. Fer-
nandez Alcober, R. Kwashira and L. Martı́nez introduced a new type of cyclotomy in products of finite
fields, which they called standard cyclotomy, and used it to obtain partial difference sets, divisible diffe-
rence sets, relative difference sets, and three-class association schemes. We will use a particular case of this
cyclotomy to link the uniform standard cyclotomy over products of two equal finite fields with the partial
spread constructions of partial difference sets and analyze some of their automorphism groups, and we will
show that they are larger than the ones obtained when a randomly chosen partial spread is taken, and so
the use of this uniform standard cyclotomy produces partial difference sets that are more symmetric than
the ones obtained when a random partial spread is used.
Keywords: cyclotomy, partial difference sets, strongly regular graphs.
Introducción
Strongly regular graphs are undirected regular graphs in which the number of 2-paths joining two
different vertices depends only on if those vertices are adjacent or are non-adjacent. A useful way to obtain
strongly regular graphs with prescribed automorphisms groups acting regularly on the vertex sets is to use
partial difference sets on finite groups. A classic construction of partial difference sets uses partial spreads
of projective spaces.
G. A. Fernandez-Alcober, R. Kwashira, and L. Martı́nez introduced in [1] a new type of cyclotomy over
products of finite fields, the standard cyclotomy, in which, given n fields Fq , . . . ,Fq of orders q1, . . . , qn,1 n
respectively, and given a primitive root θk in each Fq for k = 1, . . . , n and a natural number e which is ak
common divisor of all the qk − 1, the multiplicative group
H = {(θr1 , . . . , θrn)|Σn1 n k=1rk = 0}
acts by multiplication on the additive group of the cartesian product Fq1×· · ·×Fqn , and this action originates
the cyclotomy. We will obtain an application of standard cyclotomy to get special spread constructions of
partial difference sets in which the automorphism groups are larger than the ones obtained taking randomly
chosen partial spreads. These automorphism groups will be analyzed using the computational package GAP
(Groups, Algorithms and Computing).
References
[1] G.A. Fernandez-Alcober, R. Kwashira, L. Martı́nez. “Cyclotomy over products of finite fields and com-
binatorial applications.” European Journal of Combinatorics 31 (2010).
67
Memorias | Conferencias
Teorema de Wedderburn-Artin & anillos de grupo
Autores: Alexander Holguı́n Villa, John H. Castillo
Universidad Industrial de Santander, Universidad de Nariño
E-mail: aholguin@uis.edu.co, jhcastillo@udenar.edu.co
Resumen: En esta primera charla presentamos (hecho conocido) una traducción del teorema de Wedderburn-
Artin en el contexto de los anillos de grupo, haciendo notar la información adicional que se obtiene sobre
dicha estructura cuando ahora el anillo R es un cuerpo F. Además, se desarrollan algunos ejemplos es-
pecı́ficos mostrando la potencialidad del resultado en este contexto.
Palabras clave: Anillo semisimple, anillos de grupo, suma directa.
Introducción
Debido al gran desarrollo que se presentó en la segunda mitad del siglo XIX de las ası́ denominadas
álgebras asociativas lineales, que consideradas en abstracto son los anillos, y la necesidad de clasificar estas
estructuras, varios conceptos importantes aparecieron y nuevas técnicas fueron creadas; trabajo que condujo
al teorema de estructura de Wedderburn-Artin, [2, Thm. 2.6.18, pág. 104].
Teorema de Wedderburn-Artin: Un anillo R es semisimple, si y solo si, es isomorfo a una suma directa de
álgebras de matrices sobre anillos de división, es decir
⊕r
R ∼= Mni (Di) ,
i=1
donde los Di son anillos de división y los ni son las dimensiones de ciertos R-módulos simples vistos como
Di-módulos.
Dado un un anillo R y un grupo G son conocidas las condiciones necesarias y suficientes, claro está
sobre R y G, para que el anillo de grupo RG sea semisimple, [2, Thms. 3.4.7 & 3.4.9, pág. 141-142].
Teorema de Maschke: SeaG un grupo. Entonces el anillo de grupoRG es semisimple si y solo si se cumplen
las siguientes condiciones
i) R es semisimple. ii) G es finito. iii) |G| ∈ U(R).
Referencias
[1] Polcino Mllies, César. “Group algebras and coding theory: a short survey.” Revista Integración 37.1 (2019):
153-166.
[2] Polcino Milies, César and Sehgal, Sudarshan K. An introduction to group rings. Vol. 1. Springer Science &
Business Media, 2002.
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IV Encuentro Matemático del Caribe
Identities for a parametric Weyl algebra over a ring
Author: Carlos Arturo Rodriguez Palma
Universidad Industrial de Santander
E-mail: carpal1878@gmail.com
Abstract: Let A be an associative algebra over F and f = f(x1, . . . , xn) ∈ F〈X〉, where F〈X〉 be the free
associative algebra on the countable set X = {x1, x2, . . .} over a field F. We say that f is a Polynomial Identity
of A if f(a1, . . . , an) = 0 for all a1, . . . , an ∈ A. In this case, we write f ≡ 0. The set Id(A) of polynomial
identities of A is a T−ideal of F〈X〉, i.e. Φ(Id(A)) ⊆ Id(A) for all Φ ∈ End(F〈X〉). If Id(A) 6= 0, then A is
called a PI-algebra.
This is a joint work with Artem Lopatin, professor at the State University of Campinas (Brazil). In 2015
Benkart, Lopes and Ondrus introduced and studied in a series of papers the infinite-dimensional unital
associative algebra Ah generated by elements x, y, which satisfy the relation yx − xy = h for some 0 6= h ∈
F[x]. We generalize this construction to Ah(B) by working over the fixed F-algebra B instead of F. Namely,
for h ∈ Z(B)[x], the parametric Weyl algebra Ah(B) over the ring B is the unital associative algebra over F
generated by B and letters x, y commuting with B subject to the defining relation yx− xy + h (equivalently,
[y, x] = h, where [y, x] = yx− xy), i.e.,
Ah(B) = B〈x, y〉/id{yx− xy − h}.
We describe the polynomial identities for Ah(B) over the infinite field F in case h ∈ B[x] satisfies certain
restrictions.
Keywords: polynomial identities, matrix identities, Weyl algebra, Ore extensions, positive characteristic.
References
[1] A. GIAMBRUNO, M. ZAICEV, Polynomial identities and asymptotic methods, Math. Surveys Monographs
vol. 122, AMS, 2005.
[2] A. Lopatin, C.A. Rodriguez Palma, Identities for a parametric Weyl algebra over a ring, J. Algebra, 595 (2022),
279–296.
[3] G. Benkart, S.A. Lopes, M. Ondrus, A parametric family of subalgebras of the Weyl algebra I. Structure and
automorphisms, Transactions of the American Mathematical Society 367 (2015), no. 3, 1993–2021.
69
Memorias | Conferencias
La conjetura de la suma exponencial local en dos variables
Autores: Adriana Alexandra Albarracı́n Mantilla, Omar Felipe Osorio
Cortés
Universidad Industrial de Santander
E-mail: alealbam@uis.edu.co, omar2208105@correo.uis.edu.co
Resumen: Sean p-primo, (Qp, | · |p) un espacio métrico completo, donde Zp es el anillo de enteros del campo
p-ádico Q , Z×p p denota al grupo de unidades, y pZp es su ideal maximal, entonces se definen las sumas
exponenciales ∑ ∑
S(φ, ps
1 s 1 s
) = e2πiφ(x)/p y S0(φ, ps) := e2πiφ(x)/p
psn psn
x∈[Z/psZ]n x∈[Z/psZ]n
x≡0modp
donde φ(x) ∈ Z[x], es un polinomio no constante, con x = (x1, x2, . . . , xn), y s ∈ C. Un problema central
es describir el comportamiento asintótico de S(φ, ps). En esta charla se mostrará la conjetura sobre la suma
exponencial local S0(φ, ps), que postula la existencia de una constante C, independiente de p y s, y un
conjunto finito P = Pφ de primos tales que para todo p ∈/ P , se tiene que |S0| ≤ Csn−1p−σcs, donde
σc = σc(φ) es el ı́ndice de oscilación compleja.
Palabras clave: Suma exponencial, suma local, conjetura de Igusa.
Introducción
Los números p-ádicos Qp fueron introducidos por Kurt Hensel en 1897, cuando mostró la relación de las
estructuras de los anillos de factorización única Z,C[x] y su correspondiente cuerpo de fracciones Q,C(x).
Este campo p-ádico se construye definiendo una norma sobre Q, distinta a la usual, conocida como norma
p-ádica, | · |, entonces se fija p-primo, se define una función de valuación ν sobre Q, de tal forma que |x|p :=
p−ν(x). Dado que (Qp, | · |p) es un espacio métrico y por lo tanto está dotado de una topologı́a que permite
definir una medida de Haar, es posible integrar, el estudio de la integración p-ádica ha dado respuesta a
diversos problemas planteados en esta área de la matemática, uno de ellos, son las sumas exponenciales.
Fijando un caracter aditivo e : Qp → C, es posible de∫scribir la suma exponencial como
s
S(φ, ps) = eφ(x)/p dx,
Zsp
un problema central en matemática, es describir el comportamiento asintótico de S(φ, ps). La conjetura de
la suma exponencial local se demuestra en el caso general en [2], para ello se establece la conjetura de Igusa
para una suma exponencial completa donde φ es un polinomio homogéneo. En dimensión dos, Lichtin en
[4] da una prueba alternativa de la conjetura de Igusa y desde una perspectiva diferente, en [1] se muestra
una descripción detallada del comportamiento de la suma truncada en dos dimensiones basada en los polos
correspondientes de la función zeta local bajo una condición de no degeneración adicional. En esta charla se
estudia la suma exponencial local en dimensión dos, y se explica la demostración de la conjetura asociada
al poliedro de Newton, objeto matemático que asocia un polinomio con un poliedro en el espacio lineal Rn,
y se define como la envolvente convexa de las n-uplas formadas por las potencias de los monomios que
conforman al polinomio [3].
70
IV Encuentro Matemático del Caribe
Referencias
[1] Albarracı́n-Mantilla, Adriana A., and Edwin León-Cardenal. “Igusa Local Zeta Functions and Exponen-
tial Sums for Arithmetically Non Degenerate Polynomials.” Journal de Theorie des Nombres de Bordeaux
30.1 (2018): 331-354.
[2] Cluckers, R., and Mustata, M. “Igusa Conjecture for exponential sums: Optimal estimates for nonratio-
nal singularities.” Forum of Mathematics, Pi, 7, E3. doi:10.1017/fmp.2019.3
[3] Hoornaert Kathleen, “Newton Polyhedra and the poles of Igusa local zeta function.” Catholic Unviersity
Leuven, Department of Mathematics, Bull. Belg. Math. Soc. 9(2002), 589-606.
[4] Lichtin, Ben. “On a conjecture of Igusa. Mathematika”, 59(2), 399-425. doi:10.1112/S0025579312001167,
2013.
71
Memorias | Conferencias
Las Matemáticas detrás de algunos dibujos de Escher
Autor: Marı́a Isabel Hernández
Centro de investigación en Matemáticas, A .C.-CIMAT, Mérida Yucatán - México
E-mail: isabel@cimat.mx
Resumen: M. C. Escher fue un artista que entendı́a muy bien algunos conceptos matemáticos (simetrı́as,
proyecciones, etc.) los cuales le ayudaron a realizar algunas de sus obras. En esta charla hablaremos sobre
la mateática que usó para generar sus mosaicos.
72
IV Encuentro Matemático del Caribe
Nil álgebras conmutativas de potencias
asociativas y sus módulos
Autor: Elkin Oveimar Quintero Vanegas
Universidade Federal do Amazonas
E-mail: eoquinterov@ufam.edu.br
Resumen: En esta charla introduciremos una clase particular de álgebras, aquellas que para cada elemento
satisface que la subálgebra generada por ese elemento es asociativa, álgebras llamadas de poténcias asocia-
tivas. Esta clase de álgebras es una generalización de clases bien conocidas y estudiadas, como las álgebras
de Jordan, las álgebras de Lie, las álgebras asociativas, entre otras. Después, vamos a estudiar el comporta-
miento de los módulos irreductibles para algunas álgebras con producto cero. El estudio de estos módulos
aún es vago y es necesário un mayor conocimiento de estos objetos.
Palabras clave: álgebras de poténcias asociativas, módulos, Problema de Albert
Introducción
Las álgebras conmutativas de poténcias asociativas son una generalización de las álgebras asociativas,
las álgebras de Jordan, entre otras clases de álgebras que son de interés de muchos matemáticos. Debido a
ese grande interés, las álgebras simples de dimensión finita en las clases de álgebras asociativas, de Jordan,
de Lie, entre otras, son bien conocidas. De está forma, su envolvente multiplicativa es también conocida. Sin
embargo, en la clase de las álgebras conmutativas de poténcias asociativas, la clasificación de las álgebras
simples aún no se ha completado. Cuando una álgebra en esa clase tiene un elemento idempotente, su clasi-
ficación es conocida, pero para las nilálgebras esta es una pregunta que continua abierta hasta el momento.
A. A. Albert sugirió que todas las nilálgebras de dimensión finita sobre cuerpos de caracteristica diferente
de 2 en esta clase debian ser nilpotentes. Sin embargo, en 1972 se dio a conocer un ejemplo de una nilálgebra
de dimensión 5 que es soluble pero no nilpotente. Desde entonces, se le conoce al siguiente problema como:
Problema de Albert: Toda nilálgebra conmutativa de poténcias asociativas de dimension finita sobre un
cuerpo de caracterı́stica diferente de 2 es soluble.
Hasta el momento se conocen soluciones parciales, sin embargo, todas esas soluciones estudian las pro-
piedades internas del álgebra. Recientemente, I. Shestakov sugirió que estudiar los módulos irreductibles
sobre la clase de las álgebras conmutativas de poténcias asociativas de nilı́ndice 4 puede ajudar a compren-
der mejor el Problema de Albert. La gran dificultad para desenvolver este camino es el poco conocimiento
acerca de estos objetos. Solo se conoce su clasificación completa para la cero álgebra de dimensión 2. En este
caso, existe un único módulo irreductible no trivial de dimensión 3. Para otras álgebras esta clasificación esta
lejos de concluir. Sobre la cero álgebra de dimensión 4 serán dados algunos ejemplos de módulos irreduc-
tibles de dimensión 3n para cualquier número natural n. Esto, particularmente, implica que la envolvente
multiplicativa de las álgebras conmutativas de poténcias asociativas de dimensión finita no satisfacen una
condición general en su dimensión, contrário a las álgebras de Jordan, donde dada una álgebra de Jordan de
dimensión finita, su envolvente multiplicativa es de dimensión finita también, o como en las álgebras de Lie,
donde dada una álgebra de Lie de dimensión finita, su envolvente multiplicativa es de dimensión infinita.
En el caso de las álgebras conmutativas de poténcias asociativas, tenemos que la envolvente multiplicativa
de la cero álgebra de dimensión 2 es finita, sin embargo, la envolvente multiplicativa de la cero álgebra de
dimensión 4 es de dimensión infinita.
73
Memorias | Conferencias
Referencias
[1] E. O. Quintero Vanegas and J. C. Gutierrez Fernandez, Nilpotent linear spaces and Albert’s problem, Lin.
Alg. its Appl. Vol 518 (2017) 57 – 78
[2] E. O. Quintero Vanegas, Embedding of sl2(C)-modules into four-dimensional power-associative zero-algebra
modules, Bull. Braz. Math. Soc., Vol 53 (2022), 343-355
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Geometría
Memorias | Conferencias
Estructuras de contacto y sus singularidades
Author: Mikhail Malakhaltsev, Fabián Antonio Arias Amaya
Universidad de los Andes, Corporación Politécnico de la Costa
E-mail: mikarm@uniandes.edu.co, farias374@hotmail.com
Resumen: Una estructura de contacto sobre una variedad M de dimensión (2n + 1) es una distribución ∆
completamente no integrable. Localmente esta estructura viene determinada por 1-forma ω que no se anula
y tal que ∆ = ker(ω) y ω ∧ (dω)n 6= 0. En la charla vamos a hablar un poco sobre la historia del concepto de
estructura de contacto y explicar los resultados principales sobre las estructuras de contacto, en particular
la relación entre la geometrı́a de variedades de contacto y variedades simplécticas. Luego consideraremos
varios tipos de singularidades de la estructura de contacto con ejemplos correspondientes y mostraremos
como se puede encontrar invariantes de las singularidades.
Referencias
[1] B. Jakubczyk and M. Zhitomirskii. “Local reduction theorems and invariants for singular contact struc-
tures.” Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 51(1), 237–295 (2001).
[2] F. A. Arias Amaya and M. Malakhaltsev. “Topological and Differential Invariants of Singularities of
Contact Structure on a Three-Dimensional Manifold.” Lobachevskii Journal of Mathematics, 41(12), 623–633
(2020).
[3] Zhitomirskiı̆, Mikhail. Typical singularities of differential 1-forms and Pfaffian equations. Vol. 113. American
Mathematical Soc., 1992.
76
IV Encuentro Matemático del Caribe
Estudio de la estabilidad en ramas de bifurcación
de hipersuperficies con CMC y frontera libre
Autor: Carlos Wilson Rodrı́guez Cárdenas
Universidad Industrial de Santander (UIS), Escuela de Matemáticas
E-mail: cwrodrig@uis.edu.co
Resumen: Sea (M, g) es una variedad Riemanniana de dimensión n + 1, con frontera suave ∂M y Σ una
variedad diferenciable de dimensión n, también con frontera suave ∂Σ. Sea también {ϕt}−<t< una familia
suave de inmersiones tal que, para cada t ∈ (−, ), ϕt : Σ → M es una inmersión con CMC (Curvatura
Media Constante) y frontera libre. Dada la existencia de una rama de bufurcación para esta familia ϕt,
estudiamos la estabilidad de las inmersiones en estos brazos de bifurcación.
Este trabajo hace parte de los resultados de investigación del proyecto “Bifurcación y estabilidad en familias
de inmersiones con curvatura media constante y frontera libre”, (C-2020-02), financiado por la UIS.
Palabras & frases claves: Hipersuperficies con CMC y frontera libre, operador de Jacobi, perturbación sua-
be, bifurcación, estabilidad.
Introducción
Definición: Sea F : Ω ⊂W → Y una aplicación continua entre espacios de Banach W , Y . Sea ω : I ⊂ R→ Ω
un arco simple, tal que, F (ω(t)) = 0. Si toda vecindad de w(t0), t0 ∈ I , contiene ceros de F que no están
Im(ω) entonces decimos que w(t0) es un punto de bifurcación de ω (vea la figura 5).
Figura 5: Punto de bifurcación
Una rama de bifurcación para una familia {ϕt} ocurre sólo en el caso cuando λk = 0, para algún k ≥
2, donde {λk} es el conjunto contable de valores propios del operador de Jacobi que se define para una
inmersión ϕ0 : Σ ↪→ M ∈ {ϕt}, como el operad(or diferencial de segundo)orden Jϕ : C
j(Σ) → Cj−2(Σ),
0
j ≥ 2, dado por
Jϕ (f) := ∆Σ f − ||IIΣ0 ||2HS +Ricg(ηΣ , ηΣ ) f, (5)0 0 0 0
Σ0 = ϕ0(Σ). Por lo tanto, en vista de resultados anteriores, sólo necesitamos estudiar el caso λ2 = 0. Si
ϕ0 es un punto de bifurcación estable en la familia {ϕt}, entonces existen sólo tres tipos de bifurcación:
Biburcación en orquilla super-crı́tica (vea la figura 6); Biburcación en orquilla sup-crı́tica (vea la figura 7) y
77
Memorias | Conferencias
Bifurrcación trans-crı́tica (vea la figura 8). En la prueba de estos criterios de estabilidad usamos nuevamente
la Teorı́a de Crandall-Rabinowitz (see [3]). Crandall-Rabinowitz estiman el valor propio del módulo mı́nimo
en el espectro de la derivada de Frechet del operador no lineal F a lo largo de una curva de bifurcación
α(t), donde F (α(t)) = 0. Siendo X y Y Espacios de Banach y F : R × X → Y dos veces continuamente
diferenciable, ellos muestran que el valor propio cero de Fx(t0, 0) corresponde a valores reales pequeños
λ(t) de Fx(t, 0) y µ(s) of Fx(t(s), x(s)), donde λ(t0) = 0 = µ(0). El principal interes es estudiar la relación
entre t(s), λ(t) y µ(s). Ellos muestran que si Fx(t0, 0) cumple la condición de simplicidad, entonces µ(s)
y −st′(s)λ′(t0) tienen los mismos ceros y, en el caso µ(s) 6= 0, el mismo signo. Nosotros hacemos una
generalización de estos resultados para el caso en el que F está en terminos de la curvatura media de ϕt,
Fx(t0, 0) es el Operador de Jacobi, X = C
j,α
∂ (Σ) y Y = C
j−2,α(Σ).
Figura 6: Supercritical pitchfork bifurcation.
Figura 7: Subcritical pitchfork bifurcation.
Figura 8: Transcritical bifurcation.
Cuando el parámetro de bifurcación es el volumen, se tienen dos criterios de estabilidad:
El primero es dado en términos del signo de la derivada de la función volumen en las hipersuperficies
del brazo de bifurcación, adicionalmente al signo de la derivada de la función del primer valor propio de
J̃t, donde J̃t es la restricción del operador de Jacobi Jt al campos escalares con integral cero.
Teorema: Sea {ψs}s∈Î un brazo de bifurcación formado por hipersuperficies con CM∣C y frontera libre que se
desprende del punto de bifurcación ϕ0 sobre la familia {ϕt} ′−<t<. H0 6= 0. ker(J ∣ϕ0 Cj,α ) =∂ (Σ) ∫Span{e 6= 0}.
λ ′2 = 0 (Equivalentemente λ̃1 = 0). λ̃ 1(0) 6= 0 (λ̃1(t) el primer valor propio de J̃ 1t = Jt − |Σ| Jt volΣ ϕ∗0(g)).
Si además V ′(0) > 0 (si es necesario, cambie el parámetro t a −t). Entonces,
78
IV Encuentro Matemático del Caribe
(1) En el caso H ′0 < 0:
(1-a) Si V̂ ′(s) = 0 para s cercano a 0 (esto es, si V̂ es localmente constante), entonces, ψs es estable
para s cercano a 0.
(1-b) Si V̂ ′(s) 6= 0, s 6= 0, s cercano a 0, entonces, un suficientemente pequeño s0 > 0, en cada
intervalo [−s0, 0) y (0, s0] tenemos:
(1-b-i) Si λ̃′ ′1(0)sV̂ (s) < 0, entonces, ψs es estable.
(1-b-ii) Si λ̃′1(0)sV̂ ′(s) > 0, entonces, ψs es inestabe.
En particular, super-crı́ticas y sub-crı́ticas orquillas de biburcación se presentan cuando V̂ ′(s) no cam-
bian de signo en s = 0, y bifurcaciones trans-crı́ticas ocurren cuando V̂ ′(s) cambian de signo en s = 0.
(2) En el caso H ′0 > 0, tenemos que ψs es inestable para |s| pequeño.
El segundo es dado en términos del signo de la primera y segunda derivadas de la función volumen de
las hipersuperficies en el brazo de bifurcación, fijando el signo positivamente para la derivada de la primera
función de valor propio de J̃t.
Corolario: Sea {ψs}s∈Î el brazo de bifurcación formado por hipersuperficies con CMC y frontera libre.H ′0 <
0, V ′0 > 0, λ̃′1(0) > 0. Entonces, existen constantes positivas t0 ∈ (0, ) y s0 ∈ Î tal que:
(1) ϕt es estable para todo t ∈ [0, t0] e inestable para todo t ∈ [−t0, 0).
(2) Si V̂ ′(0) 6= 0, entonces tenemos bifurcación transcrı́tica para {ψs}s∈[−s ,s ]. Esto es,0 0
(2-a) Si V̂ ′(0) > 0, entonces ψs es estable para s ∈ [−s0, 0] e inestable para s ∈ (0, s0].
(2-b) Si V̂ ′(0) < 0, entonces ψs es estable para s ∈ [0, s0] e inestable para unstable s ∈ [−s0, 0).
(3) Si V̂ ′(0) = 0 y existe la segunda derivada de V̂ en s = 0, tenemos:
(3-a) Si V̂ ′′(0) < 0, entonces ψs es estable para s ∈ [−s0, s0]. Aquı́ hay una bifurcación en horquilla
supercrı́tica.
(3-b) Si V̂ ′′(0) > 0, entonces ψs es inestable para todo s ∈ [−s0, 0) ∪ (0, s0]. Aquı́ hay una bifurcación
en horquilla bubcrı́tica.
Si H ′0 > 0 y V ′0 < 0, invirtiendo la parametrización de ϕt, t→7 −t, se obtienen conclusiones similares.
Referencias
[1] João Lucas Barbosa and Manfredo do Carmo. Stability of hypersurfaces with constant mean curvature. Mat-
hematische Zeitschrift, 185(3):339-353, 1984.
[2] Renato G Bettiol, Paolo Piccione, and Bianca Santoro. Deformations of free boundary cmc hypersurfaces. The
Journal of Geometric Analysis, 27(4):3254-3284, 2017.
[3] Michael G Crandall and Paul H Rabinowitz. Bifurcation, perturbation of simple eigenvalues, itand linearized
stability. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 52(2):161-180, 1973.
[4] Koiso, Miyuki. Deformation and stability of surfaces with constant mean curvature, Tohoku Mathematical
Journal, Second Series, 54(1):145-159, 2002.
[5] Miyuki Koiso, Bennett Palmer, and Paolo Piccione. Stability and bifurcation for surfaces with constant mean
curvature. Journal of the Mathematical Society of Japan, 69(4):1519-1554, 2017.
79
Memorias | Conferencias
Ecuaciones de movimiento para el
problema de los dos cuerpos
Autores: Ruben Dario Ortiz Ortiz, Ana Magnolia Marin Ramirez, Pedro
Pablo Ortega Palencia†
Grupo Ondas, Universidad de Cartagena
E-mail: rortizo@unicartagena.edu.cou, amarinr@unicartagena.edu.co
Resumen: En este trabajo se obtiene una simplificación de las ecuaciones de movimiento en el problema de
Kepler introduciendo un variante del potencial cotangente, dada por V (θ) = − coth(θ/2), en el semiplano
hiperbólico H2R, que es equivalente al modelo del disco de Poincare D2R y al modelo de la hoja superior
del hiperboloide L2R. Es demostrado que la nueva variante del potencial es una extensión y una mejor apro-
ximación del potencial newtoniano en el plano; exhibe propiedades más apropiadas y con mejor significado
fı́sico que el potencial que se usa tradicionalmente, U − (θ) = − coth(θ). Las ecuaciones de movimiento
obtenidas del problema de n cuerpos son sustancialmente simplificadas siguiendo el mismo enfoque que
en [1].
Palabras clave: potencial cotangente; potencial newtoniano; curvatura gaussiana; problema de n-cuerpos;
proyección estereográfica
Introducción
El problema de los n−cuerpos es un área de la mecánica clásica que ha ocupado la mente de ilustres
matemáticos y astrónomos desde la época de Newton. Describe el sistema dinámico determinado por n
partı́culas con masas positivas, interactuando gravitacionalmente en el espacio euclidiano (con curvatura
gaussiana cero). En Mecánica Celeste sobre espacios curvos, el uso del llamado potencial cotangente ha
sido casi unánime. Adoptada de forma inmediata, como una buena extensión del potencial newtoniano a
espacios con curvatura gaussiana constante. Esto se debe principalmente a dos propiedades que comparten.
El primero es de tipo analı́tico: al igual que el potencial newtoniano es una función armónica enR3, es decir,
satisface la ecuación de Laplace, el potencial cotangente y el potencial cotangente hiperbólico, son funciones
armónicas en S3 yH3 respectivamente, es decir, satisfacen la correspondiente ecuación de Laplace-Beltrami.
El segundo es de tipo dinámico, ya que cada uno genera en su respectivos espacios un campo central de
fuerzas, para el cual todas las órbitas acotadas están cerradas. [1], [2].
Referencias
[1] PP Ortega Palencia, RD Ortiz Ortiz, AM Marı́n Ramı́rez. “Hyperbolic Center of Mass for a System of
Particles in a Two-Dimensional Space with Constant Negative Curvature: An Application to the Curved
2-Body Problem.” Mathematics 9 (5), 531
[2] Florin Diacu, Ernesto Perez-Chavela, and J. Guadalupe Reyes Victoria. “An intrinsic approach in the
curved n-body problem: The negative curvature case.” Journal of Differential Equations, 252 (8), 4529-
4562, 2012.
80
IV Encuentro Matemático del Caribe
Relación entre el espacio proyectivo
y el espacio proyectivo dual
Autoras: Astrid Liliana Contreras Mendoza, Claudia Inés Granados Pinzón
Universidad Industrial de Santander
E-mail: astrid2198566@correo.uis.edu.co, cigranad@uis.edu.co
Resumen: En esta charla se demuestra que existe una relación biunı́voca entre el espacio proyectivo y el es-
pacio proyectivo dual. Y concluiremos demostrando que la forma bilineal asociada a esta relación biunı́voca
determina una estructura simpléctica sobre el A-módulo A2 como se prueba en [5].
Palabras clave: Recta proyectiva, razón doble, recta proyectiva dual, estructura simpléctica.
Introducción
La teorı́a estudiada sobre los espacios proyectivos tiene un enfoque algebraico, por ejemplo en [1] y [2]
se definen los espacios proyectivos asociados a un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo
K, este enfoque permite considerar la generalización de los espacios vectoriales a los R-módulos libres y
por esto es que en la actualidad caracterizar la recta proyectiva sobre un anillo R se ha convertido en un
problema abierto.
En [3], Granados hace un estudio inicial de la recta proyectiva sobre los anillos totales de fracciones y en
[4] se prueba que las rectas proyectivas sobre las R-álgebras C,P y D tienen estructura de variedad diferen-
ciable bidimensional y que generan las tres geometrı́as clásicas del plano, Möebius, Laguerre y Minkowski,
respectivamente.
El objetivo de esta charla es contextualizar este problema y posteriormente presentar los resultados más
destacados de los avances recientes. Se prueban resultados relacionados con puntos fuertemente indepen-
dientes, referencias proyectivas, proyectividades algebraicas y el Teorema de Staudt para rectas proyectivas.
Posteriormente se define el espacio proyectivo dual y se prueba que existe una relación biunı́voca con
el espacio proyectivo. Finalmente como resultado destacado se prueba que la forma bilineal asociada a esta
relación biunı́voca determina una estructura simpléctica sobre el A-módulo A2.
Referencias
[1] Aroca, J.M., Fernández, M.J, Geometrı́a proyectiva. Publicaciones Universidad de Valladolid, (2009).
[2] Doneddu, A., Complementos de la geometrı́a algebraica. Ed. Aguilar, Madrid, 38-68, (1980).
[3] Granados, C., Tesis doctoral Álgebras finitas sobre un cuerpo: la recta proyectiva. Universidad de Valladolid,
(2015).
[4] Franco, S. M., Tesis doctoral Interpretación proyectiva de las geometrı́as métricas, equiformes e inversivas.
Universidad de Valladolid, (2009).
[5] Contreras-Mendoza, A., Tesis de maestrı́a: Anillos de Hermite. La recta proyectiva. Directora: C. Granados-
Pinzón, Universidad Industrial de Santander, (2021).
81
Memorias | Conferencias
Sobre aproximaciones de irracionales
por números racionales
Autor: Raibel de Jesus Arias Cantillo
Universidade Federal do Maranhão-Campus Universitário de Balsas
E-mail: raibel.jac@ufma.br
Resumen: En esta conferencia abordaremos una conexión entre Teoria de los Números, Geometria, y dinámi-
ca, a partir de un Teorema de Hurtwiz sobre aproximaciones de números irracionales por números raciona-
les, en [3]. Especificamente, analizamos tal teorema de Hurtwiz desde un punto de vista geométrico, usando
cı́rculos de Farey-Ford, en [1], y su relación con sistemas dinámicos, ver [2].
Palabras clave: aproximaciones diofantinas y circulos de Farey-Ford.
Referencias
[1] Conway, J. The sensual quadratic Form.The Mathematical Association Of America, 1997, pp 27-33.
[2] Hasselblatt, B. Katok, A. A first Course in Dynamics, with a panorama of recent developments. Cambridge
University Press, 2003. pp 369-374.
[3] Niven, I. Numbers: RATIONAL AND IRRATIONAL. New Mathematical Library, 1961, pp 81-99.
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Ecuaciones Diferenciales
Memorias | Conferencias
Ecuaciones diferenciales difusas de orden fraccionario
Autores: Gilberto Arenas Dı́az, Duvan A. Contreras Páez, Elder J.
Villamizar Roa
Universidad Industrial de Santander
E-mail: garenasd@uis.edu.co
Resumen: El estudio de ecuaciones diferenciales fraccionarias constituye un campo de creciente interés, no
solo desde el punto de vista teórico, sino también debido a su aplicabilidad al análisis de fenómenos de
las ciencias fı́sicas y naturales. Su formalización se caracteriza por la sustitución de derivadas clásicas por
derivadas de orden fraccionario. Por otro lado, las ecuaciones diferenciales difusas se propusieron como un
intento de manejar la incertidumbre que aparece en muchos modelos matemáticos de algunos fenómenos
no deterministas del mundo real en los que predomina la incertidumbre, la subjetividad o la vaguedad.
En esta comunicación se analiza la existencia de soluciones de problemas de valor inicial en el contexto
difuso-fraccionario, que incluyen fenómenos de retardo. Explı́citamente, considerando la derivada gene-
ralizada difusa de Caputo-Katugampola, se demuestran algunos resultados de existencia y unicidad vı́a
teoremas de punto fijo de funciones débilmente contractivas sobre espacios métricos parcialmente ordena-
dos.
Palabras clave: Ecuaciones diferenciales fraccionarias, Ecuaciones diferenciales difusas, derivada generali-
zada difusa de Caputo-Katugampola.
Introducción
El cálculo fraccionario y con él, las ecuaciones diferenciales fraccionarias, comprende un campo de in-
vestigación relevante debido a su aplicabilidad en la descripción de una variedad de fenómenos fı́sicos del
mundo real, entre los que se encuentra el transporte no difusivo en la teorı́a del plasma, la reologı́a, la vis-
coelasticidad, las fluctuaciones de precios de alta frecuencia en mercados financieros, crecimiento, la teorı́a
de la ruina de las compañı́as de seguros y procesos de desigualdad, la descripción de dinámicas poblaciona-
les, bioingenierı́a y ciencias biomédicas, sistemas de control y procesamiento de señales en ingenierı́a, entre
otros [16, 19, 11, 10]. Para revisar algunos temas de cálculo fraccionario se puede consultar las monografı́as
de Podlubny [23], Kilbas et al. [19], y Samko et al. [21].
El cálculo fraccionario y la teorı́a de ecuaciones diferenciales fraccionarias se han venido desarrollando
a gran velocidad, y con ello, el análisis de ecuaciones diferenciales fraccionarias con estructura difusa tam-
bién ha sido objeto de estudio [8, 22, 17]. Cabe destacar que, las ecuaciones diferenciales difusas son una
herramienta adecuada para modelar sistemas dinámicos en los que es imprescindible considerar la incerti-
dumbre, la subjetividad o la vaguedad de los fenómenos en descripción [4]. Esta teorı́a se ha desarrollado
en varias direcciones teóricas y se han considerado un gran número de aplicaciones en muchos y diver-
sos problemas reales (ver, por ejemplo, [6, 9, 7]). Cuando se integran derivadas fraccionarias en ecuaciones
diferenciales difusas se obtienen las denominadas ecuaciones diferenciales difusas fraccionarias.
El concepto de solución para ecuaciones diferenciales fraccionarias con incertidumbre, donde la deri-
vada fraccionaria se considera en el sentido de Riemann-Liouville, fue introducido en el trabajo pionero de
Agarwal, Lakshmikantham y Nieto [1]. En el mismo escenario, en [2], los autores demostraron la existencia
de una solución para ecuaciones integrales difusas fraccionarias, donde la integral fraccionaria se consideró
en el sentido de Riemann-Liouville, utilizando la medida de no compacidad de Hausdorff. En [25], Arshad y
Lupulescu obtuvieron algunos resultados de existencia y unicidad de solución para ecuaciones diferenciales
difusas fraccionarias considerando el concepto de diferenciabilidad de Riemann-Liouville y asumiendo una
84
IV Encuentro Matemático del Caribe
condición de decrecimiento temporal de la función f que describe la ecuación diferencial difusa fraccionaria
(6). En [3], Allahviranloo et al. estudiaron la existencia de soluciones explı́citas de ecuaciones diferenciales
difusas considerando el concepto de diferenciabilidad de Hukuhara de Riemann-Liouville usando funcio-
nes de Mittag-Leffler. Por otro lado, en [5], se introdujo la ecuación diferencial fraccionaria difusa de Caputo
bajo la diferenciabilidad generalizada de Hukuhara, y se obtuvieron algunos resultados de existencia y uni-
cidad de solución para la ecuación diferencial difusa fraccionaria de valor inicial. En el mismo escenario, en
[26], los autores analizaron la existencia de soluciones del problema de valor inicial difuso fraccionario me-
diante un método de Euler fraccionario modificado. En [24], los autores consideraron un problema de valor
inicial difuso fraccionario bajo la diferenciabilidad generalizada de Hukuhara donde la derivada fracciona-
ria se tomó en el sentido de Caputo. Considerando un escenario particular del contexto difuso, a saber, el
contexto intervalar, en [27], los autores utilizaron algunos resultados de punto fijo de funciones débilmente
contractivas en espacios parcialmente ordenados para estudiar la existencia y la unicidad de la formulación
integral del problema de valor inicial. En [22], Hoa Van Ngo, Vasile Lupulescuc y Donal O’Regand corri-
gieron el enunciado sobre la equivalencia entre los problemas de valor inicial asociados con una ecuación
diferencial difusa fraccionaria y su correspondiente formulación integral, considerando la diferenciabilidad
generalizada de Hukuhara, donde la derivada fraccionaria se toma en el sentido de Caputo. Presentaron
una condición adecuada para que esta equivalencia sea válida.
Por otro lado, el análisis teórico de la derivada fraccionaria de Hadamard también ha sido de gran in-
terés en la comunidad matemática. A diferencia de las expresiones que definen las derivadas de Riemann-
Liouville y Caputo, la derivada de Hadamard se define en términos de una integral que involucra la fun-
ción logarı́tmica de un determinado exponente. En [13], Katugampola introdujo el concepto de integral
fraccionaria Riemann-Liouville-Katugampola (integral-RLK) que generaliza y unifica las definiciones de in-
tegral fraccionaria de Riemann-Liouville y la integral de Hadamard en una sola definición que involucra un
parámetro (p) que, dependiendo de su valor, hace coincidir la integral-RLK con la integral-RL (p = 1) o la
integral de Hadamard (p → 0+). Posteriormente, Katugampola en [14], introdujo el concepto de derivada
fraccionaria de Caputo-Katugampola (derivada-CK) que generaliza las definiciones de la derivada fraccio-
naria de Caputo (p = 1). Considerando ecuaciones diferenciales fraccionarias con derivada-CK, en [17],
los autores investigaron la existencia y unicidad de la solución de un problema de valor inicial utilizando
aproximaciones sucesivas bajo una condición de Lipschitz generalizada.
Además, asociado al análisis matemático de un sistema dinámico, existen las denominadas ecuaciones
diferenciales con retardo. Este tipo de ecuaciones diferenciales describen fenómenos en los que la función
desconocida del sistema depende, no solo del estado del sistema en un instante dado, sino también, de la
historia de la trayectoria hasta ese instante [4, 20, 12]. Por ejemplo, a la hora de estudiar una epidemia en
una determinada región, no basta con conocer el número de infectados en un momento determinado, sino
observar cómo evolucionó la enfermedad en el tiempo, para poder predecir de buena manera su compor-
tamiento futuro. En este tipo de problemas, la condición inicial no es un número o un vector en Rn, sino
una función continua en un cierto intervalo [t0 − τ, t0]. Esto agrega una complejidad extra en el análisis
ya que ahora el problema del valor inicial es un problema de dimensión infinita, hecho que no se observa
en las ecuaciones diferenciales ordinarias clásicas. Esta clase de ecuaciones diferenciales ha mostrado su
potencial en la descripción de varios fenómenos en biologı́a, ingenierı́a, fı́sica, ciencias de la salud y otras
áreas, en particular, aquellas en las que se requiere que los sistemas dinámicos con retardo que describen los
fenómenos, tengan en cuenta la incertidumbre, la subjetividad o vaguedad de los datos. En [4], los autores
utilizaron resultados de puntos fijos de funciones débilmente contractivas en espacios métricos parcialmen-
te ordenados para obtener resultados de existencia y unicidad de soluciones para problemas de valor inicial
asociados a las ecuaciones diferenciales ordinarias en el contexto difuso con retardo finito utilizando la no-
ción de derivada en el contexto de la derivada de Hukuhara fuertemente generalizada. En [18], los autores
utilizaron algunos resultados de punto fijo de funciones débilmente contractivas en espacios parcialmente
ordenados para estudiar la existencia y unicidad de la solución para ecuaciones diferenciales ordinarias de
orden fraccionario con retardo finito considerando la diferenciabilidad de Caputo en el sentido generalizado
de Hukuhara pero en el contexto intervalar.
El objetivo de esta comunicación es analizar problemas de valor inicial asociado a ecuaciones diferen-
85
Memorias | Conferencias
ciales fraccionarias con retardo en el contexto completamente difuso. Explı́citamente, motivados por los
resultados en [4, 17], estudiamos el siguiente problema de valor inicial asociado a una ecuación diferencial
difusa fraccionaria (PVI-DF) co{n r(etardo fin)ito
CK α,p
gH D0 x (t) = f(t, x(t)), t ∈ J = [0, T ], (6)
x(t) = ϕ(t), t ∈ [−τ, 0].
donde p, τ, T > 0, CKDα,pgH 0 denota la derivada fraccionaria de Hukuhara generalizada difusa de Caputo-
Katugampola de orden α ∈ (0, 1], f : J = [0, T ] → F y ϕ : [−τ, 0] → F son funciones difusas continuas.
Para obtener la existencia y unicidad de la solución para el PVI-DF con retardo (6), en lugar de utilizar el
teorema clásico del punto fijo de Banach, se aplican algunos teoremas de punto fijo, establecidos en [15], so-
bre funciones débilmente contractivas definidas en conjuntos parcialmente ordenados. Precisamente, bajo
una propiedad de contractividad generalizada sobre elementos comparables, (que es más débil que la con-
dición clásica de Lipschitz), se prueba que la existencia de soluciones inferiores o superiores es suficiente
para demostrar la existencia y unicidad de soluciones difusas para el PVI-DF con retardo (6) en el marco
de la derivada-CK. Cabe señalar que el espacio de números difusos no es un espacio de Banach, sino un
espacio métrico semilineal y parcialmente ordenado.
Referencias
[1] Agarwal, Ravi P., V. Lakshmikantham, and Juan J. Nieto. “On the concept of solution for fractional
differential equations with uncertainty.” Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications 72.6 (2010):
2859-2862.
[2] Agarwal, Ravi P., et al. “Fuzzy fractional integral equations under compactness type condition.” Frac-
tional Calculus and Applied Analysis 15 (2012): 572-590.
[3] Allahviranloo, Tofigh, Soheil Salahshour, and Saeid Abbasbandy. “Explicit solutions of fractional diffe-
rential equations with uncertainty.” Soft Computing 16 (2012): 297-302.
[4] Angulo-Castillo, V., et al. “Applications of generalized fixed points theorems to the existence of uncer-
tain differential equations with finite delay.” Iranian Journal of Fuzzy Systems 17.6 (2020): 1-15.
[5] Allahviranloo, Tofigh, Atefeh Armand, and Zienab Gouyandeh. “Fuzzy fractional differential equations
under generalized fuzzy Caputo derivative.” Journal of Intelligent & Fuzzy Systems 26.3 (2014): 1481-1490.
[6] Bede, Barnabás, and Luciano Stefanini. “Generalized differentiability of fuzzy-valued functions.” Fuzzy
Sets and Systems 230 (2013): 119-141.
[7] Lupulescu, Vasile. “On a class of fuzzy functional differential equations.” Fuzzy Sets and Systems 160.11
(2009): 1547-1562.
[8] Ngo, Van Hoa. “Fuzzy fractional functional integral and differential equations.” Fuzzy Sets and Systems
280.C (2015): 58-90.
[9] Gomes, Luciana Takata, Laécio Carvalho de Barros, and Barnabas Bede. Fuzzy differential equations in
various approaches. Berlin: Springer, 2015.
[10] Scalas, Enrico, Rudolf Gorenflo, and Francesco Mainardi. “Fractional calculus and continuous-time
finance.” Physica A: Statistical Mechanics and its Applications 284.1-4 (2000): 376-384.
[11] Magin, Richard L. “Fractional calculus models of complex dynamics in biological tissues.” Computers
& Mathematics with Applications 59.5 (2010): 1586-1593.
[12] Lupulescu, Vasile, and Umber Abbas. “Fuzzy delay differential equations.” Fuzzy optimization and de-
cision making 11 (2012): 99-111.
86
IV Encuentro Matemático del Caribe
[13] Katugampola, Udita N. “New approach to a generalized fractional integral.” Applied mathematics and
computation 218.3 (2011): 860-865.
[14] Katugampola, U.N. “A new approach to generalized fractional derivatives.” Bulletin of Mathematical
Analysis & Applications 6.4 (2014).
[15] Villamizar-Roa, Elder J., Vladimir Angulo-Castillo, and Yurilev Chalco-Cano. “Existence of solutions to
fuzzy differential equations with generalized Hukuhara derivative via contractive-like mapping princi-
ples.” Fuzzy sets and systems 265 (2015): 24-38.
[16] del-Castillo-Negrete, Diego, B. A. Carreras, and V. E. Lynch. “Nondiffusive transport in plasma turbu-
lence: a fractional diffusion approach.” Physical review letters 94.6 (2005): 065003.
[17] Van Hoa, Ngo, Ho Vu, and Tran Minh Duc. “Fuzzy fractional differential equations under Capu-
to–Katugampola fractional derivative approach.” Fuzzy Sets and Systems 375 (2019): 70-99.
[18] Vinh An, Truong, Ho Vu, and Ngo Van Hoa. “A new technique to solve the initial value problems for
fractional fuzzy delay differential equations.” Advances in Difference Equations 2017.1 (2017): 1-20.
[19] Kilbas, Anatoliǐ Aleksandrovich, Hari M. Srivastava, and Juan J. Trujillo. Theory and applications of frac-
tional differential equations. Vol. 204. elsevier, 2006.
[20] Hale, Jack K., and Sjoerd M. Verduyn Lunel. Introduction to functional differential equations. Vol. 99. Sprin-
ger Science & Business Media, 2013.
[21] Samko, Stefan G., Anatoly A. Kilbas, and Oleg I. Marichev. Fractional integrals and derivatives. Vol. 1.
Yverdon-les-Bains, Switzerland: Gordon and breach science publishers, Yverdon, 1993.
[22] Van Ngo, Hoa, Vasile Lupulescu, and Donal O’Regan. “A note on initial value problems for fractional
fuzzy differential equations.” Fuzzy Sets and Systems 347 (2018): 54-69.
[23] Podlubny, I. Fractional differential equations: an introduction to fractional derivatives, fractional differential
equations, to methods of their solution and some of their applications. 1998.
[24] Prakash, P., et al. “Fuzzy fractional initial value problem.” Journal of Intelligent & Fuzzy Systems 28.6
(2015): 2691-2704.
[25] Arshad, Sadia, and Vasile Lupulescu. “On the fractional differential equations with uncertainty.” Non-
linear Analysis: Theory, Methods & Applications 74.11 (2011): 3685-3693.
[26] Mazandarani, Mehran, and Ali Vahidian Kamyad. “Modified fractional Euler method for solving
fuzzy fractional initial value problem.” Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation
18.1 (2013): 12-21.
[27] An, Truong Vinh, Ho Vu, and Ngo Van Hoa. “Applications of contractive-like mapping principles to
interval-valued fractional integro-differential equations.” Journal of Fixed Point Theory and Applications 19
(2017): 2577-2599.
87
Memorias | Conferencias
Análisis teórico de la ecuación KdV
con coeficientes dependientes del tiempo
Autor: José Camilo Rueda Niño
Universidad Industrial de Santander
E-mail: camilorueda00@hotmail.com
Resumen: En esta charla nos centraremos en la teorı́a de las ecuaciones diferenciales parciales dispersivas
no lineales y la teorı́a cuasilineal de Kato. Nos proponemos presentar un análisis teórico acerca de la exis-
tencia local de soluciones del problema de Cauchy asociado a la ecuación Kortweg de Vries con coeficientes
dependientes del tiempo.
Palabras clave: Ecuaciones diferenciales parciales, teorı́a cuasilineal de Kato.
Introducción
Desde mediados del siglo XIX ha surgido un enorme y creciente interés por parte de matemáticos y
fı́sicos por estudiar las soluciones más simples para un modelo dispersivo, dichas soluciones son conocidas
hoy como ondas viajeras. Las ondas viajeras existen como consecuencia de un equilibrio entre los efec-
tos dispersivos y no lineales presentes en un sistema; estas ondas viajan con una velocidad constante, sin
ninguna evolución temporal en forma o tamaño cuando el marco de referencia se mueve con la misma ve-
locidad de la onda. Las investigaciones han demostrado que este tipo de soluciones especiales aparecen en
diversos campos, como la mecánica de fluidos, la acústica (ver Levario-Diaz [1]), la óptica (ver Ferri [2]), la
oceanografı́a (ver Shearman [3]), entre otros.
La ecuación Korteweg de Vries (KdV) es un modelo matemático encargado de describir el compor-
tamiento de las ondas viajeras. Esta ecuación es una de las ecuaciones diferenciales parciales dispersivas
cuasilineales más conocidas. La relevancia de este modelo se debe, no solo, a la teorı́a matemática que in-
volucra su estudio y el número de problemas abiertos asociados que aún persisten, sino a lo sugestiva que
resulta a la hora de abordar problemas relacionados.
Un problema resultante del estudio de la ecuación KdV es considerar el caso donde sus coeficientes
sean variables, dicho problema es consecuencia de considerar un fondo variable del canal (ver Johnson en
[4]). Otro camino para llegar a este problema es tener en cuenta la tensión superficial a la hora de deducir el
modelo, ya que los coeficientes de la ecuación diferencial parcial (edp) dependen de la altura, la densidad
del fluido y la tensión superficial (ver Ablowitz en [5]). El proposito de esta charla es plantear un análisis
teórico sobre la existencia y unicidad de soluciones para el problema de Cauchy asociado a la ecuación KdV
con coeficientes dependientes del tiempo.
Referencias
[1] Levario-Diaz, Victoria, et al. Effect of acoustic standing waves on cellular viability and metabolic activity.
Scientific reports 10.1 (2020): 1-11.
[2] Ferri, Francesco, et al. Mapping optical standing-waves of an open-access Fabry–Perot cavity with a
tapered fiber. Review of Scientific Instruments 91.3 (2020): 033104.
[3] Shearman, E. D. R. Radio science and oceanography. Radio science 18.3 (1983): 299-320.
88
IV Encuentro Matemático del Caribe
[4] Johnson, R. S. On the development of a solitary wave moving over an uneven bottom. Mathematical
Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. Vol. 73. No. 1. Cambridge University Press, 1973.
[5] Ablowitz, Mark J. Nonlinear dispersive waves: asymptotic analysis and solitons. Vol. 47. Cambridge
University Press, 2011.
[6] Pazy, Amnon. Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations. Vol. 44.
Springer Science & Business Media, 2012.
[7] Iorio Jr, Iorio Júnior, and Wagner Vieira L. Nunes. Introducao as equacoes de evolucao nao lineares.
IMPA, 1991.
89
Memorias | Conferencias
Existence and uniqueness of solution for a family of
nonlinear degenerate mixed parabolic equations
Authors: Ramiro Acevedo, Christian Gómez and Juan David Sambonı́
Universidad del Cauca
E-mail: rmacevedo@unicauca.edu.co, christiancamilo@unicauca.edu.co,
jdsamboni@unicauca.edu.co
Abstract: The aim of this talk is to show an abstract framework to analyze the solvability of a family of non-
linear degenerate mixed parabolic equations. More precisely, we joint the well-known theory for stationary
mixed problems and the theory for nonlinear degenerate parabolic equations to obtain sufficient conditions
inspired in real application problems to guarantee the existence and uniqueness of solution. Furthermore,
we illustrate some applications of the abstract setting through particular problems that arise from physical
sciences: a nonlinear time-dependent Stokes problem and a nonlinear eddy current model in a bounded
domain including conductors and dielectrics.
Keywords: Well-posedness, parabolic degenerate equations, mixed problems, nonlinear problems, time-
dependent Stokes problem, eddy current model.
Introduction
The analysis of time-dependent differential equations in mixed form is a relevant topic for the numerical
analysis, for instance, in the research of numerical methods to obtain the approximation of solution with the
finite element method (see, for instance, [2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10]). Indeed, in [4] has been recently proposed
and abstract setting to show the well-posedness of a family of linear mixed degenerate parabolic problems,
which actually extends the theory presented in [7] for classical (non-degenerate) mixed parabolic problems.
The analysis of degenerate parabolic problems is motivated by the study of electromagnetism applications
which require to consider the problem in two subregions (the conductor and the insulator) of a bounded
domain and the electromagnetic field satisfy some divergence-free or curl-free condition.
The aim of this talk is to show that the results obtained in [4] can be extended to the nonlinear case.
More precisely, we combine the theory for the nonlinear degenerate parabolic equations (see, for instance,
[12]) with the well-known Babuska-Brezzi theory (see [8]) in order to deduce necessary and sufficient con-
ditions that the functional spaces and operators involved should satisfy to prove existence and uniqueness
of solution for the abstract problem that can be described as follows:
LetX , Y andM be real Hilbert spaces, b : X×M → R a bilinear form,R : Y → Y ′ a linear and bounded
operator and A : X → X ′ a nonlinear operator. Given u0 ∈ Y , f ∈ L2(0, T ;X ′) and g ∈ L2(0, T ;M ′), find
u ∈ L2(0, T ;X) and λ ∈ L2(0, T ;M) such that:
d 〈Ru(t), v〉+ b(v, λ(t)) + 〈Au(t), v〉 = 〈f(t), v〉 ∀v ∈ X in D′(0, T ),
dt
b(u(t), η) = 〈g(t), η〉 ∀η ∈M,
〈Ru(0), v〉 = 〈Ru0, v〉 ∀v ∈ X.
Finally, we show two models from applied sciences and deduce their well-posedness by using the de-
veloped abstract theory: a nonlinear time-dependent Stokes model [11], which arise from fluid dynamics
theory, and a nonlinear eddy current model considering ferromagnetic materials [1, 2].
90
IV Encuentro Matemático del Caribe
References
[1] R. Acevedo, E. Alvarez and P. Navia. A boundary and finite element coupling for a magnetically non-
linear eddy current problem. Electron. Trans. Numer. Anal., 52 (2020), pp. 230–248.
[2] Acevedo, Ramiro, Salim Meddahi, and Rodolfo Rodrı́guez. “An E-based mixed formulation for a time-
dependent eddy current problem.” Mathematics of Computation 78.268 (2009): 1929-1949.
[3] R. Acevedo and S. Meddahi. An E-based mixed FEM and BEM coupling for a time-dependent eddy
current problem. IMA J. Numer. Anal., 31 (2011), pp. 667–697.
[4] R. Acevedo, C. Gómez, and B. López-Rodrı́guez. Well-posedness for a family of degenerate parabolic
mixed equations. J. Math. Anal. Appl., 498 (2021).
[5] R. Acevedo, C. Gómez, and B. López-Rodrı́guez. Fully discrete finite element approximation for a family
of degenerate parabolic mixed equations. Comput. Math. Appl., 96 (2021). pp. 155–177.
[6] A. Bermúdez, B. López-Rodrı́guez, R. Rodrı́guez and P. Salgado. An eddy current problem in terms of
a time-primitive of the electric field with non-local source conditions. ESAIM - Mathematical Modelling
and Numerical Analysis, 47 (2013), 875–902.
[7] C. Bernardi and G. Raugel. A conforming finite element method for the time-dependent Navier-Stokes
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[8] D. Boffi, F. Brezzi, and M. Fortin. Mixed Finite Element Methods and Applications. Springer Series in
Computational Mathematics, Vol. 44, Springer 2013.
[9] D. Boffi, A. Buffa and L. Gastaldi. Convergence analysis for hyperbolic evolution problems in mixed
form. Numerical Linear Algebra with Applications, 20 (2013), pp. 541–556.
[10] D. Boffi and L. Gastaldi. Analysis of finite element approximation of evolution problems in mixed
form. SIAM J. Numer. Anal., 42 (2004), pp. 1502–1526.
[11] V. Ervin, J. Howell and I. Stanculescu. A dual-mixed approximation method for a three-field model of
a nonlinear generalized Stokes problem. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg, 197 (2008), pp. 2886–2900.
[12] R. E. Showalter. Monotone Operators in Banach Space and Nonlinear Partial Differential Equations.
Math. Surveys Monogr., vol. 49, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997.
91
Memorias | Conferencias
Un problema de continuación única para las soluciones
de una ecuación de Shrödinger no lineal
Author: Héctor José Cabarcas Urriola
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad de Cartagena
E-mail: hcabarcasu@unicartagena.edu.co
Resumen: Se demostrará una propiedad de continuación única asociada al fenómeno de explosión de las
soluciones de la ecuación no lineal con interacción puntual en el origen,
∂tu = i(∆ u+ |u|p−1Z u), (7)
donde p > 5, x, t ∈ R y ∆Z es el operador delta- interacción puntual, escrito formalmente, como
2
− d∆Z = − + Zδ2 0,dx
donde δ0 es la delta de Dirac centrada en el origen.
Palabras clave: Ecuación de Schrödinger. Operador Delta, interración puntual, continuación única
Introducción
Fue mostrado en [2] y [3] que para Z =6 0, la ecuación de Schrödinger (7) posee soluciones de tipo onda
viajante de la forma us(x, t) = eiωt[ ϕω,Z(x), don(de √ ( ))] 1
(p+ 1)ω 2 (p− 1) ω|x| p−1ϕ (x) = sinh + tanh−1 Zω,Z √ , (8)
2 2 2 ω
2
con ω > Z4 y ϕω,Z pertenece al dominio del operador −∆Z .
Observe que para Z ≥ 0 este tipo de soluciones satisfacen las siguiente desigualdad,
√
|us(x, t)| = ϕ ω|x|ω,Z(x) ≤ c(p, ω, Z)e , (9)
para c(p, ω{, Z) constante positiva∣∣ y para(todo)x∣∣}, t ∈ R. De otro lado para Z < 0 se satisface (9) paracada x ∈ x ∈ R : |x| > √ 2 −1 √Z
ω√(p−
∣tanh ∣ y t ∈ R. Es decir, las soluciones us(x, t) tienen decaı́da1) 2 ω
exponencial de la forma e− ω|x|.
Por otro lado, aplicando la transformación pseudo conforme a una solución u = u(x, t), se obtiene que
la función
p|x|2 ( )
ei 4(η+σt) x γ + θt
v(x, t) = u , , (10)
(η + σt)1/2 η + σt η + σt
con η, σ, γ y θ constantes tal que la igualdad ηθ − σγ = 1, satisface formalmente la ecuación
p 5
i∂tv = −∆ Z v − (η + σt) 2− 2 |v|p−1v, (11)
η+σt
92
IV Encuentro Matemático del Caribe
donde v(t) ∈ D(−∆ Z ). em particular, para la solución tipo onda viajante, si se toma Z = 0, η = γ = 1,
η+σt
σ = −1 y θ = 0 se sigue que
px2 ( )
e−it(1−t)ei 4(1−t) x
v(x, t) = ϕ
− 1/2 ω,0
, ω > 0, (12)
(1 t) 1− t
es solución de la ecuación
i∂tv(x, t) = −∆v − |v|p−1v, (13)
que explota en tiempo t = 1, esto es,
lim ‖v′(·, t)‖2 =∞. (14)
t↑1
De la estimativa (9) y (12) se obtiene la estimativa para v,
| 1v(x, t)| ≤ b e−b2|x|, b , b > 0. (15)
(1− t)1/2 1 1 2
En [1] en el caso Z = 0 y p ≥ 5, se demostró que no es posible que una solución v no trivial de la ecuación
(13) explote en tiempo finito y que satisfaga la desigualdad (15) simultáneamente para algunos b1 y b2 . En
esta dirección, se generalizó este resultado para Z =6 0. Más precisamente, se obtuvo:
Teorema: Sea p > 5. Considere u ∈ C((−1, 1) : D(∆Z)) una solución de la ecuación (7) satisfaciendo (15)
para b2 suficientemente grande. Entonces u ≡ 0.
Referencias
[1] Escauriaza, L., Kenig, C. E., Ponce, G. and Vega, L.; “Unique Continuation for Schrödinger Evolutions,
with Applications to Profiles of Concentration and Traveling Wave. ” Commun. Math. Phys. 305, 487-512
(2011).
[2] Fukuizumi, R. and Jeanjean, L. “Stabulity of Standing Waves for a Nonlineal Schrödinger Equation with
a Repulsive Dirac Delta Potencial.” Discrete and Continuos Dynamical System Vol. 21, 121-136 (2008).
[3] Fukuizumi, R., Ohta, M. and Ozawa, T. “Nonlineal Schrödinger Equation with a Point defect.” Ann. I.
H. Poincaré AN25, 837-845 (2008).
93
Memorias | Conferencias
Multigrid for the nonlinear power flow equations
Authors: Enrique Pereira Batista, Barry Lee
Southern Methodist University
E-mail: epereirabatista@smu.edu, barryl@smu.edu
Resumen: The continuously changing structure of power systems and the inclusion of renewable energy
sources are leading to changes in the dynamics of modern power grid, which have brought renewed at-
tention to the solution of the AC power flow equations. In particular, development of fast and robust sol-
vers for the power flow problem continues to be actively investigated. A novel multigrid technique for
coarse-graining dynamic power grid models has been developed recently. This technique uses an algebraic
multigrid (AMG) coarsening strategy applied to the weighted graph Laplacian that arises from the power
network’s topology for the construction of coarse-grain approximations to the original model. Motivated by
this technique, a new multigrid method for the AC power flow equations is developed using this coarsening
procedure. The AMG coarsening procedure is used to build a multilevel hierarchy of admittance matrices,
which automatically leads to a hierarchy of nonlinear power flow equations. The hierarchy of power flow
equations is then used in a full approximation scheme (FAS) and a multiplicative correction multigrid fra-
mework to produce multilevel solvers for the power flow equations.
Keywords: Power flow equations, graph Laplacians, multigrid, relaxation-based coarsening, FAS, AMG
Introducción
The rapid proliferation of renewable energy generation, such as hydro, bio-gas, solar, wind and geother-
mal sources, leads to substantial changes in the dynamics of power grid networks. Because modern society
requires large amounts of energy for use in industry, commerce, transportation, communication and domes-
tic appliances, this consumption affects the dynamics too. This increasing demand of electric energy causes
large power systems to operate under stressed conditions that reach the system’s stability limits. For these
reasons, it is important to know the state of the system by determining the voltages and currents at every
node of the power network to monitor the system under stressed conditions. This is achieved by determi-
ning and solving a system of algebraic equations know as power flow problem (power flow equations).
Moreover, monitoring the system can help in long-term planning designs so that the network components
(generators, lines, transformers, etc.) can be appropriately constructed and stationed to withstand the stres-
ses they will be exposed to.
We use a relaxation-based coarsening of the graph Laplacian given by the power grid network to deve-
lop a multigrid method for solving the static non-linear AC powerflow equations. These static equations are
tightly knitted to the dynamic models in that the actual power grid model is an algebraic-differential system
with the powerflow equations describing the algebraic constraints. By algebraically constructing a hierarchy
of approximate weighted graph Laplacians, a hierarchy of nonlinear powerflow equations immediately be-
comes apparent. This latter hierarchy can then be used in a full approximation scheme (FAS) framework
that leads to a nonlinear solver with generally a larger basin of attraction than Newton’s method. Given the
algebraic multigrid (AMG) coarsening of the approximate Laplacians, the solver is an AMG-FAS scheme.
The derivation of this scheme will be presented and analyzed, and numerical examples to demonstrate the
performance of this scheme will be given.
94
IV Encuentro Matemático del Caribe
References
[1] Andersson, G. Modelling and Analysis of Electric Power Systems. 2004.
[2] Brandt, A. The Gauss Center Research in Multiscale Scientific Computation. 1997.
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[4] Fliscounakis S., Panciatici P., Capitanescu F., and Wehenkel L. Contingency Ranking With Respect to Over-
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[5] Hackbusch W. Multigrid Methods and Applications. Springer, 2003.
[6] Lee B. and Pereira-Batista E. Algebraic multigrid for the nonlinear powerflow equations. Numerical Linear
Algebra with Applications, 28(2):e2347, 2021.
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[9] MacLachlan S.P. and Oosterlee C.W. Algebraic Multigrid Solvers for Complex-Valued Matrices. SIAM J. Sci.
Comput., 30:1548–1571, January 2008.
[10] Livne O.E. and Brandt A. Lean Algebraic Multigrid (LAMG): Fast Graph Laplacian Linear Solver. SIAM J.
Sci. Comput., 34(4):407–423, August 2012.
[11] Ponce C., Bindel D., and Vassilevski P. A Nonlinear Algebraic Multigrid Framework for the Power Flow
Equations. SIAM Journal on Scientific Computing, 40:B812–B833, Jan 2018.
[12] Ron D., Safro I., and Brandt A. Relaxation-Based Coarsening and Multiscale Graph Organization. Multiscale
Modeling and Simulation, 9, Apr 2010.
[13] Ruge J. W. and Stüben K. Algebraic multigrid. In Multigrid methods, pages 73–130. SIAM, 1987.
[14] Stüben K. Algebraic Multigrid (AMG): An Introduction with Applications. March 1999.
[15] Trottenberg U. and Schuller A. Multigrid. Academic Press, Inc., USA, 2000.
[16] Zimmerman R. D., Murillo-Sánchez C. E., and Thomas R. J. MATPOWER: Steady-State Operations, Plan-
ning, and Analysis Tools for Power Systems Research and Education. IEEE Transactions on Power Systems,
26(1):12–19, Feb 2011.
95
Memorias | Conferencias
Funciones elı́pticas de Jacobi y de Weierstrass en EDP
Autor: Luis Andrés Rosso Cerón
Universidade Federal do Maranhão
E-mail: luis.rosso@ufma.br
Resumen: Las funciones elı́pticas de Jacobi, ası́ como las funciones elı́pticas de Weierstrass, constituyen un
conjunto conveniente de soluciones para ecuaciones diferenciales parciales oriundas de la fı́sica matemática.
Especı́ficamente, las funciones elı́pticas de Jacobi permiten establecer, de forma analı́tica, la existencia y
estabilidad orbital de soluciones standing-wave tipo peakon para la ecuación:
i∂tu(x, t) + ∂
2 2
xu(x, t) + Z[δc(x) + δ−c(x)]u(x, t) = −|u(x, t)| u(x, t),
donde u : R× R −→ C, Z ∈ R y δc es la distribución delta de Dirac actuando sobre x = c > 0.
Por otro lado, las funciones elı́pticas de Weierstrass aparecen naturalmente, via diagrama de fase-curvas
algebraicas (cúbicas), en la resolución(de la)ecuación diferencial no lineal:d 2
w = Pw4(ξ) +Qw2(ξ) +R, (16)
dξ
siendo P,Q y R parámetros reales. Ecuaciones diferenciales de este tipo son obtenidas, por ejemplo, a partir
de las ecuaciones de Kadomtsev-Petviashvili (KP) o de la Korteweg-de Vries (KdV).
Palabras clave: Funciones elı́pticas de Jacobi, funciones elı́pticas de Weierstrass, estabilidad orbital, dis-
tribuición delta de Dirac.
Introducción
El principal objetivo es estudiar la existencia y estabilidad orbital de soluciones standing-waves (ondas
estacionarias) asociadas al modelo: i∂tu(x, t) + ∂
2
xu(x, t) = −u(x, t)|u(x, t)|2, x 6= ±c, t ∈ R,
 lim [∂xu(±c+ ε, t)− ∂xu(±c− ε, t)] = −Zu(±c, t), t ∈ R,+ ε→0 lim u(x, t) = 0, t ∈ R,
|x|→+∞
con continuidad de u(x, t), para todo x ∈ R. Las funciones elı́pticas de Jacobi jugarán un papel esencial para
establecer existencia de soluciones verificando las condiciones antes mencionadas.
Por otro lado, se deduce la forma como aparecen las funciones elı́pticas de Weierstrass asociadas a la
ecuación no lineal (16), su relación con curvas algebraicas (cúbicas), bien como se estudian las soluciones
particulares asociadas a (16), de manera especifica a un dado PV I , variando continuamente los parámetros
P,Q y R.
Referencias
[1] Saied, E.A., Abd El-Rahman, Reda G., Ghonamy, Marwa. I. (2009). “A generalized Weierstrass elliptic
function expansion method for solving some nonlinear partial differential equation”. Computers and
Mathematics with Applications 58 (2009), Elsevier, 1725-1735.
96
IV Encuentro Matemático del Caribe
[2] Fukuizumi, R., Ohta, M. and Ozawa, T. (2008). “Nonlinear Schrödinger equation with a point defect”.
Ann. I. H. Poincaré- AN 25, 837-845.
[3] Fukuizumi, R., Jeanjean, L. (2008). “Stability of standing waves for a nonlinear Schrödinger equation
with a repulsive Dirac delta potential”. Discrete and Continuous Dynamical System, 121-136.
[4] Ivorra Castillo, Carlos. (2005). Curvas Elı́pticas. Universitat de València.
[5] Weinstein, M.I. (1985). “Modulational stability of ground states of nonlinear Schrödinger equations”.
SIAM J. Math. Anal. 16, 472-491.
[6] Weinstein, M.I. (1983). “Nonlinear Schrödinger equation and sharp interpolation estimates”. Comm.
Math. Phys., 87, 567–576.
97
Memorias | Conferencias
Efecto del operador fraccionario de Caputo-Fabrizio
para la modelación de flujo en medios porosos
Autor: Luis X. Vivas-Cruz
Universidad Autónoma de Guerrero
E-mail: xvivas.cruz@gmail.com
Resumen: Se obtiene la solución exacta de un modelo de flujo de fluidos que se generaliza con la defini-
ción del operador fraccionario de Caputo-Fabrizio y nuevas ecuaciones constitutivas. El modelo es de dos
ordenes fraccionarios y considera fluidos ligeramente compresibles en una reserva de extensión infinita de
porosidad-simple y un pozo que produce a una presión constante. Se muestra mediante el desplazamien-
to cuadrático medio que el operador tiene propiedades locales, con lo cual se exhibe ausencia de procesos
de memoria. La solución exacta del modelo es obtenida mediante técnicas de integración de contorno en
el plano complejo. Además, para valores apropiados de los ordenes fraccionarios se incluyen como casos
particulares la solución de la ecuación de Helmholtz, difusión, onda y Cattaneo.
Palabras clave: Cálculo fraccionario, flujo de fluidos, desplazamiento cuadrático medio.
Introducción
Hoy en dı́a hay un creciente interés en el uso del cálculo fraccionario (CF) para modelar fenómenos
complejos en diferentes áreas de ciencia e ingenierı́a. Una de las áreas de mayor aplicación ha sido en
la modelación de flujo anómalo, del cual se ha observado que mediante expresiones del desplazamien-
to cuadrático medio se exhiben comportamientos que obedecen leyes de potencia. Dado que los modelos
de orden fraccionario conllevan a soluciones que cuentan con una gran adaptabilidad, éstos son capaces
de explicar muchas de las heterogeneidades en medios porosos. Sin embargo, para describir heterogenei-
dades que no exhiben un comportamiento de ley de potencia, se ha propuesto el operador fraccionario de
Caputo-Fabrizio cuyo kernel es de tipo exponencial [1]. Desde el punto de vista del CF, se siguen estudiando
muchas de las propiedades matemáticas de este operador. En este contexto, destacamos que existen trabajos
que indican que este operador no pude considerarse una derivada fraccionaria [2] y que no puede describir
memoria dinámica [3, 4]. En este trabajo analizamos el efecto del uso del operador de Caputo-Fabrizio en la
modelación de flujo de fluidos en una reserva de porosidad-simple. Se generaliza un modelo que se basa en
ecuaciones constitutivas de tipo-Cattaneo. Como resultado de este estudio, se representa la solución exacta
y algunos gráficos ilustrativos con el fin de validar las soluciones. También, se muestra el comportamien-
to del desplazamiento cuadrático medio en el que se concluye que las expresiones resultantes dan lugar a
difusión normal y una combinación de difusión normal y balı́stica.
Referencias
[1] Caputo, Michele, and Mauro Fabrizio. “A new definition of fractional derivative without singular ker-
nel”. Progress in Fractional Differentiation & Applications 1.2 (2015): 73-85.
[2] Ortigueira, Manuel D., and J. Tenreiro Machado. “A critical analysis of the Caputo-Fabrizio operator”.
Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation 59 (2018): 608-611.
[3] Tarasov, Vasily E. “No nonlocality. No fractional derivative”. Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation 62 (2018): 157-163.
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IV Encuentro Matemático del Caribe
[4] Tarasov, Vasily E. “Caputo-Fabrizio operator in terms of integer derivatives: memory or distributed
lag?”. Computational and Applied Mathematics 38.3 (2019): 1-15.
99
Memorias | Conferencias
Aplicaciones modernas del cálculo de variaciones
y del control óptimo
Autores: Tovias Enrique Castro Polo
Universidad del Atlántico
E-mail: toviascastro@mail.uniatlantico.co
Resumen: En esta charla haremos una introducción a la teorı́a del cálculo de variaciones y del control ópti-
mo. Abordaremos algunos de los principales resultados de dichas teorı́as, para luego utilizarlas en la solu-
ción de algunos problemas provenientes de otras ramas del conocimiento como la a biologı́a y la economı́a
y la ingenierı́a.
Palabras clave: cálculo variacional, control óptimo, ecuación de Euler, Modelo SIR, Braquistócrona.
Introducción
Existen muchos problemas de situaciones reales que caen en lo que se conoce como el problema fun-
damental del cálculo de variaciones, el cual puede resumise o plantear de la siguiente manera. Dada una
función f = f(x, y, y′), cómo encontrar funcion∫es y(x) que maximizan o minimizan la integralx2
I = f(x, y, y′)dx, (17)
x1
sujeta a las condiciones de fronteras {
y(x1) = y1 (18)
y(x2) = y2.
Con el objeto de determinar las soluciones de dicho problema se demostró que una condición necesaria
para que la función y = y(x), sujeta a las condiciones de frontera dadas en (18) sea un extremo del funcional
dado en (17) es que es que y = y(x) satisfaga la ecuac(ión d)e Euler-Lagrange,
∂f − d ∂f = 0. (19)
∂y dx ∂y′
Usaremos esa teorı́a para estudiar el costo de viajes a corta distancia. También para justificar como un ca-
mino curvo puede ser utilizado para que una bici con ruedas cuadradas pueda transitar por el.
Por otra parte sobre la teorı́a de control óptimo podemos plantear lo siguiente. Dada un sistema de
ecuaciones diferenciales
ẋ = f(x(t), u(t), t), (20)
donde x(t) es el vector de variables estado y los controles u(·) ∈ U están definidos sobre [t0, t1] y las trayec-
torias asociadas deben verificar que x(t0) = x0 y x∫(t1) = x1, nuestro problema es minimizar el funcional decosto de la forma t1
J = J(u) = F (x(t), u(t), t)dt, (21)
t0
Si el control u asociado con el sistema de control dado por la Ecuación (20) es óptimo para (21), entonces
existe una aplicación λ(·) absolutamente continua en [t0, t1], con valores en Rn, y las siguientes ecuaciones
se verifican para casi todo [t0, t1]:
100
IV Encuentro Matemático del Caribe
• ẋ(t) = ∂H∂λ ,
• λ̇(t) = −∂H∂x ,
• ∂H∂u = 0,
donde H(λ, x, u, t) = F (x, u, t) + λtf(x, u, t) es el Hamiltoniano.
Usaremos esa teorı́a para resolver la sigiente situación. Si la dinámica de una enfermedad (transmitida
solo por contacto entre individuos infecciosos y susceptibles) en una población biológica, se usa el modelo
estandar SIR (ver [1] y [2])
S′(t) = mN −mS(t)− cS(t)I(t)− u(t)S(t) (22)
I ′(t) = −mI(t) + cS(t)I(t)− dI(t) (23)
R′(t) = −mR(t) + u(t)S(t) + dI(t). (24)
(25)
Con t ∈ (0, L), L > 0, y condiciones iniciales S(0) = S0 > 0, I(0) = I0 > 0, R(0) = R0 ≥ 0.
Se desea resolver el siguiente problema del cont∫rol óptimo,L
mı́n J(u) = mı́n (I(t) + au2(t))dt
0
sujeto a {
X ′ = F (t, u,X) X = (S, I,R)
X(0) = X0.
Referencias
[1] Capasso, Vincenzo. “Mathematical structures of epidemic systems.” Lecture Notes in Biomathematics 97
(1993).
[2] Aniţa, Sebastian, et al. An introduction to optimal control problems in life sciences and economics: From mathe-
matical models to numerical simulation with MATLAB©R . Vol. 2. No. 11. Basel: Birkhäuser, 2011.
[3] ROUSSEAU, Christiane, and Yvan SAINT-AUBIN. “Matemática e atualidade.” Rio de Janeiro: SBM 2015
(2015).
[4] Fleming, Wendell H., and Raymond W. Rishel. Deterministic and stochastic optimal control. Vol. 1. Springer
Science & Business Media, 2012.
101
Minicursos
IV Encuentro Matemático del Caribe
Una breve introducción a los modelos de
ondas de choque
Autores: Marlon Michael López Flores, Edson Landim de Almeida
Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA
E-mail: mmlf@impa.br, edsonlan@impa.br
Resumen: Una onda de choque es una onda que se caracteriza por ser una perturbación que se propaga de
manera abrupta y casi discontinua. Podemos encontrar ondas de choque, tanto en la naturaleza (erupciones
volcánicas), como en ciertas actividades de humanas (extracción de minerales, tratamientos de materiales,
etc.). La importancia de entender y modelar este tipo de ondas se hace evidente, ya que nos puede ayudar
a la prevención de accidentes (explosiones), ası́ como ayudarnos a mejorar ciertas aplicaciones industriales
(láser de alta intensidad, soldadura en base a explosión). Los modelos matemáticos que representan este
tipo de problemas se desprenden de leyes de la fı́sica y pueden llegar a ser muy complejos. Para entederlos
mejor, se utilizan algunos métodos numéricos apropiados que nos ayudan a realizar simulaciones compu-
tacionales, que a su vez, nos ayudan a entender como funciona dicho fenómeno fı́sico. En esta ponencia,
serán presentados algunos ejemplos fı́sicos dónde se forman este tipo de ondas. Algunas aplicaciones in-
dustriales de las mismas. También algunas formas de modelar y simular estos fenómenos. Esta ponencia
está diseñada para motivar a estudiantes de pregrado y maestrı́a ası́ como cualquier persona con inclina-
cion cientı́fica.
Palabras clave: Leyes de conservación, problemas hiperbólicos, métodos numéricos, aplicaciones industria-
les.
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Memorias |Minicursos
Algoritmo de descenso de gradiente:
una inmersión profunda
Autor: David Sierra Porta
Universidad Tecnológica de Bolı́var
E-mail: dporta@utb.edu.co
Resumen: El método de descenso de gradiente sienta las bases del aprendizaje automático y las técnicas de
aprendizaje profundo. Exploremos cómo funciona, cuándo utilizarlo y cómo se comporta para varias fun-
ciones. El descenso de gradiente (GD) es un algoritmo iterativo de optimización de primer orden utilizado
para encontrar un mı́nimo/máximo local de una función dada. Este método se utiliza habitualmente en el
aprendizaje automático (ML) y el aprendizaje profundo (DL) para minimizar una funcion de coste/pérdida
(por ejemplo, en una regresión lineal). Debido a su importancia y facilidad de implementación, este algorit-
mo suele enseñarse al principio de casi todos los cursos de aprendizaje automático.
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IV Encuentro Matemático del Caribe
A bayesian statistical analysis of the
demographics of Puerto Rico:
what we can expect in the next years?
Autor: Angélica M. Rosario Santos
Universidad de Puerto Rico, Recinto de Rio Piedras
E-mail: angelica.rosario2@upr.edu
Abstract: The Problem of Population Dynamics is arguably the most important problem of Puerto Rico.
According to the most recent United States Census Bureau Projection, Puerto Rico’s population will decline
from 3.8 millions persons in 2000 to slightly above 2 million by 2050, a dramatic 47 % population decline in
50 years. In this project, we study the probabilistic Total Fertility Rate (TFR) Bayesian Model and the Life
Expectancy Bayesian Model developed by Adrian Raftery [1, 2] that are now used by the United Nations
Population Division. We produce new population projections for Puerto Rico based on reliable data and
other important considerations such as a low-fertility hierarchical model for the projection of Total Fertility
Rate for countries with TFR less than 1.5.
Keywords: Total Fertility Rate, Life Expectancy , Bayesian Hierarchical Probabilistic Models.
Introduction
One of the most important problems facing Puerto Rico is its population dynamics. The declining trends
in fertility, external migration, and population aging are not sustainable and population projections should
play a very important role for the development, discussion and implementation of public policies that could
alleviate this population collapse. Until recently population projections using the Cohort Component Met-
hod have been deterministic. There is now agreement that it is best to use a probabilistic approach in order to
measure their level of uncertainty. In response to this suggestion,researchers [3, 7] have incorporated Baye-
sian Probabilistic Theory in order to include the uncertainty in the estimation of the the basic demographic
indicators of fertility and mortality used in the projections as Life Expectancy and Total Fertility Rate. These
models have three major advantages. The first one is the incorporation of a way to include uncertainty in
the predictions. Raftery and his colleagues [1, 2, 3] provided a solution to this problem allowing the exchan-
ge of information (borrowing strength in a hierarchical model) among countries based on the assumption
that the unknown quantities are drawn from a common probability distribution. Other advantage of this
modelling is the possibility to estimate the parameters at the same time uncertainty is considered including
a heteroscedastic error term ec,t in each model. The third advantage is the estimation of the parameters via
the Bayesian Approach instead of fixing them by an expert opinion.
However in terms of fertility, Puerto Rico is one of the countries with low Total fertility Rate (TFR)
around the world , and the assumption of a rapid increase around the replacement level 2.1 appears unlikely.
A study performed in 2013 called Future Fertility in low fertility countries [5] suggests, after doing several
surveys to international experts, that any understanding of the factors behind the fertility decline needs to
take into account the changes, like economics, in Old Europe, Latin America, and the Middle East.
The main contributions of this research are: 1) Provide an alternative way for projecting population for
countries with low TFR as Puerto Rico, and 2) Provide different scenarios for net migration to obtain plausi-
ble population projections. We carefully choose the data to be used in order to justify possible scenarios for
the population of Puerto Rico using recent information about different countries from the World Population
Prospects 2019 and US Census. R packages bayesLife, bayesTfr and bayesPop [8, 9, 10] were used to obtain
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Memorias |Minicursos
the corresponding projections and to verify the convergence of the MCMC simulations to get the posterior
distributions of the parameters. According to this study, the population of Puerto Rico will decline to 1880.9
million by 2050 bounded by the 95 % probabilistic interval (1678.5, 2070.2).
References
[1] Raftery, Adrian E., et al. “Bayesian probabilistic population projections for all countries.” Proceedings of
the National Academy of Sciences 109.35 (2012): 13915-13921.
[2] Raftery, Adrian E., Leontine Alkema, and Patrick Gerland. “Bayesian population projections for the
United Nations.” Statistical science: a review journal of the Institute of Mathematical Statistics 29.1 (2014): 58.
[3] Raftery, Adrian E., Nevena Lalic, and Patrick Gerland. “Joint probabilistic projection of female and male
life expectancy.” Demographic research 30 (2014): 795.
[4] Congdon, Peter D. Bayesian hierarchical models: with applications using R. Chapman and Hall/CRC,
2019.
[5] Basten, Stuart, et al. “Future fertility in low fertility countries.” (2014): 39-146.
[6] US Census Bureau. “International data base: population estimates and projections methodology.”
(2013).
[7] Alkema, Leontine, et al. “Probabilistic projections of the total fertility rate for all countries.” Demography
48.3 (2011): 815-839.
[8] Sevcikova, Hana, et al. ”Package ‘bayesLife’.” (2021).
[9] Sevcikova, Hana, et al. ”Package ‘bayesTFR’.” (2021).
[10] Sevcikova, Hana, et al. ”Package ‘bayesPop’.” (2021).
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